Opérations sur les fonctions dérivables

Soit f, u et v sont deux fonctions dérivables sur I.

Dérivée de la somme u + v
Dérivée du produit uv
Dérivée du produit de u par une constante k
Dérivée du quotient avec sur I
Dérivée de la fonction composée

Exemples

• si f(x)=2x + 3 + x² alors f '(x) = (2x + 3)' + (x²)' = 2 + 2x

• si f(x) =5x³ alors f '(x) = 5 (x³)' =15x²

• si alors

• si alors

• si alors

Exercices

28) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

a) b) c) d) e)

29) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

a) fx) =   x   b) gx = c) hx =   x^ d) ix = x^e) jx = x ^ – x  

30) Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions définies sur R. Attention à l’ensemble de dérivation.

a) b) c)

d) e) f)

31) Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes et l’ensemble de dérivation.

a) b) c)

d) f) g) h)

32) Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes. (Attention à l’ensemble de dérivation)

a) b) c) d) e) f) g) h)

33) Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de définition de la fonction, calculer la dérivée et donner le domaine de définition de la dérivée.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k)

34) Dériver les fonctions suivantes :

a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

35) Dériver les fonctions suivantes :

a) b) c) d)

e) f) g) h)

36) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes

a)en b)en c)en

37) Pour quelles valeurs de x la fonction dérivée de est égale à 0 ?

38) Pour quelles valeurs de x la fonction dérivée de est strictement positive ?

39) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes

a)en x = 0 b)en x = 4

c)en d) en

40) Pour quelles valeurs de x la fonction dérivée de est strictement négative ?

1.4 Applications de la dérivabilité

Mots à retenir

le nombre critique de la fonction (критическая точка функции)

le sens de variation d’une fonction (промежутки монотонности функции)

la fonction est continue (функция непрерывна)

La tangente à une courbe (касательная к кривой)

La notion de dérivée est une notion fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) en analyse fonctionnelle. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple,...) et de résoudre des problèmes d'optimisation.

Définition Soit ƒ une fonction et c une valeur de l’ensemble définition de cette fonction. Si ƒ ’(c) = 0 ou ƒ ’(c) n’existe pas alors c est appelé nombre critique de la fonction ƒ.

Exemple Trouver les nombres critiques de

Rédaction : a) b)

c) si x = - 1 et n’existe pas si x = 0. Car x = -1 et x = 0 sont deux valeurs de l’ensemble définition de cette fonction, ils sont les nombres critiques.

La dérivée d’une fonction nous renseigne sur certaines particularités de son graphique. Elle permet d’identifier entre autres

• pour quelles valeurs de son domaine la courbe croît ou décroît

• quelles sont les extremums de la fonction.