2. 3 Fonction « racine nième»

Mots à retenir

la racine n^ième (корень n-й степени)

la racine carrée (квадратный корень) la racine cubique (кубический корень)

Définition

Soit a est un nombre réel positif. On appelle racine n^ième de a, notée , l’unique réel positif x tel que

Exemple 

• La racine cubique de 27 est égale à 3 puisque

• puisque

Propriétés

1) Pour tout réel positif a,

2) La notation conduit à la notation se note

Remarque

Avec cette notation d’exposant fractionnaire, les formules connues sur les exposants entiers s’appliquent de la même façon avec ces exposants fractionnaires.

Pour tous rationnels r et s, on a :

 ;  ;  ;  ;

3) Pour tous réels positifs x et y, on a : et

4) Pour tout réel positif a, et

Définition

La fonction « racine n^ième » est la fonction f définie sur [0 ; [ par f (x) =

Propriétés

1) Représentation graphique

La courbe représentant f(x) dans le repère orthonormé a pour équation y = La courbe y = xⁿ et celle de

y = sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

2) Sens de variation

La fonction « racine n^ième » est croissante sur [0 ; [.

Exercices

120) Tester les égalités suivantes :

a) ; b) ; c) ; d) ;e) ; f).

121) Calculer : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ;.

122) Trouver la valeur de l’expression :

a) ; b) ; c) ; d) ; e)

123) Calculer la valeur de l’expression :

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f).

124) Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.

a) ; b) ; c) ; d).

125) Trouver la valeur de l’expression :

a) ; b) ; c) ; d)  ; e) ; f)

126) On considère les fonctions f, g, h définie par : ; ; .

a) Déterminer l’ensemble de définition de f, de g, de h.

b) Résoudre les équations suivantes : f (x) = 5 ; g (x) = -1 ; h (x) = 5.

127) Résoudre graphiquement les équations suivantes :

a) b)c)

128) Trouver la valeur de l’expression :

a) b) c) d) e) f)

129) Résoudre les équations suivantes :

a) b) c) d)

e) f) g)

130) Résoudre les équations suivantes :

a)b)c)d)

e) f) g)

131) Comparer, en justifiant par les variations de la fonction :

a)et 0 ; b)et c) et 1 ; d) et

132) Comparer les nombres suivants :

a)et b)et c)et d) et

2.4 Révision

133) On donne la représentation graphique d’une fonction f définie sur [-3 ; 4].

a) Quelle est l’image de -2 par f ?

b) Déterminer f(-3) et f(3).

c) Déterminer le ou les antécédents de 2 par f.

d)Déterminer un nombre réel ayant un antécédent unique.

e) Déterminer un nombre réel n’ayant aucun antécédent.

f) Déterminer un nombre réel ayant deux antécédents positifs.

g) Déterminer un nombre réel négatif ayant une image positive.

134) Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.

a) b) c) d)

135) Soit f est une fonction définie sur R.

a) Traduire « f(2) = 5 » : en utilisant le mot image ; en utilisant le mot antécédent ; en utilisant le mot courbe.

b) Traduire «  un antécédent de 5 est -3 » : en utilisant le mot image ; en complétant … = f (…) ; en utilisant le mot courbe.

136) La courbe suivante représente une fonction f.

a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?

b) Comparer : f(-2) et f(4) ; f(-4) et f(6).

c) Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes :

f (x)= 2 ; f(x)2; f(x) 2; f (x)= -1 ; f(x) < - 1; f(x) = 0; f (x)> 0; f (x)0.

137) Une fonction f admet le tableau de signes suivant :

x	-6 -2 0 2 5
f(x)	- 0 + 0 + 0 -

a) Quel est l’ensemble de définition de f ?

b) Déterminer le signe de f(-5) ; f(-3) ; f(-0,5) ; f(0) ; f(1) ; f(2,5) ; f(4,99).

c) Déterminer l’ensemble des réels x tels que : f(x)= 0 ; f(x)< 0 ; f(x)> 0 ; f(x)0 ; f(x)0.

138) Soit une fonction f dont le tableau de variations est dressé ci-dessous.

X	-4 -1 1,5 3 5
f (x)	5 2 2 0 -1

Tracer deux courbes possibles pour la fonction f.

139) Une fonction f admet le tableau de variations suivant :

x	-8 0 5 8
f (x)	5 6 1 0

1. Recopier et compléter les phrases suivantes :

La fonction f est définie sur … . La fonction f est croissante sur … .

Le minimum de f sur [-8 ; 8] est …, il est atteint pour x = … ; donc : si , alors f(x) …, c’est-à-dire que toutes les images f(x) sont … .

Le maximum de f sur [-8 ; 8] est …, il est atteint pour x = … ; donc : si , alors f(x) … .

2. En déduire un encadrement de f(x) lorsque.

3. À l’aide des variations de f, comparer : f (-5) et f (-3) ; f (0) et f (2) ;

f (5) et f (6) ; f (1) et f (4).

140) Soit la fonction f définie sur R par

a) Exprimer f (-x) puis comparer avec f (x).

b) Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ?

141) Soit la fonction g définie sur R par

a) Exprimer g (-x) puis comparer avec g (x).

b) Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de g?

142) Pour quelles valeurs du réel x les expressions suivantes sont-elles respectivement définies ?

a)b)c)d)e)

143) Trouver la valeur de l’expression :

a)b)c)d)e) f)

144) Trouver la valeur de l’expression :

a)b)c)d)

145) Résoudre les équations suivantes :

a)b)c)d)

e) f) g)

146) Résoudre les équations suivantes :

a)b)c)d)

e)f)g)