Д.1. Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой сжимаемой жидкости.

Сжимаемая жидкость отличается от несжимаемой тем, что в процессе движения плотность ее изменяется (ρ≠const). В этих условиях, возможно, применить уравнение (3.12) в форме

(Д.1.1)

,

При установившемся движении влияние сжимаемости практически проявляется только в газах, при анализе течений которых удельную энергию положения (т.е. член gz ) можно не учитывать.

Тогда

(Д.1.2)

,

и интеграл

(Д.1.3)

характерен для сжимаемой жидкости: он оценивает потенциальную энергию газа с учетом преобразования его внутренней энергии. Поэтому уравнение (Д.1.2) можно сформулировать так: при установившемся течении невязкого газа сумма удельных потенциальной, внутренней и кинетической энергий есть величина постоянная.

Для вычисления интеграла (Д.1.3) необходимо знать характер термодинамического процесса, имеющего места при этом течении. Так, истечение газа из отверстия в резервуаре можно (без большой погрешности) считать происходящим при адиабатическом процессе, т.е. без обмена теплом между выходящим газом и внешней средой; движение газа по трубам с большой разностью давлений в известных условиях можно рассматривать как изотермическое.

Если считать, что течение происходит без теплообмена (адиабатическое течение), то для газа имеем уравнение состояния

(Д.1.4)

где к - показатель адиабаты, С-постоянная.

Подставляя в интеграл (Д.1.3)вместо ρ его значение из (Д.1.4), находим последовательно

(Д.1.5)

С учетом последнего результата уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости принимает вид

(Д.1.6)

Поскольку известно общее уравнение состояния

(Д.1.7)

то отношение p/ρ выражается через термодинамическую температуру и уравнение (Д.1.6)можно записать в такой форме

(Д.1.8)

Из уравнения (Д.1.8) следует, что изменение скорости вдоль трубки тока сжимаемого газа связано с изменением температуры. При увеличении скорости, как видно из (Д.1.8) температура падает (например, если открыть вентиль баллона, в котором находится сжатый газ, происходит заметное охлаждение вентиля)

Д.2 Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса).

Общие уравнения динамики несжимаемой вязкой жидкости при условии изотермического движения в декартовой системе координат имеют вид:

(Д.2.1)

Эти уравнения, данные здесь без вывода, является более общими дифференциальными уравнениями, чем уравнения Эйлера (2.7).

В системе (Д.2.1) применены те же обозначения, что и раньше; оператор

называется оператором Лапласа; например для первого уравнения (Д.2.1)

Уравнение (Д.2.1) и известное нам (Кинематика) уравнение неразрывности

представляют собой замкнутую нелинейную систему 4-х уравнений с четырьмя неизвестными и р. Величины , а также проекции ускорения массовых сил , должны быть заданы. Нелинейность системы обусловлена наличием конвективной составляющей ускорения в левой части уравнений (Д.2.1)

Для решения этой системы необходимо задать граничные условия. В случае нестационарного потока необходимы и начальные условия. Они задаются в виде распределения скоростей во всей рассматриваемой области в момент времени t=0, т. е. заданием функций и

Граничные условия, как с математической, так и с физической точки зрения имеют важное значение. Различия между движениями идеальной и реальной жидкостей определяются не только различием самих уравнений, но и видом граничных условий.

Так как через твёрдую стенку тела жидкость не перетекает, то эту стенку можно считать первой линией тока при движении как идеальной, так и реальной жидкости. Отсутствие перетекания через линию или поверхность тока и есть граничные условия для нормальной составляющей скорости,

Граничные условия для касательной составляющей скорости определяется прилипание к стенке частиц жидкости или газа вследствие вязкости.

Задача Д.3 Решить задачу о двумерном установившемся ламинарном течении несжимаемой жидкости между горизонтальными параллельными неподвижными пластинами (Рис Д 2.1).

Решение:

Т

Рис. Д. 2. 1

ребуется определить распределение скорости потока между пластинами. Применим к данной схеме течения уравнения (Д.2.1.). Так как движение двумерное, то в направлении оси Y (на нас) все параметры остаются постоянными, а .

Поэтому второе уравнение тождественно обращается в ноль. Так как движение происходит вдоль оси х, то составляющая скорости и третье уравнение переходит в:

(Д. 2. 2)

Из последнего равенства следует

Остаётся первое уравнение системы (Д. 2. 1), которое для установившегося течения может быть представлено так:

(Д. 2. 3)

Очевидно, что ни от х, ни от y не зависит и ; согласно (Д.2.2) не зависит от z и может быть записано как. Окончательно (Д.2.3) переходит в следующее:

(Д. 2. 4)

которое в результате двукратного интегрирования переходит в

(Д. 2. 5)

Зависимость от z найдём из следующих граничных условий:

при z=0

при z=h

Окончательно найдём

(Д. 2. 6)