1.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan

Mots à retenir

la droite (d) coupe le plan α au point A (прямая d пересекает плоскость α в точке A)

la droite (d) est parallèle au plan α (прямая d параллельна плоскости α)

Définitions

1) On dit qu’une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ou lorsque la droite est incluse dans le plan.

2) On dit qu’une droite et un plan sont sécants lorsqu’ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est alors un point.

Soit α un plan et d une droite de l’espace.

Il existe trois possibilités, et trois seulement :

• ou la droite d et le plan α n’ont pas aucun point commun ;

• ou la droite d est incluse dans le plan α ;

• ou la droite d et le plan α ont un seul point commun.

Droite et plan parallèles		droite et plan sécantes
(d) α (d) ׀׀ α	α (d) (d) α	(d) A α (d) α = A

Propriétés

1) Si une droite est parallèle à un plan, toute droite de même direction que la droite donnée est parallèle à tout plan de même direction que le plan donné.

2) Une droite est parallèle à un plan si et seulement s’il existe une droite du plan parallèle à la droite donnée ; il en existe alors une infinité.

Méthode1

Pour montrer qu’une droite est parallèle à un plan il suffit de trouver une droite du plan parallèle à cette droite.

Méthode2

On ne peut pas obtenir directement le point d’intersection d’une droite et d’un plan ; il faut d’abord déterminer le point commun de deux droites.

• Trouver un plan dans lequel est contenue la droite.

• Tracer la droite d’intersection de deux plans.

• Tracer le point d’intersection de la droite et de la droite commune.

Exemple : SABC est un tétraèdre. Les points M et N sont respectivement sur les arêtes [SA] et [SC]. Représenter le point d’intersection de la droite (MN) et du plan (ABC).

• La droite (MN) se trouve dans le plan (SAC).

• Les plans (SAC) et (ABC) ont en commun la droite (AC).

• Les deux droites (MN) et (AC) sont coplanaires ; elles se coupent en I.

• I est le point d’intersection de la droite (MN) et du plan (ABC).

Exercices

28) ABCDEFGH est le cube représenté ci-dessous. Indiquer, pour chacune des quatre affirmations, si elle est vraie ou fausses.

a) La droite (ED) est parallèle au plan (EGB).

b) La droite (BC) est parallèle au plan (AFG).

c) La droite (BF) est parallèle au plan (EGC).

d) La droite (FC) est parallèle au plan (ADE).

29) ABCD est le tétraèdre ci-dessous. M est un point de [BC] et N est un point de [CD].

Déterminer, en justifiant, l’intersection de la droite (MN) et de chacun des plans (ABC), (ACD), (ABD) et (BCD).

30) ABCDEFGH est le cube représenté ci-dessous. M est un point du segment [EH], N est un point du segment [EF] et P est un point du segment [AE].

Déterminer, en justifiant :

a) l’intersection de la droite (MP) et du plan (ABC).

b) l’intersection de la droite (MN) et du plan (FBC).

c) l’intersection de la droite (NP) et du plan (ABC).

d) l’intersection de la droite (FP) et du plan (FEG).

31) Recopier et compléter les phrases suivantes.

a) Si les points A et B appartiennent à un plan α, alors la droite (AB) est … dans le plan α.

b) Si une droite (d) n’a aucun point commun avec un plan α, alors la droite (d) et le plan α sont … .

c) Si une droite (d) et un plan α sont sécants, alors ils n’ont qu’un seul … .

d) Si une droite (d) est parallèle à une droite (d₁) incluse dans un plan α, alors la droite (d) et le plan α sont … .

e) Si une droite (d) est parallèle à un plan α, alors la droite (d) n’est pas … à n’importe quelle droite contenue dans le plan α.

32) ABCDEF est le prisme droit représenté ci-dessous. M [AD], N [CF]. Déterminer, dans chacun des cas suivants, l’intersection, si elle existe, de la droite et du plan donné.

a) La droite (BC) et le plan (ADF).

b) La droite (MN) et le plan (BCE).

c) La droite (MN) et le plan (DEF).

d) La droite (AC) et le plan (DEF).

33) Le côté [AB] du parallélogramme ABCD est contenu dans le plan α, le côté [CD] n’est pas inclus dans le même plan. Quelle est la position relative de la droite (CD) et du plan α ?

34) Le rectangle ABCD et le trapèze ADMN ([AD] est la base) ne sont pas contenu dans le même plan. Quelle est la position relative de la droite (BC) et du plan (ANM) ? Quelle est la position relative de la droite (MN) et du plan (ADC) ?

35) ABCD est un parallélogramme. Le plan α passe par les sommets A et B. Le sommet C n’appartient pas à ce plan. Prouver que (CD) ׀׀α.

36) Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. K et M sont respectivement les milieux des segments [BD] et [CD]. Quelle est la position relative de la droite (KM) et du plan (ABC) ? Calculer le périmètre du triangle AKM si la distance entre chaque couple des points donnés est égale à 8cm.

37) ABC est un triangle. (AB) et (BC) coupent le plan α dans les points K et M qui sont respectivement les milieux des segments [AB] et [BC]. Quelle est la position relative de la droite (AC) et du plan α ?

38) Le point K et le rectangle ABCD ne sont pas inclus dans le même plan. Quelle est la position relative de la droite (CD) et du plan (ABK) ?

39) ABCD est le quadrilatère tel que Le plan α passe par le côté [AD]. Prouver que (BC) ׀׀α.

40) ABCD est un losange. La droite (A M) n’est pas située dans le plan (ABC). Démontrer que la droite (BC) et le plan (MAD) sont parallèles.