Opérations ensemblistes

Dans les exemples nous supposerons que E est l'ensemble des quadrilatères du plan. E possède divers sous-ensembles remarquables: les quadrilatères ayant un centre de symétrie (parallélogrammes), ceux ayant un axe de symétrie (les trapèzes isocèles et les deltoïdes), les rectangles, les losanges, les carrés...

1) Le complémentaire  (, lire « complément de P dans E »)

Soit P un sous-ensemble de l'ensemble E. Alors le complément de P, noté est l'ensemble des éléments qui appartiennent а E mais qui n'appartiennent pas а E.

Si P est l'ensemble des parallélogrammes, est l'ensemble des quadrilatères qui sont des non-parallélogrammes.

2) L'intersection (, lire « P inter Q »)

L'intersection de deux ensembles est l'ensemble des objets appartenant à la fois à l'un et l'autre des ensembles.

Si P et Q sont deux sous-ensembles, leur intersection est notée . Remarquons que .

Si P est l'ensemble des losanges et Q l'ensemble des rectangles, sera l'ensemble des quadrilatères qui sont à la fois des losanges et des rectangles, c'est-à-dire l'ensemble des carrés.

3) La réunion (, lire « P union Q »)

La réunion de deux ensembles est l'ensemble des objets appartenant à au moins l'un des deux ensembles.

Nous pouvons également considérer la réunion des sous-ensembles P et Q, notée .

Si P est l'ensemble des rectangles et Q l'ensemble des losanges, sera l'ensemble des quadrilatères qui sont des rectangles ou des losanges.

4) L'inclusion (, lire « P est inclus dans Q »)

Si tout élément de P est un élément de Q, on dira que P est inclus dans Q.

Si, on peut exprimer l'inclusion de manière différente, mais équivalente: est vide, ou encore

En particulier l'inclusion est transitive; on a: si et alors Si P est l'ensemble des rectangles et Q l'ensemble des parallélogrammes, et on a l'implication: si F est un rectangle, alors F est un parallélogramme.

5) La différence ensembliste : A\ B ou B \ A (lire « A privé de B » et « B privé de A »)

La différence de deux ensembles A et B, notée A\ B, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A mais qui n'appartiennent pas à B.

Désignation des ensembles

Un ensemble peut être défini soit par la connaissance individuelle de ses éléments, soit par l'énoncé de propriétés restrictives caractérisant l'élément au sein d'un ensemble plus vaste.

a) Les ensembles finis peuvent être définis en extension, par la liste de leurs éléments, on place la liste des éléments d'un ensemble entre accolades.

Exemples : E = {20, 30, 40, 50} F = {a, e, i, o, u, y}

G = {α , β , χ , δ , ε , φ , γ , η } H = {♣ , ♦ , ♥ , ♠ }

Donc 20 E ; a F ; ε G ; ♥ H

b) Un ensemble peut être défini en compréhension, c’est-à-dire qu'on le définit par une propriété caractéristique parmi les éléments d'un ensemble donné.

c) Il n'y a qu'un seul ensemble sans éléments, l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), que l'on note ∅.

Exemples : E = {20, 30, 40, 50} = {x tel que (10<x<60) et x est multiple de 10}

F = {a, e, i, o, u, y} = {x tel que x est une voyelle}

Ensembles de nombres

On appelle N, l'ensemble des entiers naturels.

On appelle Z, l'ensemble des entiers relatifs.

On appelle D, l'ensemble des nombres décimaux. Ils peuvent s'écrire sous forme de fraction décimale (numérateur entier relatif et dénominateur 1, ou 10, ou 100…

On appelle Q, l'ensemble des rationnels, c'est à dire l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme a/b, où a et b sont des entiers et b ne peut pas être nul.

On appelle R, l'ensemble des réels: tous les nombres rationnels et tous les nombres irrationnels.

Chacun de ces ensembles est inclus dans le suivant :