3. 2 Cosinus, sinus et tangente d’un nombre réel

Mots à retenir

un cercle (окружность)

la relation fondamentale de la trigonométrie (основное тригонометрическое тождество)

Définitions

1) Sur un cercle il existe deux sens de parcours : le sens contraire à celui des aiguilles d’une montre appelé sens direct ou sens trigonométrique et le sens des aiguilles d’une montre appelé sens indirect.

2) Orienter un cercle c’est choisir un de ces deux sens de parcours.

3) Le plan étant muni d’un repère, le cercle de centre O dont le rayon est l’unité de longueur, orienté dans le sens direct, est appelé cercle trigonométrique.

Un point M se déplace sur le cercle trigonométrique. À tout nombre réel positif x, est associée une position unique du point M correspondant à la distance parcourue par M s’il tourne dans le sens direct. Á tout nombre réel négatif x, est associée une position unique du point M correspondant à la distance parcourue par M s’il tourne dans le sens indirect.

4) On définit une nouvelle unité d’angle : le radian. Un angle au centre du cercle trigonométrique d’un radian est un angle qui intercepte un arc de longueur une unité. Un angle de 180 degrés, mesure π radians.

Méthode Les conversions degré-radian se font en utilisant la proportionnalité et la correspondance : π rad = 180°.

• Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par

• Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par

Correspondances entre les mesures d’angles en radians et en degrés

Mesure (en degrés)	0	30	45	60	90	120	145	150	180
Mesure (en radians)	0								π

Définitions

Soit un point M (a ; b) du cercle trigonométrique dans le repère orthonormal.

• On appelle cosinus de x l’abscisse a du point M. On note a = cos x.

• On appelle sinus de x l’ordonnée b du point M. On note b = sin x.

• On appelle tangente de x l’abscisse de T sur zz’.

Propriétés

1) Pour tout réel x, et

2) Relation fondamentale de la trigonométrie:

4) Pour tout réel x et tout entier relatif k, et

5) Pour tout réel x différent de , avec k entier relatif,

6) Valeurs remarquables

x	0					π
cos x	1				0	-1
sin x	0				1	0
tan x	0		1		non définie	0

7) Signes : le signe de cos x est celui de l’abscisse du point M, le signe de sin x est

celui de l’ordonnée du point M.

8) Angles associés

Pour calculer le cosinus, le sinus et la tangente d’un réel x, on se ramène au cosinus, au sinus et à la tangente d’un réel compris entre 0 et

• Angles opposés :

Exemple : cos(-)= cos = sin (-) = -sin =

tan(-) = -tan =

• Angles supplémentaires :

Exemple :

• Angles complémentaires :

• Angles opposés par le sommet :

Exemple :

• Un quart de tour direct :

Exemple :