Olga Goubanova

Professeur de mathématiques

Mathématiques – 10

(livret d’accompagnement du manuel de Mathématiques

ukrainien – 10)

Sébastopol

2009

Préface

Cet ouvrage est rédigé dans la conformité du programme ukrainien officiel de mathématiques (classe de dixième année). Il comprend mots à retenir, règles et formules mathématiques et exercices d’application et d’entraînement de ces règles. Cela permet d’unifier les programmes de mathématiques français et ukrainien et donne la possibilité de mieux apprendre non seulement les mathématiques, mais aussi la langue française. Mathématiquement le livret est divisé en 4 chapitres en conformité avec programme élaboré : activités géométriques (droites et plans de l’espace, parallélisme et orthogonalité dans l’espace), généralités sur les fonctions, fonctions trigonométriques.

Olga Goubanova

Sommaire

Partie 1 Droites et plans de l’espace

1.1 Règles de base ....................................................................................4

1.2 Positions relatives de deux droites .....................................................7

1.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan ......................................11

1.4 Positions relatives de deux plans ........................................................14

1.5 Révision ..............................................................................................15

Partie 2 Généralités sur les fonctions

2.1 Notion de fonction …………………………………………………..19

2.2 Étude de fonctions ..............................................................................27

2.3 Fonction « racine n^ième »......................................................................35 2.4 Révision ..............................................................................................37

Partie3 Fonctions trigonométriques

3.1 Trigonométrie dans un triangle rectangle...........................................40

3.2 Cosinus, sinus et tangente d’un nombre réel......................................46

3.3 Fonctions trigonométriques................................................................51

3.4Équations trigonométriques.................................................................56

3.5 Inéquations trigonométriques.............................................................60

3.6 Révision..............................................................................................62

Partie 4 Orthogonalité dans l’espace

4.1Droite et plan orthogonaux ................................................................65

4.2 Plans perpendiculaires .......................................................................69

4.3 Révision .............................................................................................72

1. Droites et plans de l’espace

1 .1 Règles de base

Mots à retenir

un point (точка) une droite(прямая) un plan (плоскость)

une convention (соглашение) transparent (прозрачный) opaque (непрозрачный) un pointillé (пунктирная линия)

borné (ограниченный) coplanaires(лежащие в одной плоскости)

Pourquoi la géométrie dans l’espace ?

Nous vivons dans l’espace et nous manipulons des objets de l’espace. La géométrie commence par étudier les objets les plus simples, c’est-à-dire ceux qu’il est possible de décrire avec des plans et des droites. Au début de XX^e siècle, les peintres « cubistes » ont utilisé ces formes simples pour représenter l’espace.

Pour étudier une figure de l’espace on a besoin de la matérialiser. Il y a plusieurs sortes de matérialisation dont les principales sont :

• une maquette ;

• un dessin en perspective ;

• un dessin en perspective, accompagné de dessins auxiliaires représentants des sous-figures contenues dans différents plans.

C’est par la pratique de manipulations diverses qu’on apprend à « voir dans l’espace».

Quelles conventions de dessin ? Il y a deux types de conventions de dessin d’objets de l’espace.

• Les plans sont opaques

On indique en trait plein les segments de droites qui

sont avant. On indique en pointillés les segments de

droites qui sont en arrière. On peut aussi colorier

certaines parties de plans pour les mettre en évidence.

• Les plans sont transparents

Quand deux droites se croisent, on interrompt le trait

de celle qui est arrière.

La première convention est la plus fréquemment utilisée.

On dit qu’on a ponctué le dessin.

• Pourquoi représente-t-on un plan par un parallélogramme ?

Le dessine est un parallélogramme ; il représente un

plan P. Un plan n’est pas borné. Par convention, on

représente souvent une partie rectangulaire de ce plan.

Dans le dessin les côtés opposés restant parallèles,

mais les angles ne sont généralement pas droits.

Le plan est une figure essentielle en géométrie de l’espace.

Deux points distincts de l’espace définissent une unique droite.
Trois points non alignés de l’espace définissent un unique plan.
Toute droite de l’espace dont deux points distincts appartiennent à un plan est contenue dans ce plan.
d) Deux droites sécantes déterminent un plan.
e) Une droite et un point n’appartenant pas à cette droite déterminent un plan.
f) Par deux droites parallèles non confondues il passe un plan et un seul.
g) Si deux plans ont un point commun, alors ce sont des plans sécants selon une droite qui passe par ce point commun.

Définitions

1) Des points, des segments, des droites qui sont tous dans un même plan sont dits coplanaires.

2) Une figure contenue dans un plan est une figure plan.

Méthode

Pour montrer qu’une droite est contenue dans un plan, il suffit de prouver que deux points particuliers de cette droite appartiennent au plan.