3. Calcul IntÉgral

3. 1 Primitives

Mots à retenir

une primitive (первообразная)

la forme générale des primitives de f (общий вид первообразных функции f)

Définitions

1) Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur l’intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x de I, .

2) Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f admet une primitive F sur I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G de la forme : où k est une constante réelle.

Remarques

1) Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors pour toute constante k, la fonction G définie sur R par est aussi une primitive de f sur I car la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle. Nous en déduisons que si f admet une primitive sur I alors elle en admet une infinité.

2) Deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante.

Primitives usuelles

Par lecture inverse du tableau des dérivées, on peut dresser le tableau des primitives des fonctions usuelles.

f(x)	F(x)	f(x)		F(x)
a	ax + k	ex		ex + k
x	x2 +k			ln |x| + k
xn (nZ ; n  -1)		sin x		– cos x + k
	– + k	cos x		sin x + k
	2 + k
ax

Propriétés

1) La primitive d'une somme est la somme des primitives.

2) La primitive d'un produit d'une constante par une fonction est le produit de cette constante par la primitive de la fonction.

3) Si les fonctions U et V sont respectivement des primitives des fonctions u et v sur l’intervalle I alors pour tous réels α et β, αU + βV est une primitive de αu + βv sur I.

4) Si la fonction F est un primitive de f sur l’intervalle I alors est une primitive de la fonction sur I.

Exemples

1) Si f est définie sur R par, alors la fonction F définie sur R par admet pour dérivée f, et donc F est une primitive de f sur R.

2) Un autre exemple, si f est définie sur R par, alors la fonction F définie sur R par est une primitive de f sur R .

3) Si f est définie par, alors la fonction F définie par est une primitive de f.

Primitive d'une fonction définie par une "condition initiale"

C'est un fait : si une fonction f admet une primitive F, alors elle en admet une infinité (il suffit de modifier la constante c). Cependant, si on impose une certaine condition (du type y₀ = F(x₀) où x₀ et y₀ sont donnés), alors la primitive F est unique. (Et il faut déterminer la "bonne" constante c)

Exemple Soit f la fonction définie sur R par  Quelle est la primitive de f vérifiant la condition initiale ?

Rédaction : a) On calcule d'abord la forme générale des primitives de f:

b) On reste maintenant à trouver la valeur de k telle que .On résout l'équationet on obtient (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de...)

Réponse :