Лекции по математике. Теория вероятности
.pdf
Но событие А может наступить, если наступит событие H2 .
и т.д. Для определения полной вероятности события А безразлично каким образом появится А
На основании теоремы сложения о несовместных событиях
получим |
|
|||
|
P A P H1 и A P H2 и A P Hs и A |
|||
Заменяя слагаемые их значениями, имеем |
|
|||
|
P A P H1 P A | H1 P H2 P A | H2 |
|
||
|
P Hs P A | Hs |
|
||
|
i s |
|
||
Или |
P A P Hi P A |
|
Hi . |
|
|
|
|||
i 1
Пример Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение
Будем считать гипотезами H1 , H2 и H3 выбор урны с
соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то
P H1 P H2 P H3 13
Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы:
|
A |
|
|
3 |
|
A |
|
|
2 |
|
A |
|
|
P |
|
|
|
|
, P |
|
|
|
|
, P |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
H1 |
|
|
H2 |
|
|
H3 |
|
|||||
Тогда
P A 13 73 13 72 13 0 0.238 .
Замечание Вероятность наступления события B , зависящего от ряда гипотез Hi , если известны степени
достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);
51
Метод фильтрации спама
При проверке письма вычисляется вероятность того, что оно — спам для множества гипотез.
«гипотезы» — это слова, и для каждого слова «достоверность гипотезы» — % этого слова в письме, а
«зависимость события от гипотезы» P B Ai — вычисленный
ранее «вес» слова.
То есть «вес» письма - усредненный «вес» всех его слов. Отнесение письма к «спаму» или «не-спаму» производится
по тому, превышает ли его «вес» планку, заданную пользователем ( 60-80 %). После принятия решения по письму в базе данных обновляются «веса» для вошедших в него слов.
Недостаток метода :базируется на том, что одни слова чаще встречаются в спаме, а другие — в обычных письмах, и
неэффективен, если данное предположение неверно Замечание если 80% писем, содержащих
словосочетание "разговорный английский", являлись спамом, то и следующее письмо с этим словосочетанием - спам, причем с большой долей вероятности.
Контрольные вопросы
1.Как определяется условная вероятность?
2.При каких условиях применяется формула Байеса?
3.В каких случаях применяется формула полной вероятности? Каким свойствам должны удовлетворять гипотезы?
4.Что такое априорные и апостериорные вероятности?
5.Если все априорные вероятности гипотез одинаковы, то остаются ли их апостериорные вероятности также всегда одинаковыми?
52
Задачи для самостоятельно решения
1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?
Отв. p 0.02 .
2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0.3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков. Отв. p 0.4 .
3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть
хоти бы одна стандартная Отв. p 4445 .
4.В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали. Отв. `р = 2/3`.
5.Указание. Если A — нет ни одной нестандартной детали, B — есть одна нестандартная деталь, то
6.`P(A+B)=P(A)+P(B)=(C_8^6)/
(C_10^6)+(C_2^1*C_8^5)/(C_10^6)` |
|
|
|
7. События A , B , |
C и D |
образуют полную систему. |
|
Вероятности событий |
таковы: |
P A 0.1; |
P B 0.4 ; |
P C 0.3 . Чему равна вероятность события D ?
Отв. P D 0.2
8. По статистическим данным ремонтной мастерской в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10—для смены резца; 3 — из-за неисправности привода; 2 — из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам. Отв. `р = 0,25`.
53
9.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.
Отв. 0,729.
10.Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился герб», «появилось 6 очков»
Отв. `1/12`.
11.В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Отв. 0,12.
12.В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна р= 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А ) Отв. 0,936
13.Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей
(событие А)? Отв. 21691
14.Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86%— первого сорта. Найти вероятность того что взятое наудачу изделие изготовленное на этом предприятии окажется первого сорта. Отв. 0,817
15.Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. найти вероятность следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания. б)
потребуется четное число бросания. Отв. а) 1615 б) 23
16. Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех — вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй
раз; в) в оба раза Отв. а) 53 б) 53 в) 73
54
17. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8. он попал в десятку хотя бы один раз? Отв. n 2 .
18.Три электрические лампочки последовательно включены
вцепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет разрыва.Отв. 0,936
19.Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же), Отв. 0,5.
20.Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком — 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком Отв. 0,44 .
21.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1 Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие. Отв. а) 0.243; б) 0,0729 .
55
Лекция 4
Случайные величины, классификация
Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что случайные величины являются существенным элементом любой модели, предназначенной для описания условий и результатов многих экспериментов.
Пусть в результате опыта могут наступать различные сл. события, причем наступлению каждого из них можно поставить в соответствие однозначное число.
Случайные события - это качественная характеристика случайного результата опыта, но случайный результат можно характеризовать и количественно.
Определение Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, но неизвестно заранее какое именно.
Случайная величина – числовая функция от случайного события, определенное обобщение понятия случайного события.
Принятие случайной величиной конкретного значения представляет собой событие, все теоремы можно применять для случайных величин.
Пример
Число выпадания герба про бросании монеты, -ошибка при измерении,
- количество транзисторов, отказывающих за некоторый промежуток времени
Случайные |
величины обозначают заглавными буквами |
X ,Y , Z , а |
их всевозможные значения, соответственно |
малыми x, y, z
Фундаментальные условия определения СС
–непредсказуемость исхода,
–и устойчивая относительная частота СС.
Среди случайных величин можно выделить два основных класса:
дискретные случайные величины
56
непрерывные случайные величины.
Определение Дискретная случайная величина –
величина, возможные значения которой отделимы друг от друга, принимающая конечное или счетное множество значений.
Определение Непрерывная случайная величина –
величина, возможные значения которой неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый интервал.
Законы распределения случайной величины
Полное описание случайной величины дает закон ее распределения.
Определение Закон распределения вероятностей случайной величины – соотношение, устанавливающее связь между вероятностями, с которыми случайная величина принимает различные значения и самими возможными значениями случайной величины..
Закон распределения может быть представлен в виде:
таблицы,
аналитической зависимости
графика.
Пусть X некоторая случайная величина, которая принимает
значения x1, x2 , , xs |
|
|
|
|
|
Вероятность того, |
что |
случайная величина |
X примет |
||
конкретное значение xi |
, обозначим P X xi |
|
|||
Пример |
|
|
|
|
|
Случайная величина X |
число очков, выпадающих при |
||||
бросании игральной кости. |
P X x |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример
Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по дисциплинам А и Б равны 0.7 и 0.9. Составить закон распределения числа экзаменов, которые сдаст студент.
Решение
57
Случайная величина x – число сданных экзаменов 0,1, 2. |
||||||||
P x 0 P |
|
|
|
|
|
0.3 0.1 0.03 |
||
A1 |
A2 |
|||||||
P x 1 P A1 |
|
|
|
A2 |
|
0.7 0.1 0.3 0.9 0.34 |
||
A2 |
A1 |
|||||||
P x 2 P A1 |
A2 |
0.7 0.9 0.63 |
||||||
Определение Ряд распределения - закон распределения вероятностей дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, в первой строке даны значения СВ, а во второй – соответствующие им вероятности.
Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.
Решение
Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет вид:
xi |
0 |
1 |
2 |
pi |
0,12 |
0,46 |
0,42 |
Простейшая форма закона распределения дискретной случайной величины - ряд.
Для наглядности ряд распределения представляют графически, в виде гистограмм, диаграмм.
Определение Многоугольник распределения (полигон распределения)– график, по оси абсцисс всевозможные значения случайной величины, по оси ординаты вероятности и ординаты соединены непрерывной кривой.
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
58 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
Замечание Сумма все ординат многоугольника распределения - вероятность всех значений случайной величины, и, следовательно, равна 1.
Замечание При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности.
Определение Многомодальное распределение
(двухмодальное) – распределение, имеющее два или несколько максимумов у многоугольника распределения для дискретной случайной величины или на кривой распределения для непрерывной случайной величины. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется
антимодальным
Теорема (характерное свойство многоугольника
распределения)
Сумма ординат многоугольника распределения или сумма
всех возможных значений случайной величины всегда равна 1
i s
P xi 1
i 1
Доказательство
Значения, которые может принимать сл.величина, являются событиями несовместными( в одном опыте может выпасть только одно какое-либо значение) и в совокупности составляют полную группу событий.
Замечание
i s |
|
|
P xi 1 - говорят единица |
распределена |
между |
i 1 |
|
|
значениями случайной величины, |
отсюда и |
термин |
«распределение». |
|
|
59
Интегральный закон распределения |
|
|
|||||||||
Определение Функцией |
распределения |
F(x) |
случайной |
||||||||
величины X |
называется |
вероятность |
того, |
что |
случайная |
||||||
величина примет значение, меньшее x : |
|
|
|
|
|||||||
|
|
F |
x P X x |
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
x x1 |
|
|
|
|
|||
P |
|
|
|
x |
|
x x |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
P1 P2 |
|
|
x2 x x3 |
|
|
|
|||||
F x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P P P |
|
x |
n |
1 |
x x |
n |
|
|
|||
1 |
2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
x x |
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства функции распределения
1) 0 F x 1.
Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.
2)Функция распределения является неубывающей функцией,
то есть |
F x2 F x1 при x2 x1 . |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
Это следует из того, что |
|
|
|
|
||||
F x2 P X x2 |
|
P X x1 P x1 X x2 F x1 . |
||||||
3) lim F x 0, |
lim |
F x 1 . |
|
|
|
|||
x |
|
x |
|
|
|
|
||
В частности, если все возможные значения Х лежат на |
||||||||
интервале a,b , то |
F x |
0 при |
x a и |
F x 1 |
при x b . |
|||
Действительно, X a |
– |
событие |
невозможное, |
а |
X b – |
|||
достоверное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Вероятность |
того, |
что случайная |
величина |
примет |
||||
значение из интервала |
a,b , равна разности значений функции |
|||||||
распределения на концах интервала:
60