1.2 Positions relatives de deux droites

Mots à retenir

la droite est incluse dans le plan (прямая лежит в плоскости)

la droite est contenue dans le plan (прямая лежит в плоскости)

la droite est située dans le plan (прямая лежит в плоскости)

les droites sont confondues (прямые совпадают)

les droites sécantes (пересекающиеся прямые)

les droites (a) et (b) se coupent en A (прямые a и b пересекаются в точке A)

les droites non coplanaires (скрещивающиеся прямые)

Définitions

1) Deux droites parallèles sont deux droites coplanaires et qui n’ont pas de points communs ou qui sont confondues.

2) On dit que deux droites de l’espace sont sécantes lorsqu’elles ont un seul point commun.

3) Deux droites non coplanaires ne sont ni sécantes ni parallèles.

Soit (d) et (d₁) deux droites distinctes de l’espace. Il y a trois cas de figures pour la position relative de deux droites :

• ou les droites (d) et (d₁) n’ont pas aucun point commun et ne sont pas coplanaires ;

• ou les droites (d) et (d₁) n’ont pas aucun point commun et sont coplanaires ;

• ou les droites (d) et (d₁) ont un seul point commun.

Droites coplanaires			droites non coplanaires
sécantes	parallèles		(d) A (d1)
A (d) (d1) (d) (d1) = A	(d) (d1) (d) ׀׀ (d1)	(d) (d1) (d) et (d1) sont confondues

Propriétés

1) Deux droites sécantes sont coplanaires.

2) Deux droites qui n’ont pas de point commun sont parallèles entre elles uniquement si elles sont coplanaires.

3) Deux droites parallèles entre elles ou sécantes déterminent le plan qui les contient.

4) Il existe une seule droite parallèle à une droite donnée contenant un point donné extérieur à cette droite.

5) Si deux droites sont parallèles entre elles, toute nouvelle droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

Exercices

14) ABCDEFGH est le cube représente ci-dessous. Répondre par « vrai » ou « faux» à chacune des affirmations suivantes en justifiant la réponse.

a) Les droites (ED) et (HC) sont parallèles.

b) Les droites (AE) et (BC) n’ont aucun point commun.

c) Les droites (DC) et (BF) sont sécantes.

d) Les droites (AH) et (BG) sont parallèles.

15) Soit ABCDEFGH un cube. En dehors des arêtes du cube, donner :

a) deux droites coplanaires ;

b) deux droites non coplanaires ;

c) deux droites parallèles.

16) ABCDEFGH est un cube. Dire dans chaque cas, si affirmation donnée est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

17) ABCD est le tétraèdre représenté ci-dessous. Les points E et F appartiennent

respectivement aux segments [AB] et [AC], et sont tels

que les droites (EF) et (BC) ne sont pas parallèles.

a) Les droites (EF) et (BC) sont-elles sécantes ? Si oui, construire leur point d’intersection.

b) Même question pour les droites (EF) et (BD) ?

18) DABC est le tétraèdre représenté ci-dessous. M est le point du segment [BC] et N est un point du segment [AC].

Indiquer, dans chacun des cas, la position relative des droites données :

a) (BD) et (MN).

b) (BN) et (AM).

c) (MD) et (AC).

d) (ND) et (MD).

e) (MN) et (AB).

19) Recopier et compléter les phrases suivantes par « si », « alors », « et », « ou ».

a) … deux droites (d) et (d₁) sont sécantes, … elles sont coplanaires.

b)… deux droites (d) et (d₁) sont coplanaires, … elles sont parallèles … sécantes.

c) … deux droites (d) et (d₁) ne sont pas coplanaires, …elles n’ont aucun point commun.

d) … deux droites (d) et (d₁) n’ont aucun point commun, … elles sont strictement parallèles … non coplanaires.

e)Deux droites strictement parallèles sont coplanaires … n’ont aucun point commun.

20) Le triangle BKC et le rectangle ABCD ne sont pas inclus dans le même plan. M est le milieu du segment [BK], N est le milieu du segment [KC]. Prouver que (AD) et (KC) sont parallèles. Trouver AD, si MN = 4cm.

21) Le carré ABCD et le trapèze BEFC ([BC] et [EF] sont les bases) ne sont pas inclus dans le même plan. M est le milieu du segment [BE], N est le milieu du segment [FC]. Prouver que (MN) et (AD) sont parallèles. Trouver MN, si EF=4cm et AB = 8cm.

22) Les parallélogrammes ABCD et ABC₁D₁ ne sont pas inclus dans le même plan. Démontrer que le quadrilatère CDD₁C₁ est un parallélogramme.

23) DABC est un tétraèdre. Les points M, N, Q et P sont respectivement les milieux des arêtes [DB], [DC], [AC] et [AB]. Trouver le périmètre du quadrilatère MNQP, si AD = a et BC = b.

24) DABC est le tétraèdre représenté ci-dessous.

Les points I et J sont respectivement sur les arêtes [AD], [BD].

a) Reproduire la figure.

b) Déterminer l’intersection des droites (IJ) et (DB).

c) Dessiner l’intersection des droites (IJ) et (AB).

25) Le point M et le triangle ABC ne sont pas inclus dans le même plan. Quelle est la position relative des droites (MA) et (BC) ?

26) Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. Quelle est la position relative des droites (AB) et (CD) ?

27) Dans le tétraèdre SABC, les points E, F et G sont respectivement sur les arêtes [SA], [SB] et [SC].

1) Les droites (EF), (FG) et (GE) sont-elles coplanaires ?

2) Les droites (EF) et (AB) sont-elles coplanaires ?

3) Les droites (EG) et (AC) sont-elles sécantes ?