3) Résoudre l’inéquation

Rédaction : L’inéquation peut s’écrire ou Soit ou car la fonction f(x) = est strictement décroissante.

Réponse :

Exercices

1) Simplifier les nombres suivants :

a) b) c) d) e) f)

g) h)

2) Résoudre les équations suivantes :

a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

3) Déterminer la base de chacune des fonctions exponentielles suivantes puis indiquer si la fonction est croissante ou décroissante.

a) b) c) d) e) f)

g) h)

4) À partir du graphique de, tracer les graphiques de :

a) b) c)

5) Résoudre les inéquations suivantes :

a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

6) Résoudre sans l’aide d’une calculatrice :

a) b) c) d) e)

7) Résoudre les équations suivantes :

a)b) c) d) e) f) g)

8) À partir du graphique de, tracer les graphiques de :

a) b) c)

9) Résoudre les inéquations suivantes :

a) b) c) d)

e) f) g) h)

10) Soit la fonction

a) Tracer le graphique à l’aide des points remarquables de la fonction de base.

b) Trouver l’ensemble de définition de la fonction.

c) Trouver l’ensemble des images de la fonction.

d) Déterminer, s’ils existent, les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative avec l’axe des abscisses.

11) Détermine algébriquement l’ensemble-solution des équations suivantes :

1. b) 4^5x+3 = 256^2x-3

12) Donner le sens de variation des fonctions suivantes :

a) b) c)

13) Pour quelles valeurs de a l’équation n’a pas des racines réels ?

1.2 Fonctions logarithmes

Mots à retenir

un logarithme de base a (логарифм по основанию a)

la base de logarithme (основание логарифма)

Définitions

1) Pour tout, l'équation admet une solution unique dans R. Cette solution est appelée logarithme népérien de k, et noté ln k.

2) On appelle constante de Neper, et on note e, l'unique réel tel que ln e = 1. On a environ e ≈ 2,718281828...

Remarque mot issu du grec logos, « raison » ou ici « rapport », et arithmos, «nombre». John Neper, nom francisé de l'anglais Napier, (1550-1617) fut l'inventeur du logarithme, alors qu'il travaillait à simplifier les calculs trigonométriques des astronomes qui devenaient de plus en plus compliqués. Son idée était de transformer des produits en sommes afin d'alléger ces calculs astronomiques.

3) La fonction logarithme népérien notée f(x) = ln x, est la fonction qui à tout réel x > 0 associe le réel ln x.

Propriétés algébriques

Les propriétés suivantes sont fondamentales et caractéristiques de la fonction logarithme.

1) ln 1 = 0 car e⁰ =1 et ln e = 1 car e¹ = e

2) (le logarithme d’un produit est égal а la somme des logarithmes)

3) Logarithme de l’inverse : 

4) Logarithme d’un quotient :

5) Logarithme d’une puissance : et dans le cas particulier : pour

a > 0, donc

Etude de la fonction f(x) = ln x

1) La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l’intervalle. Cela implique que pour tous réels a et b de on a :

• ln a = ln b équivaut à a = b

• ln a > ln b équivaut à a > b

• ln a< ln b équivaut à a < b

2) Tout réel y admet donc un et un seul antécédent x appartenant à ]0,+∞[. En particulier, 1 admet un unique antécédent noté e.