Лекции по Компьютерной графике

Координатный метод

Координатный метод был введен в XVII веке французскими математиками Р. Декартом и П. Ферма. На этом методе зиждется

аналитическая геометрия, которую можно считать фундаментом компьютерной графики. В современной компьютерной графике широко используется координатный метод. Этому есть несколько причин.

•Каждая точка на экране (или на бумаге при печати на принтере)

задается координатами — например, пиксельными.

• Координаты используются для описания объектов, которые будут отображаться как пространственные. Например, объекты микромира,

объекты на поверхности Земли, объекты космического пространства и тому подобное. Даже тогда, когда отображается нечто, не имеющее привязки к положению в пространстве (например, случайные цветовые пятна в каком-то видеоэффекте), то и здесь используются координаты для учета взаиморасположения отдельных элементов.

• При выполнении многих промежуточных действий отображения используют разные системы координат и преобразования из одной системы в другую.

Преобразование координат

Рассмотрим общие вопросы преобразования координат. Пусть задана n-

мерная система координат в базисе ( k1 , k2 ,..., kn ), описывающая положение точки в пространстве с помощью числовых значений k n . В компьютерной графике чаще всего используется двумерная (n=2) и трехмерная (n=3)

системы координат.

Если задать другую, n-мерную, систему координат в базисе (m1, m2, ....

тn) и поставить задачу определения координат в новой системе, зная координаты в старой, то решение (если оно существует) можно записать в таком виде:

системе kn .

Можно поставить и обратную задачу — по известным координатам (m1, m2, .... mn) определить координаты (к1, к2, ..., кn). Решение обратной задачи запишем так:

k1 = F1 (m1 , m2 ,..., mN ),k2 = F2 (m1 , m2 ,..., mN ),...

kn = Fn (m1 , m2 ,..., mN ),

где Fn — функции обратного преобразования.

В случае, когда размерности систем координат не совпадают (n≠N),

осуществить однозначное преобразование координат зачастую не удается.

Например, по двумерным экранным координатам нельзя без дополнительных условий однозначно определить трехмерные координаты отображаемых,

объектов.

Если размерности систем совпадают (n = N), то также возможны случаи,

когда нельзя однозначно решить прямую или обратную задачи.

Преобразование координат классифицируют:

•по системам координат — например, преобразование из полярной системы в прямоугольную;

•по виду функций преобразования.

По виду функций преобразования различают линейные и нелинейные

Обратное преобразование

соответствует зеркальному отражению относительно оси y .

3) Поворот (рис. 3)

или

Рис. 3 - Поворот

Обратное преобразование соответствует повороту системы ( X ,Y ) на

угол ( − α ).

3) Повороты

- Поворот вокруг оси x на угол ϕ (рис. 4).

Рис. 4 – Поворот вокруг оси x на угол ϕ

- Поворот вокруг оси y на угол ψ (рис. 5).

- Поворот вокруг оси z на угол γ (рис. 6).

z, Z

Рис. 6 - Поворот вокруг оси z на угол γ

Связь преобразований объектов с преобразованиями

координат

Когда пользователь графической системы видит на экране перемещающийся объект, то возникает вопрос, что на самом деле происходит — перемещаются объекты или система координат в обратном направлении? Например, если в кино вы видите объекты, вращающиеся на экране по часовой стрелке, то может в действительности это камера поворачивается против часовой стрелки?

Преобразование объектов и преобразование систем координат тесно связаны между собой. Движение объектов можно рассматривать как движение в обратном направлении соответствующей системы координат.

Такая относительность для объектов отображения и систем координат дает разработчикам компьютерных систем дополнительные возможности для моделирования и визуализации пространственных объектов. С каждым объектом можно связывать как собственную локальную систему координат,

так и единую для нескольких объектов. Это можно использовать, например,

для моделирования подвижных объектов.