Лекции по математике. Теория вероятности

n 20 10 30 10 20 10 100, получаем

1(20 0) 0 10 10 1 0 20 2 30 10

x 0,8 100

y 2 20 10 0 30 3 0 10 20 10 2,4 . 100

Тогда

xy 2 1 20 2 0 10 2 1 0 2 2 30 3 1 0 3 0 10 3 1 20 3 2 10 100

0,8 2,4 0,8.

Контрольные вопросы

1.Что такое ковариация?

2.Приведите примеры «положительной корреляции»

3.К каким изменениям коэффициента корреляции приводят ошибки измерений тех признаков для которых оценивается взаимосвязь.

4.Может ли коэффициент корреляции быть равным нулю , если между измеряемыми признаками существует функциональная зависимость?

5.Приведите пример случайных величин, у которых ковариация нулевая.

6.Какие характеристики составляют корреляционную матрицу?

141

Лекция 9

Функция одного случайного аргумента

При решении задач часто удобно бывает представить исследуемую случайную величину как функцию других случайных величин с известными законами распределения, что помогает установить и закон распределения заданной случайной величины.

(при вычислении значений Y в формулу, задающую функцию, подставляются возможные значения X ).

2) Если разным значениям X могут соответствовать одинаковые значения Y , то вероятности значений аргумента,

142

при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.

Математическое ожидание функции одного аргумента

Пусть Y (X)– функция случайного аргумента X , и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон

Решение

M(Y) 47 0,1 69 0,2 95 0,3 125 0,4 97

143

Если X – непрерывная случайная величина, то математическое ожидание функции одного аргумента можно искать по-разному.

Если известна плотность распределения g(y) , то

M (Y ) yg( y)dy.

Если же g(y) найти сложно, то можно использовать известную плотность распределения f(x) :

M (Y ) (x) f (x)dx.

Вчастности, если все значения X принадлежат

промежутку (a, b) , то

b

M (Y ) (x) f (x)dx.

а

Функция двух случайных величин

 Определение Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z , то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y :

Z ( X,Y ) .

Рассмотрим в качестве такой функции сумму X Y . В некоторых случаях можно найти ее закон распределения, зная законы распределения слагаемых.

соответствующие им вероятности.

Пример Рассмотрим дискретные случайные величины X и Y , законы распределения которых имеют вид:

144

величины, то, если плотность вероятности хотя бы одного из аргументов задана на (- , ) одной формулой, то плотность

суммы g(z) можно найти по формулам

145

 Замечание Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин называют композицией.

146

Нормальный закон распределения на плоскости

Из законов распределения системы двух случайных величин имеет смысл специально рассмотреть нормальный закон, как имеющий наибольшее распространение на практике. Так как система двух случайных величин изображается случайной точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто называют «нормальным законом на плоскости». Многочисленные исследования, проведѐнные профессорами А.Б.Яхиным, А.А.Зыковым и другими, показали, что распределение действительных размеров деталей изготовленных, обработанных на настроенных станках, очень часто подчиняется закону нормального распределения (закону Гаусса).

Это объясняется тем, что результирующая погрешность обработки обычно формируется в результате одновременного воздействия большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки, которые по существу представляют собой взаимно независимые случайные величины. Влияние каждой из них на результирующую погрешность имеет один порядок, поэтому распределение результирующей погрешности обработки, а значит, и распределение действительных размеров изготовленных деталей подчиняются закону нормального распределения

 Определение Нормальный закон распределения на плоскости - распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если плотность распределения

Нормальный закон на плоскости определяется 5 параметрами: a1, a2 – математические ожидания,

x , y – средние квадратические отклонения, rxy – коэффициент корреляции Х и Y.

Ниже показан график плотности нормального распределения

148