Propriétés des parallélépipèdes droits
Le parallélépipède rectangle possède:
a
)
Six faces rectangulaires. Chacune de ces faces peut jouer le rôle de
base.
b) Les douze arêtes sont égales 4 à 4: quatre longueurs (AD, BC, FG, EH), quatre largeurs (AE, BF, CG, DH) et quatre hauteurs (AB, DC, HG, EF).
c) Les douze arêtes sont parallèles 4 à 4.
d) Chaque arête est perpendiculaire à deux faces opposées. Exemple: (AE) est perpendiculaires aux faces ABCD et EFGH (nous considérons dans ce cas que ces faces sont les bases du prisme, et comme les autres arêtes sont perpendiculaires aux bases...)
e) Les quatre diagonales intérieures sont égales et ont même milieu.
Le cube possède:
a) Six faces carrées. b) Douze arêtes de même longueurs. c) Les mêmes propriétés que le parallélépipède rectangle.
Formules
Nous ne donnons ici que les formules pour les prismes droits (parallélépipèdes ou non).
1) l’aire latérale est égale à la somme des aires des rectangles constituant les faces latérales ou l’aire latérale est égale au produit de périmètre de la base par la hauteur.
2) l’aire totale est égale à la somme de l’aire latérale et les aires des bases.
3
)
Pour
calculer le
volume V
d’un prisme droit on multiplie
l’aire de sa base A
par sa hauteur
h.
Exercices
70) ABCDEF est un prisme droit dont la base est un triangle rectangle, avec AC = 29 mm, BC = 14 mm et BE = 24 mm. Calculer le volume V de ce prisme, en cm3. Calculer l’aire totale.
71) Une gomme neuve a la forme
d’un prisme droit dont une base
est le parallélogramme ABCD de
hauteur h = 17 mm. Calculer le
volume V de la gomme. Calculer l’aire latérale.
72) La figure ci-contre représente un hangar qui a la forme
d’un pavé droit surmonté d’un prisme droit à base triangulaire.
La hauteur AH de la façade est égale à 12,5 m. CD = 9 m ;
ED = 5,2 m ; GD = 16 m.
a) Calcule la hauteur AH’ du triangle isocèle ABE.
b) Calcule l’aire du polygone ABCDE.
c) Déduis-en le volume du hangar.
7
3)
Une
tente a la forme d’un prisme droit. Elle a une hauteur de AH de 2 m
et une longueur CD de 4,5 m. La face avant est un triangle isocèle
de base BC = 1,5 m. Calcule le volume de cette tente.
74) On a représenté le patron d'un prisme droit dont la base est un trapèze isocèle Le trapèze isocèle a pour grande base B=12cm, petite base appelé b, hauteur appelé h et de coté 5 cm. La hauteur du prisme appelée H est H=20cm, largeur du prisme l=12cm. Sachant que le volume de ce prisme est de 432 cm3, calculer l'aire d'une base. Calculer h, puis vérifier que b=6cm Calculer l'aire totale de ce prisme. Réaliser un patron de ce prisme à l'échelle ½.
75) Le cube ABCDEFGH a pour arête 5cm.
a) Dessiner la face ABCD. Calculer la longueur de la diagonale BD.
b) Dessiner le quadrilatère BDHF. Calculer la longueur de la diagonale BH.
c) Calculer à 0,1° près l’angle HBD.
76) Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) ABCDEFGH a pour dimensions :
AB = 21 mm; AD = 28 mm; AE = 12 mm.
a) Dessiner la face ABCD. Calculer la longueur de la diagonale BD.
b) Dessiner le quadrilatère BDHF. Calculer la longueur de la diagonale BH.
c) Calculer à 0,1° près l’angle HBD.
77) Un flacon d'eau de toilette en forme de prisme droit a pour hauteur 12cm et pour base un triangle ABC sachant que: AB=3,9cm, AC=5,2cm, BC=6,5cm. Comment calculer le volume de ce flacon ?
78) Un prisme droit a une hauteur de 7 cm. La base est un triangle rectangle isocèle, les côtés de l'angle droit mesurent 4 cm. Calculer le volume de ce prisme.
79) Le volume d'un prisme droit est 60 cm3, il a 6 cm de hauteur. La base est un triangle rectangle, l'un des côtés de l'angle droit mesure 4 cm. Combien mesure le second côté de l'angle droit ?
80) L'arête d'un cube mesure 0,05 m. Calcule le volume de ce cube. Combien mesure l'arête d'un cube dont le volume est 216 cm3 ?
81) Dans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH on a : AB = 4 cm, AD = 3cm, AE = 2 cm. Calculer les valeurs exactes de BD, DF, CF.
82) Les faces d’un parallélépipède rectangle ont pour aire 6 cm2, 9 cm2 et 24 cm2. Quel est son volume ?
83) Si on augmente de 50% la longueur la longueur de chacune des arêtes d’un cube son volume est plus que triple du volume de départ. De quel pourcentage faut-il augmenter la longueur de chacune des arêtes d’un cube pour que son volume soit approximativement le double du volume de départ ?
84) L'aire totale des faces d'un prisme droit à base rectangulaire est de 162 cm2. Les dimensions du rectangle de base sont 3 cm et 7 cm. Calculer le volume du prisme.
85) La base d'un prisme droit est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 30 cm et 40 cm. Son volume est de 105 cm3. Calculer l'aire totale de ce prisme.
86) Une boîte cubique dont le couvercle a été retiré a une aire totale de 845 cm2. Déterminer l'aire et le volume de cette boîte.
87) On considère le prisme droit ABCDEF dont la base est un triangle ABC rectangle en A, et dont la hauteur est [AD]. On donne AB = 6,3cm, AC = 6cm et AD = 11,6cm. Calculer la longueur de la diagonale [CE].
88) On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH d'arêtes [AB], [AD] et [AE] de longueurs respectives 5, 7 et 3. Calculer la longueur de sa diagonale [AG].
89) Un bassin d’agrément a la forme d’un parallélépipède rectangle de dimensions 1,50 m, 1,80 m et 0,75 m. On souhaite recouvrir l’intérieur des parois et du fond d’un revêtement d’étanchéité. a) Quelle est l’aire de la surface à recouvrir ? b) On remplit le bassin avec 1 750 L d’eau. c) Calculer la distance entre le bord du bassin et la surface de l’eau (arrondir au cm près).
90) Le salon d’une maison est un parallélépipède rectangle. Les dimensions au sol sont 5,50 m et 4,50 m, avec une hauteur est de 3 m. Afin de réduire les dépenses de chauffage, on décide de diminuer le volume de la pièce en abaissant le plafond. Calcule la nouvelle distance h, du sol au plafond, pour que le nouveau volume de la pièce représente 80 % du volume initial.
91) Calculer le volume en cm3 et en dm3 d’un parallélépipède rectangle de longueur 15cm, de largeur 7 cm et de hauteur 5 cm.
92) Calculer le volume d'un corps
93) ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont :
AB = 191cm, BC = 321cm et AE = 318cm. ABGH est la section plane du parallélépipède obtenue en coupant par un plan parallèle à l'arête [DC]. Calculer la longueur, la largeur et l'aire de ABGH. Les réponses doivent être données au mm près pour les longueurs et au mm2 près pour les aires.