Problèmes d’optimisation

Définition Un problème d’optimisation est un problème dans lequel il est demandé de déterminer une valeur qui minimise ou maximise une certaine quantité.

Méthode 4 pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel:

a) Mathématisation

• Définitions et dessin : on définit les variables inconnues et on les représente sur un schéma.

• Écrire la fonction à deux variables et préciser si on recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de...) un maximum ou un minimum dans la situation donnée.

• Trouver la relation entre les deux variables.

• Écrire la fonction à une variable et préciser l’ensemble de définition.

b) Analyse

• Dériver la fonction pour obtenir la dérivée.

• Trouver les nombres critiques de la fonction, où la dérivée vaut zéro ou n'existe pas dans les intervalles de l’ensemble de définition.

• Effectuer le test de la dérivée pour déterminer le maximum ou le minimum recherché de la situation.

c) On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Exemple : Le patron d’un restaurant s’est rendu compte que s’il fixe le prix de son plat du jour а x dollars, son revenu hebdomadaire sera de dollars.

a) А quel prix, le restaurateur doit-il fixer son plat du jour pour que son revenu soit maximal? b) Quel sera son revenu maximal?

Rédaction :

a) (On limite l’ensemble de définition à l’intervalle [0, 7] car lorsque x n’est pas dans [0, 7], le restaurateur subit des pertes.)

b) R est continue sur [0, 7]

c) Le nombre critique est 3,5.

d) Tableau des signes de la dérivée

x	0 3,5 7
signe de	+ 0 -
variations de	1225 0 max 0

Réponse : lorsque le prix du plat du jour est fixé а 3,50 $ le revenu du restaurateur est maximal (1225 $).

Tangente à une courbe

Interprétation graphique du nombre dérivé : si une fonction f est dérivable en a, la courbe représentative admet en A (a ; f (a)) une tangente (AT), unique et non verticale, de coefficient directeur. Et réciproquement.

Méthode 5 Pour trouver une équation de la tangente, on peut écrire

Exemple : Soit la fonction f telle que. Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 de sa courbe représentative.

Rédaction : Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 est donné par le nombre dérivée de f en 0. Or, donc, le coefficient directeur de la tangente est donc 1. L’équation réduite de cette tangente est , donc y = x.

Réponse : l’équation demandée est y = x.

Exercices

41) Trouver les nombres critiques des fonctions suivantes :

a) b) c) d)

e) f) g)

42) Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums de chacune des fonctions associées aux équations suivantes.

a) b) c)

d) e) f) g)

43) Déterminer les variations de chacune des fonctions suivantes. On précisera les valeurs exactes des extremums s’il y en a.

a) b) c)

d) pour e) pour

44) Étudier les fonctions suivantes (l’ensemble de définition, croissance et décroissance, extremums, représentation graphique)

a) b) c) d)

e) f) g) h)

45) On coupe un fil de longueur 48m. Un partie de ceux fil sert à construire un carré et l'autre sert à construire un triangle équilatérale. Comment doit-on couper le fil pour que la somme des aires du triangle et du carré soit minimale?

46) Une compagnie de pneus a déterminé qu’une production de x pneus

(0 ≤ x ≤ 50 000) devrait rapporter un profit de dollars

Sur quelle étendue de la production, les profits de la compagnie augmentent-ils?

47) Si une société vend x articles par jour (0 ≤ x ≤ 400) alors son revenu R(x) sera de dollars. Déterminer pour quelles valeurs de x, le revenu de la société croît et pour quelles valeurs de x, il décroit.

48) Un fabricant produit des disques et il estime que s’il les vend x dollars chacun

(5 ≤ x ≤ 14), son profit quotidien sera P(x) = 10(x - 5)(14 - x) dollars.

a) А quel prix le fabricant doit-il vendre ses disques pour maximiser son profit?

b) Quel sera alors son profit?

49) L’expression N(t) = 8,1t² - 0,9t³ représente la note d’examen d’un élève en fonction du temps d’étude t exprimé en heures (0 ≤ t ≤ 9). Trouver le temps d’étude qui maximise sa note.

50) La concentration C(t) (en mg) d’un médicament dans le système sanguin d’un patient t heures après une injection est donnée par

a) Déterminer le nombre d’heures après l’injection où la concentration est maximale.

b) Trouver cette concentration maximale.

51) Trouver a et b pour que y = x³ - ax² + b ait un extremum au point (2, 3).

52) Du sommet d’un bâtiment, on lance une balle vers le haut. La position de la balle par rapport au sol (en mètres) а l’instant t (en secondes) est donnée par

S (t) = -4,9t² + 25t + 30.

a) Trouver la vitesse de la balle а la 1re et3e seconde (interpréter les réponses obtenues).

b) Trouver l’accélération de la balle а la1^re et 3^e seconde (interpréter les réponses obtenues).

53) Pour chacune des fonctions f, g, h et k définies sur par les expressions suivantes, calculer la fonction dérivée. Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de chacune de ces fonctions en x = 1.

54) La fonction f est définie sur R par où m et p sont les réels donnés. Déterminer ces réels sachant que la représentation graphique de la fonction f admet au point A (1 ; 4) une tangente de coefficient directeur 5.

55) La fonction f est définie pour tout x différent de 1 par Peut-on trouver un ou plusieurs points du graphique de cette fonction en lesquels la tangente soit parallèle à la droite d’équation

56) On dispose d’une plaque carrée de côté 1 mètre ; on enlève dans chacun des coins de la plaque un carré de côté (mètre) et on forme ainsi une boîte sans couvercle. Exprimer le volume de cette boîte en fonction de x puis déterminer le volume maximal.