Лекции по математике. Теория вероятности

n

k M X M X k xi a k pi

i 1

Эксцесс - числовая характеристика дискретной случайной величины, характеризующая крутость распределения случайной величины, параметр формы, равный

E 4 34

К лекции 5

Двухточечное распределение -закон распределения вероятностей

биноминального распределения.

Закон Пуассона - закон распределения вероятностей дискретной случайной величины, которая принимает целые неотрицательные значения с вероятностями,

P X m m e m!

где np - параметр распределения Пуассона.

Наивероятнейшее значение случайной величины k0 – число

испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в n независимых испытаниях

np q k0 np p

261

К лекции 6

определенный интеграл

M x x f x dx

Медиана Me непрерывной случайной величины – числовая характеристика непрерывной случайной величины для которой выполняется:

P X Me P X Me

т.е. одинаково вероятно окажется ли случайная величина меньше или больше медианы.

Мода непрерывной случайной величины – числовая характеристика непрерывной случайной величины, выражает наиболее вероятностное значение, в котором плотность максимальна.

Непрерывная случайная величина (НСВ) - случайная величина,

которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Плотность распределения непрерывной случайной величины – функция f (x) , определяемая по формуле:

f (x) F x

262

Среднее квадратическое отклонение - числовая характеристика

равная корню квадратному из дисперсии:

x D x

Функция распределении (интегральный закон распределения)

непрерывной случайной величины - функция, которая равна вероятности того, что непрерывная случайная величина приняла значение меньшее заданного х:

x

F (x) f (x)dx

К лекции 7

Кривая Гаусса - график плотности нормального распределения или нормальная кривая.

Нормальное распределение (гауссовское) - закон распределения

где a – математическое ожидание.

Правило трех сигм - вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Правило k - сигм - вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем k -сигма, практически равна нулю

0.6827, k 1,

P X m k Φ k Φ k 0.9545, k 2,

0.9973, k 3.

Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины - закон для которого на интервале, которому

263

принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение

0, x a, b

Распределение Вейбулла с параметрами m и a -показательное распределение случайной величины X с плотностью распределения

распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1

Экспоненциальное распределение - показательное распределение

отклонений этих величин от своих математических

ожиданий.

K xy M X M x Y M y

для дискретных случайных величин корреляционный момент

264

для непрерывных случайных величин корреляционный момент

Кху (x M ( X ))(y M (Y )) f (x, y)dxdy.

Корреляционная матрица системы двух случайных величин X и Y - матрица вида

где q -коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции - безразмерная характеристика коррелированности двух случайных величин

q Kxy

x y

Некоррелированные случайные величины – величины,

коэффициент корреляции которых равен нулю.

Плотность совместного распределения вероятностей

непрерывной двумерной случайной величины - двумерная плотность, смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:

f (x, y) 2 F (x, y)

x y

Произведение независимых случайных величин Х и Y - случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений X на все возможные значенияY , а соответствующие им вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей.

Равномерно распределенная на плоскости система двух случайных величин – система, плотность вероятности которой

f x, y = const внутри некоторой области и равна 0 вне ее.

Сумма случайных величин Х и Y - случайная величина возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y ;

265

вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

a Y y принимают значения:

F x, y p X x, Y y .

Центральный момент порядка k, s двумерной случайной величины ( X ,Y ) - математическое ожидание произведения

( X M ( X ))k на (Y M (Y ))s :

k ,s M ((X M ( X ))k (Y M (Y ))s ).

Для дискретных случайных величин

k ,s (xi M ( X ))k ( y j M (Y ))s pij, i j

для непрерывных случайных величин

k ,s (x M ( X ))k ( y M (Y ))s f (x, y)dxdy.

К лекции 9

Функция случайного аргумента X - единственное возможное значение случайной величины Y , которая соответствует каждому возможному значению случайной величины X .

Y (X)

266

Функция двух случайных аргументов X и Y - единственное возможное значение случайной величины Z , которая соответствует каждой паре возможных значений случайных величин X и Y

Z ( X,Y )

К лекции 10

Равномерный закон на плоскости – закон распределения системы двух случайных величин, у которого плотность

вероятности равна f x, y = const внутри некоторой области и

равна 0 вне ее.

Нормальный закон распределения на плоскости - распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) с плотностью вида:

К лекции 11

Закон больших чисел – группа законов распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближенных к нормальному при достаточно большом числе слагаемых.

Характеристическая функция случайной величины X - функция вида

К лекции 12

Бесповторная выборка – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Вариационный размах – разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда

267

R xmax xmin

Вариационный ряд – ранжированный ряд вариантов с соответствующими весами.

Весы – частоты и относительные частоты.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения - функция

F * x , определяющая для каждого значения x относительную частоту события X x .

F * x nnx ,

где nx – число вариант, меньших x , n – объем выборки.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Гистограмма – прямоугольники, с основаниями, равными интервалам значений признака и высотами, равными частотам.

Группировка – разбиение вариантов на различные интервалы Дисперсия – средняя арифметическая квадратов отклонений

вариантов от их средней арифметической

где s - средне квадратическое отклонение.

Интервальные частоты - частоты, в которых признак принял значения, входящие в некоторый интервал.

Кумулятивная кривая (кривая сумм) — ломаная, составленная по последовательно суммированным, т.е. накопленным частотам или относительным частотам.

Коэффициент ассиметрии – числовая характеристика, выражающая характер распределения выборки

268

Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Мода – варианта соответствующая наибольшей частоте.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматриваемой совокупности.

Относительная частота – отношение частоты к общему наблюдению

Повторная выборка – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Полигон - ломаная линия с координатами xi , ni , где xi откладываются на оси абсцисс, а ni – на оси ординат.

m

n ni

i 1

Ранжирование вариантов ряда – расположение, упорядочивание вариантов в порядке возрастания (убывания)

Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот.

где xi - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, ni - соответствующие им частоты,

Частота – число, показывающее, сколько раз встречаются варианты из данного интервала

Эксцесс - числовая характеристика, выражающая характер распределения

269

К лекции 13

Статистическая гипотеза – гипотеза о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Нулевая (основная) гипотеза H0 - выдвинутая гипотеза.

Конкурирующая (альтернативная) гипотеза - гипотезу H1 ,

которая противоречит нулевой.

Простая гипотеза - гипотеза , содержащая только одно предположение.

Сложная гипотеза - гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Статистический критерий - случайная величина К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Наблюдаемое значение Kнабл - значение критерия, вычисленное

по выборкам.

Критерий согласия - критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения

К лекции 14

Асимптотически несмещенная оценка – оценка некоторого признака и для выборки x1 , x2 , , xn

которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки

Смещенная оценка – статистическая оценка, ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Состоятельная оценка - статистическая оценка, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет состоятельной, если при n ее дисперсия стремится к 0).

270