4. Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли.

Как было доказано при выводе уравнения Бернулли каждый его член отнесён к весу частицы жидкости. В дальнейшем примем следующее определение: энергия, отнесённая к единице веса жидкости, называется удельной энергией. Поэтому при умножении каждого из трёх членов уравнения Бернулли на силу (единицу веса) получим размерность энергии (работы) – это следует из элементарного определения механической работы А=F^.S.

Естественно начать рассматривать с геометрического смысла каждое из трёх слагаемых z, p/ρg и u²/2g, которые имеют размерность длины. Для отсчёта этих длин выбирается произвольная горизонтальная плоскость сравнения. Проекцией её на плоскость рисунка является ось отсчёта, которая обычно обозначается 0-0.

Рис.4.1

Величина z, рис.4.1. представляет собой геометрическую высоту положения центра тяжести сечения элементарной струйки над плоскостью сравнения. Величина z также иногда называется геометрическим напором. Отношение р/ρg называется пьезометрической

высотой; на такую высоту поднимается жидкость в трубке, нижний конец которой присоединён к потоку, а верхний сообщается с атмосферой. Давление столба жидкости в трубке уравновешивается давлением в потоке и поэтому такой простейший прибор, называемый пьезометром, может использоваться для измерения давления. Сумма z+p/ρg называется пьезометрическим напором.

Величина u²/2g называется скоростной высотой (скоростным напором).

Трёхчлен вида называется полным напором.

Для пояснения геометрического смысла уравнения Бернулли выберем 2 сечения на элементарной струйке, рис.4.1. Для каждого сечения величина полного напора H может быть представлена суммой отрезков z, p/ρg и u²/2g. Соединив между собой концы H, получим линию, называемую линией полного напора; в данном случае она будет горизонтальной (так как согласно уравнению Бернулли (3.12) ). Линия изменения пьезометрических высот называется пьезометрической линией; её можно рассматривать как геометрическое место уровней в пьезометрах, установленных вдоль струйки.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение Бернулли показывает, что для идеальной движущейся жидкости сумма трёх высот – геометрической, пьезометрической и скоростной – есть величина постоянная вдоль струйки.

Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энергии, то каждое слагаемое представляет некоторую составляющую полной энергии. Уравнение (3.12) представлено в линейных единицах, поэтому чтобы перевести его в уравнение энергии, надо умножить каждое слагаемое в нём на единицу силы (веса). Если помножить уравнение Бернулли, например, на 1 н (ньютон), то уравнение не изменится, но размерность каждого слагаемого будет выражена в н^.м (дж) и, следовательно, представит собой некоторую энергию, отнесённую к 1 н. жидкости. В соответствии с этим z будет удельной потенциальной энергией положения, обусловленный тем, что данный 1 н. жидкости находится на высоте z (относительно оси 0-0) и может совершать работу, равную z дж.

Аналогично член р/ρg представляет удельную потенциальную энергию, обусловленную давлением в данном сечении.

Величина

(4.1)

u² /2g является удельной кинетической энергией т.е. кинетической энергией единицы веса движущийся жидкости.

Энергетический смысл уравнения Бернулли д

4.2)

для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Сумма всех слагаемых в уравнении Бернулли (3.12) есть полная (потенциальная плюс кинетическая) удельная энергия и возможно утверждать, что уравнение (3.12) представляет собой характерную для гидродинамики форму фундаментального закона сохранения и превращения энергии.

Задача 4.1. Показать, что a) z - удельная потенциальна энергия, б) p/ρg - удельная работа давления, в) u²/2g удельная кинетическая энергия.

Решение а) Если принять плоскость сравнения за плоскость, где потенциальная энергия равна нулю, то, подняв массу m жидкости на высоту z, ей сообщим потенциальную энергию mgz относительно плоскости уравнения. Поэтому

б) В элементарной струйке площадью сечения ds, давлением р и скоростью течения u сила давления равна . При перемещении частиц, расположенных в данном сечении, за время dt на расстояние сила давления произведет работу, равную . Отнеся эту работу к весу объема перемещенной жидкости.

получим, что работа сил давления, отнесенная к единице веса жидкости равна p/ρg.

Задача 4.2. Как следует из выражения для полной механической энергии жидкости

кинетическая энергия может преобразовываться в потенциальную и, наоборот. Например, при течении из широкой части горизонтальной трубы в узкую происходит частичное преобразование

Привести примеры для всех возможных переходов

, ,