Olga Goubanova
Professeur de mathématiques
Mathématiques – 11
(livret d’accompagnement du manuel de Mathématiques
ukrainien – 11)
Sébastopol
2010
Préface
Cet ouvrage est rédigé dans la conformité du programme ukrainien officiel de mathématiques (classe de onzième année). Il comprend mots à retenir, règles et formules mathématiques et exercices d’application et d’entraînement de ces règles. Cela permet d’unifier les programmes de mathématiques français et ukrainien et donne la possibilité de mieux apprendre non seulement les mathématiques, mais aussi la langue française. Mathématiquement le livret est divisé en 4 chapitres en conformité avec programme élaboré : activités géométriques (les solides), dérivabilité, calcul intégral, organisation et gestion de données.
Olga Goubanova
Sommaire
Partie 1 Dérivabilité
1.1 Fonctions exponentielles......................................................................4
1.2 Fonctions logarithmes..........................................................................7
1.3 Dérivée d’une fonction……………………. ......................................12
1.4 Applications de la dérivabilité.... ........................................................17
1.5 Révision ..............................................................................................23
Partie 2 Des objets de l’espace : les solides
2.1 Prismes ………….…………………………………………………...25
2.2 Pyramides ………................................................................................30
2.3 Solides de révolution…........................................................................34 2.4 Révision ...............................................................................................39
Partie 3 Calcul intégral
3.1 Primitives……………………………….............................................41
3.2 Définition et propriétés des intégrales…….........................................47
3.3 Applications du calcul intégral……………........................................50
3.4 Révision...............................................................................................52
Partie 4 Organisation et gestion de données
4.1Ensembles............................................................................................54
4.2 Éléments de combinatoire……….......................................................59
4. 3Probabilités…………………………………………………………..63
4. 4 Statistiques…………………………………………………………..67
4.5 Révision ..............................................................................................78
1. DÉrivabilitÉ
1 .1 Fonctions exponentielles
Mots à retenir
la fonction exponentielle de base b (показательная функция с основанием b)
Définition
On appelle
fonction
exponentielle de base b,
a réel strictement positif, la fonction f définie par :
pour x réel quelconque. Si b = 1, f(x) = 1 fonction constante.
Propriétés des exposantes
Pour tout réels x et y on a :
Etude de la fonction
1) La fonction est toujours positive quelle que soit la base b.
2)
Elle a pour l’ensemble de définition l’intervalle
3)
Elle a pour image l’intervalle
4) Si 0 < b < 1 alors la fonction exponentielle de base b est donc strictement décroissante sur R. Si b > 1 alors la fonction exponentielle de base b est donc strictement croissante sur R.
Cela implique que pour tous réels x et y de on a :
-
équivaut
à x = y (
)
-
Si
alors
équivaut à
-
Si
alors
équivaut à
Ces règles pourront dans certains cas être utilisées pour résoudre des équations ou des inéquations contenant des expressions de type exponentiel.
Applications
1) Résoudre l’équation
Rédaction :
L’équation peut s’écrire 
ou
.
On
sait
que
si
alors x = y. Donc x = -3.
Réponse : x = - 3.
2) Résoudre l’équation
Rédaction :
On
réécrit l’équation sous la forme d’une équation du second
degré en posant
.
L’équation
devient
Cette
équation a deux solutions y = 4 ou y =
C’est-à-dire
ou
ou
x = 2 ou x = - 2.
Réponse : x = 2 ; x = - 2
Méthode
Pour résoudre une équation exponentielle, on tâche d'appliquer une des 2 règles suivantes:
Règle 1: On exprime les membres gauche et droite de l'équation en tant que puissances de même base et on égalise ensuite les exposants.
Règle 2: On substitue l'expression exponentielle par une variable auxiliaire et on résous d'abord l'équation auxiliaire ainsi obtenue, avant de revenir à la variable initiale.