6. Графическое изображение давления.

Графическое изображение изменения гидростатического давления вдоль стенки в зависимости от глубины называется диаграммой распределения давления или эпюрой давления.

Как следует из основного уравнения гидростатики, давление вдоль какой-либо вертикальной или наклонной стенки изменяется по линейному закону, поэтому для построения эпюры давления всегда достаточно двух точек.

Поскольку давление жидкости всегда направлено по внутренней нормали к площадке, отложив в соответствующих точках в масштабе манометрическое давление, и соединив их концы, можно получить эпюру манометрического давления на данную стенку.

В качестве двух исходных точек для построения линейной графической зависимости удобнее взять точку О на свободной поверхности, где манометрическое давление равно нулю и точку А на дне, где манометрическое давление р=gh, рис. 6.1.

Эпюра гидростатического давления (абсолютного) изобразится трапецией, так как в каждой точке вдоль стенки абсолютное давление больше манометрического на величину р₀. Эпюра давления строится со стороны воды и штрихуется по направлению действия давления. Каждый отрезок эпюры в масштабе изображает направление давления в данной точке и его значение, например, отрезок СВ изображает манометрическое давление в точке. В, рис. 6.1., а отрезок ДВ – полное гидростатическое давление в той же точке.

Рис. 6.1. Рис. 6.2.

В качестве примера на рис. 6.2. изображена эпюра избыточного давления на наклонную стенку.

7. Закон Паскаля.

Внешнее давление, которое возникает на граничной поверхности жидкости, находящейся в равновесии, передается всем частицам этой жидкости по всем направлениям без изменения, передаваемого давления.

Из уравнения (4.9)

р = р₀ +  gh

можно видеть, что в случае изменения внешнего давления р₀ до р₁=р₀+р₀ давление во всех точках данной жидкости, находящейся в равновесии, изменяется на то же значение В утверждении этого свойства и заключения закона Паскаля.

Задача 7.1. В небольшом сосуде с водой плавает стакан. Как изменится уровень воды в сосуде, если зачерпнуть в стакан немного воды?

Решение: Так как содержимое сосуда не изменяет своего веса, то не изменяется и сила давления на дно сосуда. Отсюда следует, что уровень воды остается прежним.

8. Давление покоящейся жидкости на плоские стенки.

Одной из основных задач гидростатики является определение величины суммарной силы, действующей на плоскую поверхность со стороны покоящейся жидкости. Суммарная сила является вектором, и определение ее сведется к вычислению величины вектора, его направления и определению координат точки его приложения. Так как в каждой точке давление направлено по нормали к площадке, то и суммарная сила направлена по нормали.

В

(8.1)

случае горизонтальной площадки (горизонтального дна резервуара, например) действующая сила F определяется как

F = р S

где р – гидростатическое давление, S – величина площади.

Решаемая ниже задача возникает по той простой причине, что в разных точках негоризонтальной стенки величина давления различная. Можно утверждать, что суммарная сила, действующая на любую площадку будет пропорциональна ее площади и будет иметь место формула вида (8.1); единственное, что необходимо при этом определить – в какой точке внутри площадки определяется давление р.

Определим силу F давления жидкости на площадку S, лежащую в плоскости стенки, расположенной под углом  к горизонту, рис. 8.1

Рис. 8.1.

Расположим координатные оси в плоскости наклонной стенки так: ось Ох совместим с линией пересечения свободной поверхности жидкости с плоскостью стенки (перпендикулярно чертежу), а ось Оz направим вдоль стенки вниз. Дополнительно для большей наглядности повернем плоскость стенки вместе с выбранной на ней площадкой вокруг оси Оz до

совмещения с плоскостью чертежа (т.е. на 90^о).

Тогда координатная ось Ох займет положение Ох¹, ось Оz останется на месте, а площадка S изобразится на чертеже в натуральную величину.

Представим площадку S состоящей из бесконечно малых частей dS. Рассмотрим одну из них, рис. 8.1. и допустим, что давление в ее центре равно р, тогда с точностью до бесконечно малых второго порядка можно записать для силы гидростатического давления, действующей на нее

(8.2)

Всю силу F действующую на всю площадку S можно тогда записать в виде интеграла, т.е.

(8.3)

О

(8.4)

чевидно, что между глубиной h и расстоянием z для любой точки имеет место соотношение

,

и

(8.5)

(8.3) может быть записана как

В последней формуле интеграл

равен статическому моменту площади S относительно координатной оси Ох¹ (или Ох).

Из теоретической механики известно, что статический момент некоторой площади S относительно заданной оси равен произведению площади S на расстояние от ее центра тяжести до оси.

В данном случае

П

(8.6)

оэтому

г

(8.7)

де z_c – расстояние от оси Ох до точки с (центра тяжести площадки S). Итак, искомая сила равна

или, заменяя z_c sin = h_c, где h_c – глубина погружения центра тяжести площади S под уровень свободной поверхности, получим выражение для силы полного (абсолютного) давления

(8.8)

.

С

(8.9)

ила давления избыточного (т.е. не считая внешнего давления)

или (так как gh_c = р_с)

где р_с – гидростатическое давление в центре тяжести площадки.

Таким образом, поставленная задача об определении величины силы решена.

Задача 8.1. Подпорная прямоугольная вертикальная стенка шириной b = 20 м сдерживает напор воды высотой Н = 10 м. Определить силу избыточного давления F на стенку.

Решение: посчитаем силу по формуле (8.9). Плотность воды пример. ρ=1000кг/м³, g=9.81 м/с², площадь на которую действует вода равна 20^.10=200 м². так как стенка прямоугольная, то центр тяжести её находится в точке пересечения диагоналей и поэтому глубина погружения его под поверхностью воды равна h_c=5м. окончательно величина силы F равна F=1000^.9.81^.5^.200=981^.10⁴H.