Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Gidravlika_1_sem_3_chast.doc
Скачиваний:
36
Добавлен:
05.11.2018
Размер:
2.46 Mб
Скачать

Уравнение Бернулли в форме давлений.

Умножим уравнение Бернулли (7.10) почленно на pg, в результате оно будет иметь вид:

(7.11)

,

В этом уравнении каждый член имеет размерность давления; величины p называют статическим давлением в отличие от величин, характеризующих динамическое давление.

Уравнение Бернулли в форме (7.11) применяется в тех случаях, когда пьезометрические отметки не являются характерными показателями работы системы, в частности для изучения движения газа (воздуха).

Уравнение Бернулли для газов в виде (7.11) действительно, если давления р в сечениях 1-1 и 2-2 так мало отличаются друг от друга, что плотность в них можно считать постоянной.

Методика применения уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли является одним из основных в гидравлике и поэтому техника и методика его использования так важны; перечислим основные условия его применения.

  1. Выбираются сечения потока, в которых движение является плавно-изменяющемся.

  2. Назначается положение плоскости сравнения – плоскости отсчета геометрических высот z.

  3. При написании уравнения Бернулли для сечений, где движение плавно-изменяющиеся (где ) выбираются точки, для которых записываются высоты положения z и давление p в любом месте назначенных сечений – на дне, на свободной поверхности, в центре живого сечения, на оси трубы и т.д. Лучше всего выбирать эти точки или на свободной поверхности (в этом случае чаще всего р12ат), или в центре тяжести живых сечений – тогда может быть сокращён объём вычислений.

  4. Имея в виду самый общий вид уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (7.10), записывают все его члены применительно к выбранной плоскости отсчёта и двум сечениям. В случае успешного применения (совместно с уравнением неразрывности) должно остаться одно неизвестное.

Задача 7.1. Жидкость вытекает в атмосферу из бака через горизонтальную трубу диаметром d, Определить среднюю скорость

жидкости и расход при истечении, если

расстояние оси трубы от свободной поверхности

в баке равно Нw. Считать что площадь сечения бака

(в плане) значительно больше площади сечения трубы.

Решение:

Чтобы движение было установившимся предполагаем, что уровень в баке поддерживается постоянным. Истечение в данном случае происходит из-за перехода потенциальной энергии жидкости в кинетическую. Выберем два сечения, в которых движение плавно изменяющееся – первое на свободной поверхности в баке, второе – в конечном сечении трубы, где жидкость вытекает в атмосферу. Ось сравнения совпадает с осью трубы.

Уравнение Бернулли имеет вид :

, данном случае

z1=H, z2=0, p1=p2=pат, V1≈0, α2≈1, V2≡V.

Тогда уравнение Бернулли принимает вид

, (учитывая, что , выражение для скорости

расход вытекающей жидкости:

Задача 7.2. Применить уравнение Бернулли к участку горизонтальной трубы одинакового диаметра, по которой течёт вязкая жидкость.

Решение: Действуем непосредственно по только что изложенной методике. В данном случае в любом сечение движение является плавно-изменяющимся и поэтому произвольно выберем два сечения, как показано на рисунке.

Высоты z1 и z2 отсчитывали от центров сечений и давления в сечениях принимали р1 и р2. Расход жидкости в сечениях 1 и 2 одинаковый и в силу постоянства диаметра скорости в сечениях также равны, т.е. V1=V2.

Уравнение Бернулли в данном случае:

Применительно к данному случаю имеем: z1=z2=0, V1=V2 и уравнение Бернулли принимает вид : .

Величины пьезометрических высот р1/ρg и р2/ρg представляют высоты столбов жидкости в пьезометрах – трубках с открытыми концами, установленных в первом и во втором сечениях.

Потери всегда положительны, т.е. hw>0, поэтому высота жидкости в левом пьезометре больше, а разность Δh точно равна потерям удельной механической энергии. При движении вязкой жидкости из-за трения происходит переход механической энергии в тепло. В силу уравнения неразрывности скорость остаётся постоянной, а давление убывает вдоль трубы (т.е. давление уменьшается из-за перехода механической энергии в тепло).

Дополнительная часть.

Задача Д.1 Записать уравнения

в векторной форме (в виде одного векторного уравнения).

Задача Д.2 Записать уравнения Эйлера в проекциях на касательную и нормаль к линии тока.

Решение. Обозначим направление касательной через , а направление по нормали – n.

Уравнение Эйлера в векторной форме запишется так

Ускорение в общем виде представляется следующими рядами преобразований

где r –радиус-вектор частицы жидкости, отсчитываемый от произвольной точки, S – длина дуги, V – составляющая скорости вдоль касательной.

При выводе была использована известная формула

Окончательно система уравнений Эйлера может быть записана так (для случая установившегося движения)

В последнем уравнении R – радиус кривизны линий тока; положительное направление нормали выбрано в направлении от центра кривизны линий тока.

При выводе уравнений, например, первого принято, что проекция градиента давления на направление равно

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]