2. 3 Solides de révolution

Mots à retenir

un cône de révolution (конус) une boule (шар) une sphère (сфера)

un cylindre de révolution (цилиндр) un disque (круг) un rayon (радиус)

une génératrice (образующая) le tronc de cône (усечённый конус)

Définition

Un cylindre de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l'un de ses côtés.

Propriétés

1) Il possède deux bases identiques et parallèles qui sont des disques. Sa surface latérale, une fois "dépliée" est un rectangle.

2) La hauteur du cylindre est la distance entre les centres des deux disques.

3) L’axe du cylindre est la droite passant les centres des deux disques.

4) La longueur d’une génératrice est égale à la longueur du segment qui joint les centres des deux bases ; c’est la hauteur du cylindre.

5) La section du cylindre par le plan p

parallèle au disque de base est le disque

de diamètre [AB]. Le plan P est aussi

perpendiculaire à l’axe du cylindre.

6) Section d’un cylindre par un plan parallèle а l’axe

Le plan P est parallèle а l’axe [AB] du cylindre. La section du cylindre par le plan P est le rectangle LNMS.

Formules

1) Le volume d’un cylindre de révolution est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur :

2) L’aire totale d’un cylindre de révolution est la somme des aires des deux bases et de celle de la surface latérale :

Définition

Lorsque l’on fait tourner un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit, on obtient un solide appelé cône de révolution.

Propriétés

1) La base d’un cône de révolution est un disque et la hauteur est la distance du sommet à la base.

Exemple

Un cône de révolution a pour sommet S et a

pour base un disque de centre O.

La hauteur de ce cône est le segment [OS].

La génératrice de ce cône est le segment [AS].

2) Le patron d'un cône est une portion de disque.

3) Section du cône par un plan parallèle à la base

Le cône de sommet S et de base le disque de diamètre [A’B’] est une réduction du cône de sommet S et de base le disque de diamètre [AB]. Le rapport de réduction est . De même, le grand cône est l’agrandissement du petit cône dans le rapport : .

Formules

1) Le volume du cône est le tiers du volume du cylindre :

2) L’aire totale du cône : où l est la longueur de la génératrice

Définitions

Si O est un point de l’espace et R est un nombre positif donné :

1) La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O exactement égale à R.

2) La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace situés à une distance de O inférieure ou égale à R.

3) Un grand cercle d’une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre O et de rayon R.

Exemple

Si OA = OM = OP = OC = r, alors A, M, P et C sont des points de la sphère de centre O et de rayon r.

Propriétés Section d’une sphère par un plan

OA > r Le plan et la sphère n’ont aucun point commun.

OA = r La section est le point A. Le plan et la sphère sont tangents en A.

OA = r La section de la boule et du plan est un disque. La section de la sphère par le plan est un cercle.

Si le plan passe par le centre de la sphère, le cercle obtenu est appelé grand cercle de la sphère.