1.3 Dérivée d’une fonction

Mots à retenir

le nombre dérivé (производная функции в точке)

la fonction dérivée (la dérivée) (производная функции)

l’accroissement de la variable entre a et x (приращение аргумента)

l’accroissement de l’image entre a et x (приращение функции)

x tend vers x₀ (x стремится к x₀)

f est dérivable en x₀ (функция дифференцируема в точке x₀)

dériver (дифференцировать, находить производную)

la dérivabilité (дифференцируемость)

La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend,...) d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre...) dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport entre les variations infinitésimales de la fonction et les variations infinitésimales de son argument. Par exemple, la vitesse (La vitesse est une grandeur physique qui permet d'évaluer l'évolution d'une quantité en fonction du temps.) est la dérivée du déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En...) par rapport au temps (Le temps est un concept développé pour représenter la variation du monde : l'Univers n'est jamais figé, les...), et l'accélération (Dans la vie courante, on distingue trois événements que le physicien regroupe sous le seul concept d'accélération :) est la dérivée, par rapport au temps, de la vitesse.

Définitions

1) On appelle nombre dérivé d’une fonction f en x₀ sur un intervalle I la limite du rapport de l’accroissement de la fonction à l’accroissement correspondant de la variable, lorsque x tend vers x₀. Ce nombre est noté et on dit alors que f est dérivable en x₀.

2) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant x₀. Dire que f est dérivable en x₀ signifie que le nombre dérivé de f existe en x₀.

3) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel x de I.

4) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I. La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé est appelée fonction dérivée de f. On la note

5) Dériver une fonction, c’est calculer sa dérivée.

Exemple On montre comment calculer à partir de la définition la fonction dérivée d'une fonction donnée.

On considère la fonction , dont on admet la dérivabilité sur R. Soit . On cherche à calculer le nombre dérivé de ƒ en, c'est-à-dire Soit :

Le nombre dérivé de ƒ en est donc et ce pour tout .On en déduit que la fonction dérivée de est

Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

fonction	fonction dérivée	fonction		fonction dérivée
p naturel non nul

Exemples

• si f(x) = 3 alors la fonction dérivée de f est f ’(x) = 0

• si f(x) = x⁴ alors la fonction dérivée de f est f ’(x) = 4x³

Méthode Pour calculer un nombre dérivé, il n’est plus nécessaire de revenir désormais à la définition du nombre dérivé : on calcule d’abord la fonction dérivée, puis on remplace la variable par sa valeur.

Exemple Calculer le nombre dérivé de fonction en x = -2.

Rédaction : donc