2. 2 Étude de fonctions

Mots à retenir

la fonction f est croissante (décroissante) sur un intervalle I (функция f возрастает (убывает) на промежутке I)

étudier le sens de variation d’une fonction (найти промежутки возрастания и убывания функции)

étudier le signe d’une fonction (найти промежутки знакопостоянства функции)

f admet un maximum (un minimum) sur I en a (функция f имеет максимум (минимум) на интервале I в точке a)

la fonction f est paire (impaire) (функция f чётная (нечётная))

Définitions

1) f est une fonction positive sur D si et seulement si pour tout x de D, on a :

f(x) 0. La courbe représentative d’une fonction positive est toujours au-dessus de l’axe des abscisses.

2) Sens de variation d’une fonction

Soit f est une fonction définie sur intervalle I de R.

• Dire que la fonction f est croissante sur I signifie que : pour tous réels x₁ et x₂ de I, si x₁ < x₂, alors f(x₁)f(x₂).

• Dire que la fonction f est décroissante sur I signifie que : pour tous réels x₁ et x₂ de I, si x₁ < x₂, alors f(x₁) f(x₂).

• La fonction f est constante sur I signifie : pour tous réels x₁ et x₂ de I,

f (x₁) = f(x₂).

• Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante sur cet intervalle.

Interprétation graphique : Soit la courbe représentative de la fonction f.

• Sur [a ; b], la fonction est croissante ainsi que sur [d ; e].

• Sur [b ; c], la fonction est décroissante.

• Sur [c ; d] la fonction est constante.

Imaginons qu’un personnage se déplace sur une courbe de gauche à droite. On décide de le repérer par un couple de coordonnées (x ; f(x)). Lorsque le personnage se déplace de (a ; f(a)) à (b ; f(b)), il monte. Lorsque le personnage se déplace de (b ; f(b)) à (c ; f(c)), le personnage descend. Lorsque le personnage se déplace de (c ; f(c)) à (d ; f(d)), le personnage se déplace horizontalement.

3) Maximum, minimum d’une fonction

Soit f est une fonction définie sur intervalle I de R.

• Dire que la fonction f admet un maximum sur I en a signifie que : pour tout nombre réel x de I, f(x) f(a). Le maximum de f sur I est f(a).

• Dire que la fonction f admet un minimum sur I en a signifie que : pour tout nombre réel x de I, f(x) f(a). Le maximum de f sur I est f(a).

• Un extremum est un maximum ou un minimum.

4) Parité d’une fonction

Soit f est une fonction définie sur une partie D de R et si x appartient à D, alors son opposé -x appartient aussi à D.

• Dire que la fonction f est paire signifie que : pour tout nombre réel x appartenant à D, f (-x) = f(x).

• Dire que la fonction f est impaire signifie que : pour tout nombre réel x appartenant à D, f (-x) = -f(x).

Interprétation graphique : 

• Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Méthode 1 Déterminer le signe d’une fonction f définie sur une partie D de R, c’est déterminer le signe de f(x) pour n’importe quel nombre réel x de D.

On détermine alors :

• les nombres réels pour lesquels f(x) = 0,

• les nombres réels pour lesquels f(x) > 0,

• les nombres réels pour lesquels f(x) < 0,

puis on résume les résultats dans un tableau appelé tableau de signes de f.

Exemple :

On donne ci-contre la courbe représentative

d’une fonction f sur intervalle [-3 ; 4].

Graphiquement, on voit que :

• f(x) = 0 pour x = -1 ou x = 3 ;

• f(x) > 0 pour x[-3; -1[] 3; 4].

• f(x) < 0 pour x]-1 ; 3[

On peut résumer les trois résultats par le tableau de signes de f suivants :

x	-3 -1 3 4
signe de f(x)	+ 0 - 0 +

Méthode 2 Étudier le sens de variation d’une fonction f définie sur un intervalle I de R revient à déterminer les intervalles inclus dans I sur lesquels la fonction f est croissante, décroissante ou constante. On résume les résultats dans un tableau appelé tableau de variations de f.

Exemple :

La fonction f représentée ci-contre est :

• décroissante sur l’intervalle [-3 ; 1]

• croissante sur l’intervalle [1; 4]

Son tableau de variation est le suivant :

x	-3 1 4
variations de f(x)	2 1 -2

Méthode 3 Déterminer le maximum ou le minimum d’une fonction f

• par lecture graphique :

• Le maximum M de f sur I est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe représentative de f sur I.

• Le minimum m de f sur I est l’ordonnée du point le plus bas de la courbe représentative de f sur I.

• par lecture du tableau de variations de f

Exemple :

x	-3 6 8 10
f(x)	0 4 -3 -1

Relativement au tableau de variation : sur [-3 ; 10], le nombre 4 est le maximum de f atteint pour x = 8, et -3 est le minimum de f atteint pour x = 6.