7. Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости.

Распространим на поток жидкости, ограниченный неподвижными границами (трубопровод, канал, газопровод, река) уравнение Бернулли, полученное для элементарной струйки реальной жидкости

(7.1)

.

Особенностью рассматриваемых потоков является неравномерность распределения скоростей (на твёрдых границах скорости равны нулю). В интересующих нас сечениях, рис.7.1 движение должно быть плавно

рис.7.1

изменяющимся. Тогда для любой точки данного живого сечения удельная потенц-иальная энергия En=p/ρg+z имеет одно и тоже значение, т.е. для всего потока удельная потенциальная энергия будет иметь точно такой же вид и величину, как и для любой струйки потока.

Найдём удельную кинетическую энергию всего потока, рассматривая его как совокупность элементарных струек.

З

а единицу времени через сечение произвольной струйки протекает масса жидкости

скорость в струйке равна u, а кинетическая энергия жидкости в струйке может быть выражена так

(7.3)

Кинетическая энергия жидкости, проходящей через сечение всего потока выражается как сумма произведений (7.3), а точнее в виде интеграла

(7.4)

Каждый раз интеграл вида (7.4) вычислять невозможно, поскольку необходимо знать распределение скоростей по сечению; для практических расчетов удобно кинетическую энергию всего потока найти, используя в качестве известной скорости среднюю скорость потока.

Масса жидкости, протекающей через всё сечение потока за единицу времени равна m=ρVS, где V- средняя скорость. Кинетическая энергия этой массы жидкости, вычисляется по средней скорости и равна

(7.5)

Действительная кинетическая энергия (7.4) не обязательно равна кинетической энергии, найденной по средней скорости и поэтому можно приравнять (7.4) и (7.5) используя некоторый корректирующий коэффициент α

(7.6)

откуда выражение для коэффициента α принимает вид

(7.7)

Из (7.7) видно, что коэффициент α безразмерный, он называется коэффициентом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса. Косвенно, он учитывает неравномерность распределения скоростей по живому сечению; обычно при равномерном турбулентном движении в трубах α≈1,05-1,1.

Для определения удельной кинетической энергии необходимо выражение (7.4) или равное ему разделить на вес жидкости, протекающей через сечение потока за единицу времени

(7.8)

,

окончательно полученный нами результат можно сформулировать так: удельная энергия потока реальной жидкости может быть выражена зависимостью

(7.9)

.

При движении вязкой жидкости по причине трения о твёрдые поверхности, а также за счёт трения внутри жидкости кинетическая энергия переходит в тепло. Потери удельной энергии на преодоление сопротивления движению жидкости на пути от сечения 1 до некоторого сечения 2 оценивается величиной h_w, т.е. частью механической энергии, необратимо переходящей в тепло.

Уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости между двумя сечениями, в которых движение плавно изменяющееся по аналогии с (7.1) имеет вид

(7.10)

где z₁ и z₂ - высоты положения произвольных точек, выбранных в двух сечениях потока (чаще всего выбирают точки центров тяжести сечений), р₁, р₂ – давление сечения 1 и 2, V₁ и V₂ – средние скорости в сечениях 1 и 2, α₁ и α₂ – коэффициенты кинетической энергии (коэффициенты Кориолиса), h_w – потери удельной энергии (напора) на участке между рассматриваемыми сечениями. При движении вязкой жидкости линия удельной энергии не горизонтальная, а наклонная, т.к. удельная энергия потока при движении вязкой уменьшается в направлении движения.

Величина

где в числителе разность полных энергий в двух сечениях, l – расстояние между этими сечениями называется гидравлическим уклоном.

Его можно представить так:

или

В заключение заметим что размерности величин в (7.4) и в (7.6) являются размерностями работы за единицу времени (), а это есть размерность мощности. Правильнее, поэтому было бы при выводе уравнения Бернулли для потока определить мощность потока жидкости, а именно: мощностью потока в данном сечение называется полная энергия, которую переносит поток через это сечение в единицу времени.