4. 2 Plans perpendiculaires

Mots à retenir

un dièdre (ou angle dièdre) (двугранный угол)

l'angle rectiligne d'un dièdre (линейный угол двугранного угла)

Définitions

1) Deux plans sont perpendiculaires si l’un d’eux contient une droite perpendiculaire à l’autre.

Propriété

Si deux plans sécants sont perpendiculaires au même

plan, alors leur intersection est une droite perpendiculaire

α β à ce plan.

et donc

2) Un dièdre (ou angle dièdre) est la figure formée par deux demi-plans (faces) issus d'une même droite (arête).

3) L'angle rectiligne d'un dièdre est la mesure de l'angle obtenu en coupant ce dièdre par un plan perpendiculaire à l'arête.

(d) (d)

Si deux plans sont perpendiculaires ils forment l’angle dièdre droit.

Exercices

279)

Soit ABCD A₁B₁C₁D₁ un cube. Rechercher :

a) un plan perpendiculaire au plan (ABC) ;

b) un plan perpendiculaire au plan (ABB₁) ;

c) un plan perpendiculaire au plan (AB₁C) ;

d) un plan perpendiculaire au plan (A₁B₁C₁) ;

e) un plan perpendiculaire au plan (A₁D₁D).

280) L’angle ABC est l'angle rectiligne d'un dièdre d’arête (m). Quelle est la position relative de la droite (m) et du plan (ABC) ?

281) Soit ABCD un rectangle. La droite (SA) est perpendiculaire aux droites (AB) et (AD). Démontrer que les plans (SAD) et (ABC) sont perpendiculaires.

282) Soit ABCD un carré. La droite (MD) est orthogonale au plan (ABC). Prouver que les plans (MBC) et (MDC) sont perpendiculaires.

283)

Soit ABCD un rectangle. (MB) est perpendiculaire aux côtés [AB] et [BC] de ce rectangle. Démontrer que les plans (MCD) et (MBC) sont perpendiculaires.

284) Soit ABC un triangle rectangle en C. Le côté [AC] est inclus dans le plan α, (BO) est orthogonale au plan α.

a) Démontrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BOC).

b) Démontrer que les plans (BAO) et α sont perpendiculaires.

c) Calculer le périmètre du triangle ABC, si

AC = 12cm, CO = 4cm, BO = 3cm.

285) Soit ABC triangle isocèle en B. [AC], la base de ce triangle, se trouve dans le plan α. [BD] est la hauteur du triangle ABC.

a) Démontrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BOD).

b) Démontrer que les plans (BDO) et α sont perpendiculaires.

c) Calculer le périmètre du triangle ABC, si

BO = 3cm, DO = cm, CO = 4cm.

286) Trouver l'angle rectiligne du dièdre si AC = 2AB.

287)

L’angle rectiligne du dièdre est égal à φ. la distance du point A au plan β est égale à d. Trouver la distance du point A à l’arête de ce dièdre.

288) L’angle rectiligne du dièdre est égal à 45°. Un point se trouve dans une des faces. La distance du point à l’arête est égale à d. Trouver la distance de ce point à l’autre face de ce dièdre.

289) L’angle rectiligne du dièdre est égal à 30°. Le point A se trouve dans une des faces. La distance du point à l’autre face de ce dièdre est égale à d. Trouver la distance du point A à l’arête du dièdre.

290) Les distances du point A aux arêtes d’un dièdre sont respectivement égales aux 6cm et 8cm. Trouver la distance du point A à l’arête du dièdre.

291) Soit ABC et ABD deux triangles équilatéraux. Trouver les longueurs de leurs côtés si les plans (ABC) et (ABD) sont perpendiculaires et CD = a.

292) Soit ABC et ABD deux triangles équilatéraux. Les plans (ABC) et (ABD) sont perpendiculaires, AB = a. Trouver CD et

293) Dans le cube représenté ci-dessous calculer l’angle que forment les plans (FHA) et (FHG).

294) Calculer l’angle que forment les plans α et β sécants selon la droite (c) si la distance d’un point de plan α au plan β est égale à cm et la distance de même point à la droite (c) est égale 4cm.