- •Введение.
- •Основные уравнения динамики жидкости
- •1.Силы, действующие в жидкости.
- •2.Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера).
- •3. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.
- •4. Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли.
- •5. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости.
- •6. Одномерная модель реальных потоков. Одномерными называются потоки, в которых гидродинамические величины зависят только от одной геометрической координаты.
- •7. Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости.
- •Уравнение Бернулли в форме давлений.
- •Д.1. Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой сжимаемой жидкости.
- •Д.2 Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса).
- •Задание а) Найти выражение для распределения скоростей в данном случае, считая, что верхняя пластина движется с заданной скоростью (течение Куэтта).
- •Д.3. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости.
- •Гидростатика
- •1. Гидростатическое давление.
- •2. Свойства гидростатического давления.
- •I свойство гидростатического давления: в каждой точке внутри покоящейся жидкости давление направлено по внутренней нормали к площадке, проходящей через данную точку.
- •3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера).
- •4. Распределение давления в однородной несжимаемой жидкости.
- •5.Виды давления
- •6. Графическое изображение давления.
- •7. Закон Паскаля.
- •8. Давление покоящейся жидкости на плоские стенки.
- •9. Давление жидкости на криволинейные поверхности.
- •10. Закон Архимеда.
- •11. Распределение давления в покоящемся газе.
- •Дополнительная часть.
- •Решение Умножим дифференциальные уравнения системы равновесия (4.7) на орты и сложим соответственно левые и правые части. В результате получим
- •Д.2. Потенциал силы. Поверхность уровня.
- •Д.3. Центр давления.
- •Гидравлические сопротивления.
- •Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости.
- •Уравнение равномерного движения.
- •3. Ламинарное течение в круглой трубе.
- •Природа гидравлических сопротивлений. Потери по длине и местные.
- •5. Общее выражение для потерь напора на трение при равномерном движении жидкости в трубе.
- •6.Турбулентные течения.
- •6.1. Качественные и количественные характеристики турбулентных течений.
- •Основные характеристики турбулентности.
- •Схемы турбулентных потоков.
- •6.3 Физическая природа турбулентных напряжений.
- •В рассматриваемом случае турбулентного потока
- •Окончательно может быть получено выражение
- •6.4. Распределение скоростей в турбулентных потоках.
- •Из (6.3) следует
- •7.Экспериментальные результаты по определению потерь при турбулентном движении жидкости.
- •Абсолютная и относительная шероховатость.
- •График Никурадзе.
- •Опыты Мурина-Шевелева.
- •9. Распределение скорости по сечению круглой трубы при турбулентном режиме.
- •Местные сопротивления.
- •Внезапное расширение потока.
- •Литература.
Уравнение Бернулли в форме давлений.
Умножим уравнение Бернулли (7.10) почленно на pg, в результате оно будет иметь вид:
(7.11)
В этом уравнении каждый член имеет размерность давления; величины p называют статическим давлением в отличие от величин, характеризующих динамическое давление.
Уравнение Бернулли в форме (7.11) применяется в тех случаях, когда пьезометрические отметки не являются характерными показателями работы системы, в частности для изучения движения газа (воздуха).
Уравнение Бернулли для газов в виде (7.11) действительно, если давления р в сечениях 1-1 и 2-2 так мало отличаются друг от друга, что плотность в них можно считать постоянной.
Методика применения уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли является одним из основных в гидравлике и поэтому техника и методика его использования так важны; перечислим основные условия его применения.
-
Выбираются сечения потока, в которых движение является плавно-изменяющемся.
-
Назначается положение плоскости сравнения – плоскости отсчета геометрических высот z.
-
При написании уравнения Бернулли для сечений, где движение плавно-изменяющиеся (где ) выбираются точки, для которых записываются высоты положения z и давление p в любом месте назначенных сечений – на дне, на свободной поверхности, в центре живого сечения, на оси трубы и т.д. Лучше всего выбирать эти точки или на свободной поверхности (в этом случае чаще всего р1=р2=рат), или в центре тяжести живых сечений – тогда может быть сокращён объём вычислений.
-
Имея в виду самый общий вид уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (7.10), записывают все его члены применительно к выбранной плоскости отсчёта и двум сечениям. В случае успешного применения (совместно с уравнением неразрывности) должно остаться одно неизвестное.
Задача 7.1. Жидкость вытекает в атмосферу из бака через горизонтальную трубу диаметром d, Определить среднюю скорость
жидкости и расход при истечении, если
расстояние оси трубы от свободной поверхности
в баке равно Нw. Считать что площадь сечения бака
(в плане) значительно больше площади сечения трубы.
Решение:
Чтобы движение было установившимся предполагаем, что уровень в баке поддерживается постоянным. Истечение в данном случае происходит из-за перехода потенциальной энергии жидкости в кинетическую. Выберем два сечения, в которых движение плавно изменяющееся – первое на свободной поверхности в баке, второе – в конечном сечении трубы, где жидкость вытекает в атмосферу. Ось сравнения совпадает с осью трубы.
Уравнение Бернулли имеет вид :
, данном случае
z1=H, z2=0, p1=p2=pат, V1≈0, α2≈1, V2≡V.
Тогда уравнение Бернулли принимает вид
, (учитывая, что , выражение для скорости
расход вытекающей жидкости:
Задача 7.2. Применить уравнение Бернулли к участку горизонтальной трубы одинакового диаметра, по которой течёт вязкая жидкость.
Решение: Действуем непосредственно по только что изложенной методике. В данном случае в любом сечение движение является плавно-изменяющимся и поэтому произвольно выберем два сечения, как показано на рисунке.
|
Высоты z1 и z2 отсчитывали от центров сечений и давления в сечениях принимали р1 и р2. Расход жидкости в сечениях 1 и 2 одинаковый и в силу постоянства диаметра скорости в сечениях также равны, т.е. V1=V2. Уравнение Бернулли в данном случае:
|
Применительно к данному случаю имеем: z1=z2=0, V1=V2 и уравнение Бернулли принимает вид : .
Величины пьезометрических высот р1/ρg и р2/ρg представляют высоты столбов жидкости в пьезометрах – трубках с открытыми концами, установленных в первом и во втором сечениях.
Потери всегда положительны, т.е. hw>0, поэтому высота жидкости в левом пьезометре больше, а разность Δh точно равна потерям удельной механической энергии. При движении вязкой жидкости из-за трения происходит переход механической энергии в тепло. В силу уравнения неразрывности скорость остаётся постоянной, а давление убывает вдоль трубы (т.е. давление уменьшается из-за перехода механической энергии в тепло).
Дополнительная часть.
Задача Д.1 Записать уравнения
в векторной форме (в виде одного векторного уравнения).
Задача Д.2 Записать уравнения Эйлера в проекциях на касательную и нормаль к линии тока.
Решение. Обозначим направление касательной через , а направление по нормали – n.
Уравнение Эйлера в векторной форме запишется так
Ускорение в общем виде представляется следующими рядами преобразований
где r –радиус-вектор частицы жидкости, отсчитываемый от произвольной точки, S – длина дуги, V – составляющая скорости вдоль касательной.
При выводе была использована известная формула
Окончательно система уравнений Эйлера может быть записана так (для случая установившегося движения)
В последнем уравнении R – радиус кривизны линий тока; положительное направление нормали выбрано в направлении от центра кривизны линий тока.
При выводе уравнений, например, первого принято, что проекция градиента давления на направление равно