1.4 Positions relatives de deux plans

Mots à retenir

les plans sont sécants selon une droite (плоскости пересекаются по прямой)

α et β se coupent suivant une droite (плоскости α и β пересекаются по прямой)

le plan α coupe le plan β selon la droite (d) (плоскость α пересекает плоскость β по прямой d)

le plan α est le plan parallèle au plan β passant par le point L (плоскость α параллельна плоскости β и проходит через точку L)

le plan α est déterminé par les points A, B et C (плоскость α задана точками A, B et C)

la droite (d) est l’intersection du plan α et du plan β (плоскости α и β пересекаются по прямой d)

Définitions

1) Deux plans sont sécants lorsqu’ils ont une seule droite en commun.

2) Deux plans sont parallèles s’ils n’ont aucun point en commun ou ils sont confondus.

Soit α et β deux plans distincts de l’espace. Il existe deux possibilités, et deux seulement :

• ou α et β n’ont aucun point commun ;

• ou α et β se coupent suivant une droite.

Plans parallèles		plans sécantes
α β α ׀׀ β	α β α et β sont confondus	(d) α β α β = (d)

Propriétés

1) Deux plans sont parallèles lorsque deux droites sécantes de l’un sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

2) Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles entre eux.

3) Si un plan coupe deux plans parallèles, alors il coupe ces deux plans suivant deux droites parallèles.

4) Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à la droite d’intersection des deux plans.

Méthode1

Pour trouver les positions relatives de deux plans, on peut commencer par chercher d’éventuels points communs.

• Trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans chacun des deux plans.

• Placer le premier point commun aux deux plans.

• Recommencer avec deux autres droites pour obtenir un deuxième point commun aux deux plans.

• Tracer la droite passant par les deux points communs aux deux plans : c’est la droite d’intersection des deux plans.

Exemple : dans un tétraèdre SABC, les points T, I et O sont trois points respectivement sur les arêtes [SA], [SB] et [SC]. Représenter la droite d’intersection des plans (TOI) et (ABC).

• Les droites (TI) et (AB) sont contenues dans les plans respectifs (TOI) et (ABC). Elles se coupent en M : c’est le premier point commun aux deux plans.

• De même, les droites (TO) et (AC) se coupent en N : c’est le deuxième point commun.

• La droite (MN) est donc la droite d’intersection des plans (TOI) et (ABC).

Méthode2

Pour montrer que deux plans sont parallèles, il suffit de trouver deux droites sécantes de l’un parallèles à l’autre.