Лекции по математике. Теория вероятности

Дисперсия имеет максимальное значение при p 12 , и

наоборот, чем более p отличается от p 12 , тем дисперсия меньше.

Вывод: Для того чтобы случайная величина была распределена по закону Бернулли необходимо, чтобы все контролируемые факторы были неизменные, а испытания не должны зависеть друг от друга.

Вероятность попадания ДСВХ, распределенной по биноминальному закону в k1, k2 .

Рассмотрим теперь вероятность попадания ДСВХ, распределенной по биноминальному закону в некоторый

интервал k1, k2 .

По теореме сложения несовместных событий, вероятность того, что событие A появилось в n испытаниях от k1 до k2 раз,

исхода предшествующего испытания, то есть от того наступило ли событие A в предыдущем испытании или нет. Такие испытания называются независимыми относительно события А.

В каждом из n испытаний вероятность появления события A вообще говоря может быть различной или одинаковой.

Будем считать, что условия каждого испытания организованы одни и те же для того, чтобы событие A могло

81

появиться в каждом из них с одной и той же постоянной вероятностью p .

Испытания, проведѐнные по такой схеме, то есть повторные независимые испытания с постоянной вероятностью появления события A называются испытаниями, проведѐнными по схеме Бернулли.

Заметим, что P А в одном испытании

P А 1 P A 1 p q

 Определение Наивероятнейшее значение случайной величины k0 – число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в n независимых испытаниях

np q k0 np p

 Замечание Наивероятнейшее значение k0 числа

наступления события A при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, является целым числом.

Пример

Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень равна 0,8. Стрелок произвел 7 выстрелов. Найти

а) наивероятнейшее число попаданий в мишень; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий в

мишень.

Решение

Эксперимент состоит в том, что стрелок последовательно производит 7 выстрелов по мишени, т.е. проводится 7 повторных независимых испытаний (количество испытаний конечно).

Каждое испытание имеет два исхода: стрелок попал в мишень и стрелок не попал в мишень. Вероятность попадания в мишень в каждом испытании постоянно. Каждое испытание является независимым, так как по условию задачи вероятность попасть в мишень при одном выстреле (испытании) является величиной постоянной и не зависит от других испытаний.

82

Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли (схема Бернулли выполняется).

a). По условию имеем:

n 7 - число выстрелов (число испытаний в эксперименте); p 0.8 - вероятность попасть в мишень при одном выстреле

(вероятность «успеха»);

q 1 p 1 0.8 0.2 - вероятность не попасть в мишень при одном выстреле (вероятность «неудачи»).

Найдем наивероятнейшее число k0 числа попаданий в мишень по формуле:

np q k0 np p .

Тогда, 7 0.8 0.2 k0 7 0.8 0.8

Или 5.4 k0 6.4 .

Так как наивероятнейшее число есть целое число, то наивероятнейшее число попаданий в мишень равно 6, то есть k0 6 .

б). Рассмотрим событие F – из 7 выстрелов стрелок попадет

формулу Бернулли (1), так как эксперимент проводится по схеме Бернулли:

Pn k Cnk pk qn k .

Тогда, подставляя исходные данные, получим искомую вероятность

P F P7 6 C76 0.86 0.27 6 C77 6 0.86 0.21

C71 0.86 0.2 7 0.262144 0.2 0.3670016 0.367

83

При вычислении числа сочетаний C76 воспользовались известным свойством Cnk Cnn k

Ответ: а) k0 6 ; б) P F 0.367

Закон Пуассона

Закон Пуассона используют в технических исследованиях, действует в теории помехозащищенности, теории надежности.

Пуассон Симеон Дени 1781-1840-выдающийся французский ученый, один из создателей современной математической физики, уже в двадцать лет Пуассон сделал свои первые математические работы, сразу принесшие ему известность . Написал свыше 350 работ в области небесной механики, механики, определенных интегралов, дифференциальных уравнений, рядов, теории вероятностей, статистики. Ввел термин «закон больших чисел» .

Он уделял большое внимание применениям теории вероятностей в уголовном судопроизводстве. Один из его трактатов называется «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах», трактат «О преимуществе банкира при игре в тридцать и сорок».

 С помощью открытой им же формулы можно, подсчитать вероятность того, что в коллективе, состоящем из 1999 человек, ровно k человек родились в тот же день, что и Пуассон ( k = 0,1,2,3,4,....).

 Можно вычислить как распределены опечатки в какойнибудь книге при условии, что существует постоянная вероятность того, что любая буква будет набрана наборщиком неправильно.

Наблюдается некоторое случайное событие, вероятность наступления которого в единичном испытании есть p .

Отдельные испытания независимы друг от друга, так что, наступление данного события в одном испытании не влияет на вероятность наступления этого события в других испытаниях. Эта вероятность находится по формуле Бернулли.

84

Пусть вероятность в единичном испытании есть p . – весьма мала и что число испытаний весьма велико. Т.е. np - есть

постоянное, не слишком большое число.

P X m m e m!

Закон Пуассона. np - параметр Пуассона.

m - число тех опытов, в которых произошло СС, m - является случайной величиной в законе Пуассона. P X m -

вероятность того, что СС произойдет ровно m раз.

 Определение ДСВХ, которая принимает целые неотрицательные значения с вероятностями,

P X m m e m!

вычисляемыми по формуле Пуассона:, называется распределенной по закону Пуассона, где np - параметр

распределения.

 Замечание При большом числе испытаний n и малой вероятности p формулой Бернулли пользоваться неудобно,

например, 0.97999 вычислить трудно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях ( n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p 0.1 и np 10 . При больших np рекомендуется применять

формулы Лапласа (Муавра-Лапласа).

Числовые характеристики пуассоновского распределения

Математическое ожидание и дисперсия

M X np D X np

85

Отличительная особенность данного распределения состоит в том, что математическое ожидание и дисперсия равны параметру распределения

X np ,

т.е.

M X np D X .

Это свойство часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что сл. величина распределена по закону Пуассона.

Для этого определяют из опыта мат. ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то это пуассоновское распределение.

Распределение Пуассона находит широкое применение в статистическом контроле качества продукции.

Один из методов контроля состоит в том, что в небольших контрольных партиях, случайно отобранных из готовой продукции, выясняется число X дефектных изделий в каждой партии.

Это число есть случайная переменная с распределением Пуассона. Параметр Пуассона – среднее число дефектных изделий, обнаруженных в партиях

Свойства распределения Пуассона

1. Вероятность того, что событие не появится ни разу при m 0

P 0 e

2. Вероятность того, что событие появится хотя бы один

раз

.P 1 1 P 0 1 e -

3. Вероятность того, что сл. величина примет значение не

4. Закон Пуассона приближенное выражение формулы Бернулли, когда число опытов велико, а вероятность

86

наступления события в каждом из них мала (закон Пуассона асимптотичен закону Бернулли).

От этого свойства закона Пуассона – выражать биноминальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события происходит и его другое название - закон редких явлений. Изучается редкий случай, когда вероятность появления случайного события в одном испытании p 1. Теоретически считается, что p 0 .

Рассмотрим примеры решения задач на применение биноминального закона и закона Пуассона.

Пример В партии, содержащей 30 деталей имеется 20 стандартных. Наудачу выбирают три детали с возвращением. Составить ряд распределения ДСВХколичество стандартных деталей среди отобранных.

Решение:

ДСВХ имеет биноминальное распределение, т.к. вероятность появления стандартной детали в каждом испытании - отбора

детали, постоянна и равна 3020 . Возможные значения ДСВХ:

0,1,2,3 . Найдем по формуле Бернулли вероятность появления

Проверка:

271 92 94 278 1

87

Ряд распределения имеет вид:

рассматриваемые события (неверные соединения) независимы,

поэтому имеет место формула Пуассона Pn k k e k!

а) Найдем параметр :

np 2000 0.001 2 .

а) Найдем вероятность того, что будет ровно 3 ( k 3 ) неверных соединения:

P2000 3 e 2 0.0226 3!

б) Найдем вероятность того, что будет менее трех неверных соединений:

в) Найдем вероятность P того, что будет повреждено более трех изделий.

События «повреждено более трех изделий» и «повреждено не более трех изделий» (обозначим вероятность этого события через q)—противоположны, поэтому p q 1.

88

Отсюда:

P2000 1 P2000 0 P2000 1 P2000 2 P2000 3

1 0.338 0.0226 0.6394

Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий.

Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

Решение

Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96.

Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

mx pn 1000 0,96 960; Dx npq 1000 0,96 0,04 38,4;

89

Контрольные вопросы

1.Что называется биноминальным законом? Какие значения принимает ДСВХ? Записать формулы для вычисления числовых характеристик.

2.Когда применяются теоремы МуавраЛапласа? При каком условии приближенные формулы дают более точный результат?

3.В каком случае применяется закон распределения Пуассона и в чем состоит его особенность?

4.Какое распределение называется геометрическим? Какие значения может принимать ДСВХ? Почему распределение называется геометрическим? Чем отличаются ряды распределения в случае, если число испытаний неограниченно и в случае, если - ограниченно?

5.Какое распределение называется биномиальным?

6.Какое распределение называется распределением Пуассона?

7.Какое распределение называется равномерном?

8.Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при малом числе испытаний?

9.Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1?

10.Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз при большом числе испытаний и малой вероятности p?

11.Какая формула используется для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие А появится от a до b раз при большом числе испытаний и вероятности p, отличной от 0 и 1?

90