Лекции по математике. Теория вероятности

нечетных функций в симметричных пределах), поэтому выбран нечетный момент наименьшего порядка, не тождественно равный 0.

 Определение Коэффициент ассиметрии случайной

.величины -числовая характеристика ассиметрии распределения

A 33

Если A 0 , то распределение симметрично относительно мат.ожидания.

 Замечание Третий центральный момент – служит для характеристики ассиметрии распределения.

Для оценки поведения кривой распределения вблизи точки максимума (для определения того, насколько «крутой» будет его вершина) применяется центральный момент 4-го порядка

 Определение Эксцесс - числовая характеристика крутости распределения

характеристики островершинности фактического распределения по отношению к нормальному распределению. Для оценки эксцесса распределения используется четвертый центральный момент для двух типов данных

 Замечание Четвертый центральный момент – служит для характеристики крутости распределения.

71

4.Плотность распределения. Свойства плотности распределения

5.Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

6..Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины. Назовите свойства математического ожидания.

7. Определение дисперсии дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии.

73

Лекция 5

Законы распределения дискретной случайной величины

Двухточечное распределение

Пусть вероятность некоторого случайного события A равна p , где 0 p 1. X - сл.вел. – число наступлений сл. события

A в одном испытании. X - сл.вел может принять одно из двух значений

0 – если сл. событие A не наступило, 1 – если оно произошло.

Закон распределения вероятностей сл. вел., имеющей двухточечное распределение можно записать следующим образом:

P X 0 1 p P X 1 p

Математическое ожидание этой случайной величины будет

M X 0 1 p 1 p p

Дисперсия

D X M X 2 M 2 X

M X 2 0 1 p 1 p p D X p p2 p 1 p

Двухточечное распределение редко применяется непосредственно, но его можно представить как суммы сл. вел., имеющих двухточечное распределение.

74

Распределение выборочного значения признака

Рассмотрим пример. Пусть в университете обучаются N студентов. В качестве выборочного признака возьмем количественный признакразмер обуви. Обозначим его xk .

после обследования всех студентов, получили следующие результаты, которые занесены в таблицу, где 1-ый столбик- xk ,

2-ой- количество студентов с данным количественным признаком (размером обуви):

k

M i N

i 1

Вероятность того, что y наудачу выбираемого студента размер обуви будет равен xi , вычислим по классической

формуле

P X xi MNi ,

где M i - количество студентов с данным размером обуви.

Получим ряд распределения ДСВХ - размера обуви всех студентов университета:

k

pi 1

i 1

Пример: Подбрасывают два кубика. Составить ряд распределения ДСВХсумма очков на двух кубиках.

75

Решение

Выборочный количественный признаксумма очков на кубиках. Общее количество исходов по правилу умножения n 6 6 36 . Всевозможные значения ДСВХ: все натуральные числа от 2-х до 12. Найдем количество благоприятствующих исходов для каждого значения ДСВХ:

X 2 : m 1 ; X 3 : m 2 ; X 4 : m 3 ; X 5 : m 4 ; X 6 : m 5 ; X 7 : m 6 ; X 8 : m 5 ; X 9 : m 4 ;

X10 : m 3 ; X 11: m 2 ; X 12 : m 1 .

Сумма всех mi равна 36.

распределения, используя методы и формулы описанные в предыдущем параграфе.

Биноминальное распределение (закон Бернулли)

Данное распределение описывает весьма характерную для практики ситуацию последовательного осуществления ряда независимых опытов с одинаковыми возможными исходами при каждом из них.

Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас интересует не результат каждого выстрела, о общее число попаданий.

76

Подобно династиям монархов, существовала знаменитая династия ученых Бернулли - их даже звали, как королей: Якоб I, Иоганн I, Даниил I...

Эти трое - математики и механики - снискали наибольшую известность. Всего в семье было 11 детей

Якоб Бернулли доказал частный случай важнейшей теоремы теории вероятностей - закона больших чисел (названный позднее закон Пуассона). Он был опубликован после смерти Якоба Бернулли в его книге 'Искусство предположений' (1713).

Через 200 лет та часть книги, что относилась к закону больших чисел, была переведена на русский язык Я.В.Успенским и издана в Петербурге под редакцией академика А.А.Маркова.

Пусть вероятность наступления некоторого случайного события A при единичном испытании равна p , производится n

- испытаний и в каждом из них случайное событие наступить с вероятностью p .

Отдельные испытания независимы одно от другого. Это означает, что наступление (или ненаступление) случайного события A в данном испытании не влияет на вероятность наступления этого события в последующих испытаниях.

Данное распределение описывает весьма характерную для практики ситуацию последовательного осуществления ряда независимых опытов с одинаковыми возможными исходами при каждом из них.

Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас интересует не результат каждого выстрела, о общее число попаданий.

Найдем вероятность P X m - вероятность того, что

событие A наступит в m испытаниях.

Для того чтобы X m необходимо и достаточно, чтобы событие A наступило в m испытаниях, и не наступило в n m испытаниях.

Так как по условию испытания независимы, то в соответствии с теоремой об умножении вероятностей независимых событий

77

pm 1 p n m - вероятность того что событие A наступило

в m испытаниях, и не наступило в n m испытаниях, если заранее установлено, в каких испытаниях событие произойдет, а в каких нет.

Но так как, безразлично произойдет ли событие A в 1, 3 или 5 испытании – лишь бы общее число наступлений его было m , то необходимо учесть все порядки наступления события A .

Число таких порядков есть Сnm

Таким образом, закон распределения будет

P X m Cnm pm 1 p n m

где m 0,1, , n , n -известное количество всех проведенных испытаний, m -число тех испытаний, в которых произошло событие A , p -вероятность появления события A в одном

опыте.

 Определение ДСВХ, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностью

Pn m P X m Cnm pmqn m ,

где p q 1, m 0,1,2,3, , n , называется распределенной по

биноминальному закону, а p - параметром биноминального

распределения.

Ряд распределения случайной величины, подчиненной биномиальному закону, можно представить в следующем виде:

78

При значениях p близких к 0 , весьма вероятны малые значения

X т.е. весьма вероятны малые числа наступлений случайного события A . При значениях p близких к 1, весьма вероятны

значения X , близкие к n т.е. весьма вероятно, что сл. событие

Aнаступит почти во всех испытаниях

Замечание Формула Бернулли совпадает с общим членом бинома Ньютона

p q n p n Cn1 p n 1 q Cn2 p n 2 q 2 Cnn 1 p q n 1 q n

Замечание При p 12 - распределение симметрично,

при остальных ассиметрично.

Пример

Пассажиру удобно, когда все его попутчики лица одного пола, что и он. Сколько % таких пассажиров попадают в удобные условия.

Решение

Каждый пассажир покупает билет независимо от других

людей. Мужчин, путешествующих, столько же сколько и женщин. Опыт – продажа одного билета. Событие A - пассажир мужчина.

вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

p X 0 1 0.2 5 0.00032 ; p X 1 1 0.2 4 0.0064 ; p X 2 10 0.8 2 0.2 3 0.0512 ;

p X 3 10 0.8 3 0.2 2 0.2048 ; p X 4 5 0.8 4 0.2 0.4096 ;

p X 5 1 0.8 5 0.32768.

79

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

Пример Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение

Вероятность рождения девочки p 12 , тогда q 12 .Найдем

вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

P5 0 q5 321 , P5 1 C51 p1q4 325 ,

P5 2 C52 p2q3 1032 , P5 3 C53 p3q2 1032 .

Следовательно, искомая вероятность

P P5 0 P5 1 P5 2 P5 3 1613 .

наступлений его в среднем должно быть np

Дисперсия

D X np 1 p npq

80