3. Ламинарное течение в круглой трубе.

Прежде всего выясним распределение скоростей по сечению круглой трубы. Для этого приравняем два выражения для одной и тои же величины – касательного напряжения . В силу центральной симметрии величина  по любой из этих зависимостей может быть определена в любой точке.

Первое из этих соотношений – уравнение равномерного движения в виде (2.4), второе – закон вязкого трения Ньютона

(3.1)

Знак (-) в правой части поставлен потому, что величена  всегда положительна; а производная du/dr отрицательна, так как при увеличении r величена скорости уменьшается (на стенках трубы скорость равна нулю, а на оси потока максимальна). Приравнивая оба выражения для  получим

(3.2)

Разделяя переменные и интегрируя.

(3.3)

Постоянную С определяем из условия: u=0 при r = r₀ .

Окончательно

(3.4)

В сечении, проходящем через ось трубы, зависимость (3.4) представляется параболой.

Распределение скоростей по сечению ламинарного потока найдено; эпюра этого распределения представляет параболу.

Задача3.1. Проинтегрировав (3.4) по сечению круглой трубы, найти выражения для расхода Q и средней скорости V = Q/S.

Указание. Для интегрирования элементы ds выбрать в виде концентрических колец шириной dr.

Ответ:

Задача3.2. Определить  при ламинарном режиме движения жидкости в круглой трубе.

Ответ:

Указание. Известно общее выражение для потерь напора по длине

где l – длина трубы d – диаметр трубы, V – средняя скорость, g – ускорение свободного падения,  - коэффициент гидравлического сопротивления.

Для решения задачи необходимо приравнять h_пот из последней формулы и из зависимости для V_ср (см. предыдущую задачу 3.1).

3. Природа гидравлических сопротивлений. Потери по длине и местные.

Для решения различных задач первостепенное значение имеет уравнение Бернулли; в него входит h_пот, выражающий потери механической энергии. Поэтому для решения практически любой задачи необходимо знать, какими зависимостями выражается величина h_пот. Если жидкость в трубе не движется, то на нее действует лишь сила тяжести и такое состояние не приводит к потерям механической энергии.

При движении жидкости между ней и стенками трубы возникают силы трения (на жидкость они действуют в сторону, противоположную направлению скорости). В результате этого частицы жидкости, прилегающие к стенкам трубы тормозятся. Это торможение благодаря вязкости жидкости передается следующим слоям, причем скорость движения частиц по мере удаления их от стенки трубы постоянно увеличивается.

Такое торможение обусловлено силами гидравлического трения (сопротивления гидравлического трения). Для преодоления сил трения и поддержания равномерного поступательного движения жидкости необходимо, чтобы на нее действовала сила, направленная в сторону движения и равная силе сопротивления.

Если предположить, что на выделенный отсек жидкости действует суммарная сила сопротивления F_сопр., обусловленная вязкостью жидкости (трением), то при перемещение этого отсека на расстояние l необходимо совершить работу А= F_сопр.^.l. Таким образом, для движения жидкости необходимо затрачивать энергию. Энергию или напор, необходимые для преодоления сил сопротивления, называют «потерянной» энергией или «потерянным» напором. На самом деле никаких «потерь» энергии не происходит, а происходит преобразование механической энергии в тепловую в результате трения.

Если представить течение в трубе, то по всей длине трубы условия перехода механической энергии в тепловую будут одинаковые – т.е. будет трение по всей длине. В этом случае потери будут называться потерями по всей длине и будут пропорциональны длине трубы.

Другой тип потерь обусловлен и вызван изменениями геометрии потока (эти изменения связаны со спецификой конструкций различных устройств, через которые протекает жидкость – повороты, тройники, краны, вентили и т.д.) Как правило, такие конструкции локализованы на малой протяженности и поэтому называются местными сопротивлениями (в отличие от потерь по длине).

Если на некотором участке имеются как сопротивления по длине h_l так и местные h_u, то на этом участке общее сопротивление равно сумме местных и по длине

h = h_l +h_м.