Гидростатика

Гидростатика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей и газов.

Разработанные методы расчета сил, действующих в покоящейся жидкости, являются строгими. Степень точности, даваемая ими, вполне удовлетворяет практику.

1. Гидростатическое давление.

Под действием внешних сил в каждой точке рассматриваемого объема покоящейся жидкости возникают внутренние силы, которые обуславливают напряженное (сжатое) состояние жидкости. Напряженное состояние в каждой точке жидкости характеризуется давлением, которое называется гидростатическим давлением.

2. Свойства гидростатического давления.

I свойство гидростатического давления: в каждой точке внутри покоящейся жидкости давление направлено по внутренней нормали к площадке, проходящей через данную точку.

II свойство гидростатического давления: Величина гидростатического давления в данной точке не зависит от пространственной ориентации площадки, которой принадлежит эта точка, т.е.

где – гидростатические давления по направлениям координатных осей, p_n – давление по произвольному направлению .

Элементарным образом это свойство можно пояснить так. В покоящейся жидкости при подходе к данной точке А с различных направлений давление p_А должно быть одинаковым, так как в противном случае было бы несколько различных давлений в одной точке.

Гидростатическое давление, поэтому, оказывается зависящим только от координат точки

p = p(x,y,z),

(являясь скалярной функцией координат).

3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера).

В предыдущей части (Основные уравнения динамики жидкости) были выведены дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости - уравнения (2.7).

В случае покоящейся жидкости уравнения (2.7) принимают вид:

(3.1)

Эта система называется системой дифференциальных уравнений равновесия жидкости и относится как к несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.

Система уравнений (3.1) выражает баланс поверхностных и объемных сил в каждой точке покоящейся жидкости – это и является физическим смыслом системы.

Напомним, что в (3.1) р – гидростатическое давление, X, Y, Z – проекции ускорений внешних массовых сил на оси координат,  – плотность жидкости, которая является в общем случае функцией давления в данной точке и температуры



(3.2)

= f (р, Т).

Последнее уравнение, которое называется характеристическим, дополняет систему и тогда получится полная система уравнений, определяющая распределение давления и плотности в покоящейся жидкости при заданных объемных силах и распределении температуры.

Если жидкость несжимаема, то имеет место частный случай (3.2):

 = const.

4. Распределение давления в однородной несжимаемой жидкости.

Для практического вычисления давления удобно представить систему (3.1) в виде одного, эквивалентного уравнения, не содержащего частных производных. Умножим почленно первое уравнение (3.1) на dx, второе – на dy, третье – на dz и затем сложим три произведения; в результате получим

(4.1)

Так как в данном случае гидростатическое давление р зависит только от трех независимых переменных координат x, y и z левая часть (4.1) представляет полный дифференциал функции р = р(x, y, z)

(4.2)

Окончательно получим

В

самом распространенном и практически важном случае – равновесия жидкости в поле сил тяжести имеем:

(так как направление ускорения силы тяжести и направление оси Oz противоположны рис 4.1).

Рис.4.1

П

(4.3)

оэтому уравнение (4.2) преобразуются к виду:

Разделив обе части (4.3) на  g, перепишем его в виде:

(4.4)

Рассмотрим несжимаемую жидкость при  = const; интегрируя (4.4) получим следующее соотношение

(4.5)

где С – некоторая постоянная.

Уравнение (4.5) называется основным уравнением гидростатики.

В уравнении (4.5) все члены отнесены к единице веса и имеют, поэтому линейную размерность; из вывода (4.5) следует, что p – давление, а z – некоторое расстояние вдоль оси oz.

Рис. 4.2. Рис.4.4.

Чтобы определить постоянную интегрирования С в (4.5) рассмотрим покоящуюся жидкость, имеющую свободную поверхность, на которой давление известно – например, равно атмосферному, рис. 4.2. Для любых двух точек одного и того же объема (А и В) покоящейся жидкости (4.5) может быть представлено в виде

(4.6)

Точка А, рис. 4.2. находится на поверхности и принадлежит объему жидкости; для этой точки р_А = р_о и z_A = z_о. Точка В выбрана произвольно внутри объема и поэтому (4.6) можно переписать так

(4.7)

и

(4.8)

ли

Р

(4.9)

азность z₀ – z есть глубина погружения точки В под свободной поверхностью и поэтому

Последнее соотношение служит для определения гидростатического давления в несжимаемой жидкости.

Задача 4.1. Определить величину и направление гидростатического давления в точке О (точке пересечения дна и боковой стенки канала), рис. 4.3.

Задача 4.2. Даны сообщающиеся сосуды с различными несмешивающимися жидкостями. Определить отношение .

Решение: Для каждой жидкости в отдельности справедливо уравнение (на свободных поверхностях давления равны р₀). Так как поверхность раздела является поверхностью равного давления, то для двух сечений 1 и 2 будут справедливы следующие зависимости

откуда

Задача 4.3. В открытый цилиндрический сосуд налита ртуть и вода в равных по массе количествах. Общая высота двух слоев жидкости равна 29,2 см. Определить давление на дно сосуда. Плотность ртути _рт =13,6 х 10³ кг/м3, плотность воды  =1 х 10³ кг/м3.

Решение: Обозначим h_рт и h_в – высоты слоёв ртути и воды, _рт и в - плотность ртути и воды.

Из первых двух условий получается система,

решая которую определяем h_рт и h_в и суммарное давление на дно (каждый слой создаёт одинаковое давление.)