Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции по математике. Теория вероятности

.pdf
Скачиваний:
74
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
4.02 Mб
Скачать

P a X b F b F a

Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения.

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

Функция распределения дискретной случайной величины имеет – ступенчата со скачками в точках возможных значений случайной величины.

Высоты ступени равны в каждой точке вероятности соответствующего значения случайной величины.

График функции распределения имеет ступенчатый вид:

З

амеча

ние

Кажда

я

случай

ная

велич

ина

полностью определяется своей функцией распределения.

Замечание Функция распределения связана с законом распределения и является одной из форм его выражения

(интегральный закон распределения).

Пример

Пусть X -случайное число очков, выпавших при одном бросании игральной кости. Написать интегральный закон распределения случайной величины.

Решение

Функция распределения (интегральный закон распределения случайной величины) имеет вид:

61

0,

 

x 1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2 x 3

 

 

 

 

 

,

 

5

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

F x

 

 

 

 

 

 

, 3 x 4

5

 

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

1

 

4 x 5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

6

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

5 x 6

 

5

 

6

6

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 6

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Числовые характеристики дискретной случайной величины

В ТВ для общей характеристики случайной величины используются числовые характеристики. Они выражают наиболее существенные особенности того или иного распределения.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Характеристики положения

Характеристики положения дают представление о положении случайной величины на числовой оси. К ним относятся:

Математическое ожидание

62

Мода

Медиана

Определение Математическое ожидание – величина,

равная сумме произведений отдельных значений, которые может принимать переменная на соответствующие им вероятности:

is

xМ X xi p xi .

i1

Замечание Если X - дискретная случайная величина, принимающая счетное количество значений, то математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда ряд сходится и при том абсолютно.

Математическое ожидание – основная характеристика распределения. Она информирует о том, каков средний уровень значений, принимаемых случайной величиной.

Математическое ожидание – число, около которого колеблются значения случайных величин и их средние значения по сериям опытов.

Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, при неограниченном возрастании числа испытаний, стремится к математическому ожиданию.

Определение Отклонение – - центрированная случайная величина:

xi M X

Теорема Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

 

 

Доказательство

 

 

n

 

M x mx xk mx pk

 

 

k 1

n

n

n

xk pk mx pk mx mx pk mx m1 1 0

k 1

k 1

k 1

63

Замечание Отклонения противоположных знаков в среднем взаимно погашаются. Поэтому в качестве меры рассеивания берут математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. Мат. ожидание линейно

n

 

n

M ci xi

ci M xi .

 

 

i 1

i 1

 

2.Математическое ожидание - взвешенное среднее, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

3.Математическое ожидание не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.

4.Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина

5.Математическое ожидание дискретной случайной величины X может не совпадать ни с одним из ее возможных значений.

6.Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной

M C C

Доказательство

Если рассматривать C как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение C с вероятностью p 1,

то: M C C 1 C

7.Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания

M C x C M x

64

Доказательство

Если случайная величина x задана рядом распределения

xi

x1

x2

 

 

xn

pi

p1

p2

 

 

pn

то ряд расположения для Cx имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

Cxi

Cx1

Cx2

 

 

Cxn

pi

p1

p2

 

 

pn

8.Математическое ожидание случайной величины определяет положение центра распределения вероятностей.

9.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

M X Y M X M Y

10. Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M X Y M X M Y

Замечание Одному и тому же заданному математическому ожиданию может соответствовать бесчисленное множество случайный величин, различных не только по своей природе, но и по характеру. Математическое ожидание с.в. определяет положение центра распределения вероятностей.

Определение Мода –значение случайной величины xi , имеющее наибольшую вероятность или наиболее вероятное значение. Обозначается m0 .

Определение Число называется наивероятнейшее, если вероятность осуществления этого события не меньше вероятности других событий (мода)

65

np q m0 np p

Определение Медиана - такое значение случайной величины, что выполняется условие.

P( X x1 ) P( X x1 )

1

2

 

2

 

2

 

 

 

Обозначается медиана

ME .

 

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Замечание Все три характеристики (математическое ожидание, мода и медиана) не совпадают.

Замечание Если распределение симметрично и модальное (имеет одну моду), то все они характеризуются одним положением и совпадают.

Пример

Если ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

x

1

2

3

4

 

 

 

 

 

p

0.1

0.7

0.15

0.05

 

 

 

 

 

то мода M 0 2 .

Замечание Если распределение одномодальное, то мода

имедиана совпадают с математическим ожиданием.

Пример Рассмотрим две случайные величины: X и Y , заданные рядами распределения вида

X

49

50

51

 

 

 

 

p

0.1

0.8

0.1

 

 

 

 

Y

0

100

 

 

 

p

0.5

0.5

 

 

 

Найти математическое ожидание дискретных случайных величин.

Решение

66

M X 49 0.1 50 0.8 51 0.1 50 ,

M Y 0 0.5 100 0.5 50 .

M X M Y , но если для случайной величины X M x

хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением, то значения Y

существенно отстоят от M y .

Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него, т.е. дисперсию.

Характеристики рассеивания

Значения наблюдаемых в практике с.в. всегда колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеиванием величины около ее среднего значения. Числовые характеристики, описывающие это явление называются характеристиками рассеивания и основные из них дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Само слово дисперсия – «рассеивание».

Определение Дисперсией– называется математическое ожидание квадрата разности с.в. и ее мат.ожидания

D X M x mx 2 i s xi mx 2 p xi

i 1

Дисперсия – сумма квадратов возможных отклонений с.в. от ее среднего значения, взятых с «весовыми» коэффициентами, равными вероятностям соответствующих отклонений.

Или Дисперсия – математическое ожидание квадратов отклонений с.в. от ее среднего значения, количественная характеристика распределения с.в.

Дисперсия, как и математическое ожидание являются величиной не случайной.

67

Таким образом, дисперсия – характеристика возможных отклонений с.в. от ее среднего значения. Чем большие отклонения в обе стороны от среднего значения возможны у данной с.в. и чем больше вероятности таких отклонений, тем больше дисперсия с.в. В частном случае, когда среднее значение равно нулю, дисперсия характеризует разброс значений с.в. в обе стороны от нуля.

Теорема Дисперсия разность математического ожидания квадрата сл.в. и квадрата мат. ожидания с.в.

D X M X 2 M 2 X

Доказательство

D x

n

xk mx 2

n

n

 

n

 

pk x k2 pk 2 xk mx pk m k2 pk

 

k 1

 

k 1

k 1

 

k 1

n

 

n

 

n

2mx mx mx2 M x2 m 2x

x k2 pk 2 mx xk p k m k2

pk M x2

k 1

 

k 1

k 1

 

 

 

Теорема

Дисперсия постоянной

величины С равна

нулю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D c 0

 

 

Доказательство

D c M c c 2 M 0 0

Теорема Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

D cX c2D X

Доказательство

D cX M cX M cX 2 M cX cM x 2

M c2 X M X 2 c2M x M x 2 c2 D X

68

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна

сумме их дисперсий:

D X Y D X D Y

Дисперсия разности двух независимых случайных величин

равна сумме их дисперсий:

D X Y D X D Y

Замечание В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание Существует более удобная для расчетов

формула для вычисления дисперсии

D X M X 2 M 2 X

Пример

Известны законы распределения сл.в. X ,Y - числа очков выбиваемых 1, 2 стрелком. Какой из стрелков стреляет лучше.

1 – имеет большие вероятности при крайних случаях, у 2 – промежуточные значения.

Стреляет лучше тот, кто в среднем выбивает большее количество очков. Это среднее количество и есть математическое ожидание.

Но, если среднее число выбиваемых очков одинаково, тогда лучше стреляет тот, у кого меньше отклонения (разброс, вариация, рассеяние) этого числа относительно среднего значения. А это и есть дисперсия. В нашем примере D( X ) D(Y ) , следовательно 2 стрелку нужно сместить «центр»

распределения числа выбиваемых очков, научиться лучше целиться в мишень.

Определение Среднеквадратическое отклонение

корень квадратный из дисперсии D X .

69

Пользоваться среднеквадратичном отклонением удобнее, т.к. это величина имеет размерность самой с.в.

Замечание Чем меньше рассеиваются значения с.в., тем точнее можно их предсказать.

Замечание В финансовом анализе имеют большое значение характеристики мат.ожидание и дисперсия.

X - распределение доходности некоторого актива (например акции), тогда M ( X ) - средняя (прогнозная) доходность актива,

а D( X ) - мера отклонения,

колебания доходности от

ожидаемого среднего значения, т.е. риск данного актива

 

Определение

Начальным

моментом

k -

порядка

сл.величины Х называется математическое ожидание k

степени

этой величины.

 

 

 

 

 

 

k M X k

n

 

 

 

 

xik pi

 

 

 

 

 

i 1

 

 

Определение

Центральным моментом

k -

порядка

сл.величины Х называется математическое ожидание k

степени

отклонение сл.величины Х от ее мат.ожидания.

 

 

n

k M X M X k xi a k pi

i 1

Замечание

k 1 - первый начальный момент – мат.ожидание, k 2 - второй центральный момент – дисперсия.

Параметры формы

Если распределение не является симметричным, то можно оценить асимметрию кривой распределения с помощью центрального момента 3-го порядка.

Действительно, для симметричного распределения все нечетные центральные моменты равны 0 ( как интегралы от

70

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.