1.5 Révision

57) En s’aidant de la figure donnée, citer :

a) trois plans qui ne contiennent pas le point A ;

b) trois plans qui ne contiennent pas le point C ;

c) la droite d’intersection des planes (CMK) et (SBC) ;

d) la droite d’intersection des planes (DKM) et (SAB) ;

e) le plan qui passe par les droites (SA) et (KC) ;

f) le plan qui passe par les droites (SB) et (MD).

58) Deux sommets et le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme sont dans le plan α. Que peut-on dire de deux autres sommets de ce parallélogramme ?

59) Les points A, B et C ne sont pas coplanaires. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

60) ABCDEF est le prisme droit représenté ci-après. Les points M et N appartiennent respectivement aux segments [AD] et [CF]. Déterminer, dans chacun des cas suivants, la position relative des deux droites données.

a) (BE) et (AC).

b) (MN) et (DF).

c) (ME) et (AB).

d) (AM) et (NF).

61) Soit le cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux des arêtes [AE] et [BF]. Démontrer que les droites (IH) et (JG) sont parallèles.

62) Les points M et N faisant tous les deux parties de la face (ABC) du tétraèdre BCDA tels que (MN) et (BC) n’ont aucun point commun. Déterminer les points d’intersection de la droite (MN) avec chacun des plans (ADC), (ABD) et (BDC).

63) ABCD est le quadrilatère tel que Le plan α passe par le côté [AD]. Prouver que (BC)׀׀α.

64) ABCD est un carré. La droite (BK) n’est pas située dans le plan (ABC). Démontrer que la droite (CD) et le plan (ABK) sont parallèles.

65) Soit un tétraèdre ABCD. Les points E, F, G et H sont respectivement sur les arêtes [AB], [BC], [AD] et [CD]. Les droites (EF) et (HG) sont sécantes.

a) Sur quelle droite se trouve le point d’intersection des droites (EF) et (HG) ?

b) Reproduire la figure et placer le point d’intersection.

66) Soit un tétraèdre DABC. Les points I et J sont respectivement sur les arêtes [AD] et [BD].

a) Reproduire la figure.

b) Déterminer l’intersection des droites (IJ) et (DB).

c) Dessiner l’intersection des droites (IJ) et (AB).

d) Dessiner l’intersection des plans (ABC) et (CIJ).

67) Soit un cube ABCDA₁B₁C₁D₁. Les points M, N, K sont respectivement les milieux des segments [AB], [BB₁] et [BC]. Construire la section de ce cube par le plan α passant par les points M, N et K. Calculer le périmètre de cette section, si la longueur de l’arête est égale à b.

68) Construire la section de cube ABCDA₁B₁C₁D₁ par le plan (MNK), où les points M, N et K sont respectivement les milieux des segments [AD], [DC] et [BB₁].

2. Généralités sur les fonctions

2. 1 Notion de fonction

Mots à retenir

associer à (ставить в соответствие)

l’ensemble de définition (область определения)

l’ensemble des images (область значений)

f (x) est définie sur D (f(x) определена на множестве D)

a est l’image de b par f (a является значением функции f в точке b ; f(b) = a)

b a pour image a (значение функции в точке b равно a ; f(b) = a)

a pour antécédent b (значение функции в точке b равно a ; f(b) = a)

b est l’antécédent de a par f (значение функции в точке b равно a ; f(b) = a)

la courbe représentative, la représentation graphique (график функции)

Définitions

1) On considère une partie D de R. Définir une fonction numérique f sur D, c’est associer à tout élément x de D un et un seul élément de R, noté f(x).

2) L’ensemble D est l’ensemble de définition de la fonction, on dit que f est définie sur D. Pour tout x de D, f(x) existe.

3) Lorsque x varie dans D, f(x) varie dans R ; x est la variable et f(x) est l’image de x par f. On écrit y = f(x).

3) Le nombre x est un antécédent du nombre réel y par f si et seulement si xD et si y = f(x).

4) On appelle courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f l’ensemble des points M, de coordonnées (x ; f(x)) avec x élément de D.

Exemple : soit la courbe représentative de la fonction f

• Le point M(x ; f(x)) appartient à la courbe représentative.

• L’image par f de x_A est l’ordonnée y_A du point A.

• L’abscisse x_B de B est un antécédent par f de y_B.

Méthode 1 Déterminer l’image et antécédents à partir de l’expression d’une fonction f

• Calculer l’image d’un élément a de l’ensemble de définition revient à remplacer la variable x par a dans l’expression f(x) : c’est un calcul direct.

• Déterminer les antécédents éventuels de b revient à résoudre l’équation f(x)=b en ne gardant que les solutions qui sont dans l’ensemble de définition.

Méthode 2 Déterminer l’image et antécédents à partir de la représentation graphique d’une fonction f

• Déterminer l’image d’un élément a de l’ensemble de définition revient à déterminer l’ordonnée de l’unique point de la courbe qui possède pour abscisse a.

• Déterminer les antécédents de b revient à déterminer les abscisses des points éventuels de la courbe qui ont pour ordonnée b.

Méthode 3 Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction f

• Chercher l’ensemble de définition d’une fonction f revient à chercher les valeurs interdites : celles qui annulent les dénominateurs ; celles qui amènent des quantités négatives sous un radical.

• La représentation graphique d’une fonction doit pouvoir dire sur quel ensemble est définie la fonction.