Лекции по математике. Теория вероятности
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Кафедра высшей математики
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
Теория вероятностей и
математическая статистика
Самара, 2010
УДК 519.2
Блатов И.А., Старожилова О.В. Теория вероятностей и
математическая статистика. Конспект лекций.- Самара:
ГОУВПО ПГУТИ, 2010.-286
Конспект лекций затрагивает такие разделы высшей математики как: теория вероятностей, элементы комбинаторики, математическая статистика, регрессионный, корреляционный анализ.
Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.
Рецензент:
Асташкин С.В. – д.ф.м.н., проф., зав.кафедрой Самарского государственного университета Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Поволжский |
государственный |
университет |
телекоммуникаций и информатики
©Блатов И.А., Старожилова О.В., 2010
2
Введение........................................................................................ |
8 |
Лекция 1......................................................................................... |
10 |
Случайные события, классификация..................................... |
10 |
Парадокс игры в кости............................................................ |
12 |
Классификация событий......................................................... |
13 |
Классическое определение вероятности ............................... |
15 |
Ошибка Даламбера.................................................................. |
17 |
Контрольные вопросы............................................................. |
18 |
Элементы комбинаторики ...................................................... |
19 |
Формула Стирлинга ................................................................ |
24 |
Лекция 2........................................................................................ |
26 |
Геометрическая вероятность .................................................. |
26 |
Статическая вероятность ........................................................ |
28 |
Условная вероятность ............................................................. |
31 |
Парадокс Монти Холла........................................................... |
33 |
Контрольные вопросы............................................................. |
34 |
Задачи для самостоятельно решения..................................... |
35 |
Лекция 3......................................................................................... |
37 |
Алгебра событий - сумма двух событий ............................... |
37 |
Алгебра событий – произведение двух событий.................. |
37 |
Вероятность появления хотя бы одного из событий............ |
39 |
Диаграммы Эйлера-Венна ...................................................... |
41 |
Принцип практической невозможности................................ |
43 |
Контрольные вопросы............................................................. |
44 |
Формула Бейеса ....................................................................... |
45 |
Физический смысл и терминология формулы Бейеса ......... |
49 |
Формула полной вероятности события ................................. |
50 |
Метод фильтрации спама ....................................................... |
52 |
Контрольные вопросы............................................................. |
52 |
Задачи для самостоятельно решения..................................... |
53 |
Лекция 4......................................................................................... |
56 |
Случайные величины, классификация .................................. |
56 |
Законы распределения случайной величины........................ |
57 |
Интегральный закон распределения...................................... |
60 |
|
3 |
Числовые |
характеристики |
дискретной |
случайной |
|
величины |
.................................................................................. |
|
|
62 |
Характеристики ...................................................положения |
|
|
62 |
|
Характеристики .................................................рассеивания |
|
|
67 |
|
Параметры ...................................................................формы |
|
|
70 |
|
Вероятность попадания дискретной случайной величины |
|
|||
в заданный ...............................................................интервал |
|
|
72 |
|
Контрольные .............................................................вопросы |
|
|
72 |
|
Лекция 5......................................................................................... |
|
|
|
74 |
Законы распределения ...дискретной случайной величины |
74 |
|||
Двухточечное .................................................распределение |
|
|
74 |
|
Распределение ..................выборочного значения признака |
|
75 |
||
Биноминальное ................распределение (закон Бернулли) |
76 |
|||
Наивероятнейшее ...............значение случайной величины |
81 |
|||
Закон Пуассона ........................................................................ |
|
|
84 |
|
Числовые характеристики пуассоновского распределения |
85 |
|||
Контрольные .............................................................вопросы |
|
|
90 |
|
Лекция 6......................................................................................... |
|
|
|
91 |
Непрерывные ......................................случайные величины |
|
91 |
||
Функция |
распределения |
непрерывной |
случайной |
|
величины .................................................................................. |
|
|
|
91 |
Функция плотности .....непрерывной случайной величины |
92 |
|||
Числовые |
характеристики |
непрерывной |
случайной |
|
величины .................................................................................. |
|
|
|
95 |
Контрольные .............................................................вопросы |
|
|
100 |
|
Задачи для .................................самостоятельного решения |
|
100 |
||
Лекция 7......................................................................................... |
|
|
|
102 |
Основные ..........законы непрерывных случайных величин |
102 |
|||
Равномерный .......................................закон распределения |
|
102 |
||
Экспоненциальное .........................................распределение |
|
106 |
||
Задачи для .................................самостоятельного решения |
|
108 |
||
Закон Вейбулла........................................................................ |
|
|
109 |
|
Нормальное ...........................распределение (закон Гаусса) |
|
111 |
||
Доска Гальтона ........................................................................ |
|
|
112 |
|
Функция Лапласа..................................................................... |
|
|
116 |
|
Правило трех ...................................................................сигм |
|
|
118 |
|
Контрольные .............................................................вопросы |
|
|
120 |
|
4
Задачи для самостоятельного решения ................................. |
|
122 |
||
Лекция 8......................................................................................... |
|
|
|
124 |
Дискретные двумерные случайные величины...................... |
124 |
|||
Числовые характеристики двумерных случайных величин 126 |
||||
Плотности |
вероятности составляющих двумерной |
|
||
случайной величины ............................................................... |
|
|
132 |
|
Условные |
законы |
распределения |
составляющих |
|
двумерной случайной величины............................................ |
|
132 |
||
Корреляционный момент системы двух случайных |
|
|||
величин ..................................................................................... |
|
|
|
134 |
Контрольные вопросы............................................................. |
|
|
141 |
|
Лекция 9......................................................................................... |
|
|
|
142 |
Функция одного случайного аргумента ................................ |
|
142 |
||
Математическое ожидание функции одного аргумента...... |
143 |
|||
Функция двух случайных величин ........................................ |
|
144 |
||
Лекция 10....................................................................................... |
|
|
|
147 |
Равномерный закон распределения на плоскости................ |
147 |
|||
Нормальный закон распределения на плоскости ................. |
148 |
|||
Вероятность попадания в прямоугольник............................. |
|
149 |
||
Лекция 11....................................................................................... |
|
|
|
150 |
Закон больших чисел .............................................................. |
|
|
150 |
|
Неравенство Чебышева........................................................... |
|
|
151 |
|
Теоремы Чебышева и Бернулли............................................. |
|
154 |
||
Практическое значение теоремы Чебышева......................... |
|
157 |
||
Предельные теоремы............................................................... |
|
|
159 |
|
Характеристические функции................................................ |
|
159 |
||
Контрольные вопросы............................................................. |
|
|
167 |
|
Лекция 12....................................................................................... |
|
|
|
168 |
Математическая статистика ................................................... |
|
168 |
||
Виды выборки.......................................................................... |
|
|
170 |
|
Способы отбора ....................................................................... |
|
|
173 |
|
Табличное представление статистических данных.............. |
175 |
|||
Графическое представление статистических данных.......... |
180 |
|||
Выборочная функция распределения .................................... |
|
183 |
||
Числовые характеристики вариационного ряда ................... |
184 |
|||
Меры разброса опытных данных ........................................... |
|
189 |
||
Контрольные вопросы............................................................. |
|
|
191 |
|
5
Лекция 13....................................................................................... |
|
|
|
192 |
Проверка статистических гипотез ......................................... |
|
|
192 |
|
Критическая область ............................................................... |
|
|
197 |
|
|
2 |
|
|
|
Распределение |
................................................................... |
|
|
198 |
Критерий Пирсона................................................................... |
|
|
199 |
|
Схема применения критерия .................................................. |
|
|
202 |
|
|
|
2 |
|
|
Схема применения критерия |
|
для непрерывных |
|
|
случайных величин ................................................................. |
|
|
203 |
|
Контрольные вопросы............................................................. |
|
|
206 |
|
Задачи для самостоятельного решения |
................................. |
206 |
||
Лекция 14...................................................................................... |
|
|
|
208 |
Регрессивный анализ............................................................... |
|
|
208 |
|
Метод наименьших квадратов для получения уравнения |
|
|||
выборочной линии регрессии................................................. |
|
|
210 |
|
Линейный регрессионный анализ.......................................... |
|
|
212 |
|
Проблемы применения метода линейной ...........регрессии |
217 |
|||
Основные предпосылки статистической модели линейной |
|
|||
регрессии .................................................................................. |
|
|
|
218 |
Задачи регрессионного анализа ............................................. |
|
|
219 |
|
Многомерная нормальная регрессионная ................модель |
222 |
|||
Вариация зависимой переменной и коэффициент |
|
|||
детерминации........................................................................... |
|
|
|
223 |
Контрольные вопросы............................................................. |
|
|
225 |
|
Лекция 15....................................................................................... |
|
|
|
226 |
Статистические оценки параметров распределения ............ |
226 |
|||
Метод наибольшего правдоподобия...................................... |
|
|
230 |
|
Метод моментов ...................................................................... |
|
|
231 |
|
Бейесовский подход к получению оценок ............................ |
233 |
|||
Контрольные вопросы............................................................. |
|
|
234 |
|
Лекция 16....................................................................................... |
|
|
|
235 |
Доверительные интервалы ..................................................... |
|
|
235 |
|
Доверительный интервал для оценки математического |
|
|||
ожидания нормального распределения при известной |
|
|||
дисперсии ................................................................................. |
|
|
|
236 |
6
Доверительный интервал для оценки математического |
|
ожидания нормального распределения при неизвестной |
|
дисперсии ................................................................................. |
237 |
Доверительные интервалы для оценки среднего |
|
квадратического отклонения нормального распределения . 239 |
|
Контрольные вопросы............................................................. |
241 |
Лекция 17....................................................................................... |
242 |
Случайные процессы и их характеристики .......................... |
242 |
Классификация случайных процессов .................................. |
243 |
Законы распределения случайного процесса........................ |
246 |
Моментные характеристики случайного процесса .............. |
247 |
Корреляционная функция....................................................... |
249 |
Глоссарий ...................................................................................... |
255 |
К лекции 1 ..................................................................................... |
255 |
К лекции 2 ..................................................................................... |
256 |
К лекции 3 ..................................................................................... |
257 |
К лекции 4 ..................................................................................... |
258 |
К лекции 4 ..................................................................................... |
259 |
К лекции 5 ..................................................................................... |
261 |
К лекции 6 ..................................................................................... |
262 |
К лекции 7 ..................................................................................... |
263 |
К лекции 8 .................................................................................... |
264 |
К лекции 9 ..................................................................................... |
266 |
К лекции 10 ................................................................................... |
267 |
К лекции 11 ................................................................................... |
267 |
К лекции 12 ................................................................................... |
267 |
К лекции 13 ................................................................................... |
270 |
К лекции 14 ................................................................................... |
270 |
К лекции 16 ................................................................................... |
271 |
К лекции 17 ................................................................................... |
271 |
Список основных формул............................................................ |
277 |
Список литературы....................................................................... |
286 |
7
Введение
"Случай играет в мире столь большую роль, что и без моей помощи он позаботится о себе." A. Дюма
345 лет назад, в 1657 году, было опубликовано сочинение выдающегося голландского ученого Христиана Гюйгенса "О расчетах при игре в кости", которое является одним из первых исследований в области теории вероятностей.
Трудно установить, кто впервые поставил вопрос о возможности количественного измерения возможности появления случайного события. Ясно только, что более или менее удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал большого времени и значительных усилий выдающихся исследователей целого ряда поколений.
Обычно считают, что теория вероятностей возникла в середине XVII столетия, причем ее появление связывают с именами П. Ферма (1601-1665), Б. Паскаля (1623-1662) и Х. Гюйгенса (1629-1695). Отправным пунктом исследований являлись задачи, связанные с азартными играми, особенно играми в кости, поскольку при их изучении можно ограничиваться простыми и понятными математическими моделями. Игра в карты –тоже азартная игра. потому, что в ней главную роль играет случай - от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. С азартных игр математики и начали изучать его величество Случай.
―Математика случая‖ — так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль
Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятствующих случаев ко всем возможным. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными.
8
Гюйгенс в сочинении "О расчетах при игре в кости" писал:
"...думаю, при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".
Одной из задач, давших начало теории вероятностей, является знаменитый парадокс игры в кости, разрешенный еще в "Книге об игре в кости" Д. Кардано (1501-1576), которая вышла лишь в 1663г.
Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказали Д. Бернулли (1654-1705), А. Муавр (1667-1754), Т. Байес
(1702-1763), П. Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855), С.
Пуассон (1781-1840).
Например, Д. Бернулли принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - так называемого "закона больших чисел". Теорема, которую он доказал, устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления.
Развитие теории вероятностей тесно связано с традициями и достижениями русской науки. Фундаментальные результаты были получены П. Л. Чебышевым (1821-1894), А. М. Ляпуновым (1857-1918), позже большой вклад в ее развитие внесли Е. Е. Слуцкий (1903-1987) и ряд других.
Курс построен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта России к дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». Учебная программа разработана на основе учебных планов специальностей 230105 «Программное обеспечение вычислительных и автоматизированных систем», 230201 «Информационные системы и технологии».
Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки
9
Лекция 1
Случайные события, классификация
Теория вероятностей (ТВ) изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах, раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Ее методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.
Одна из важнейших задач любой науки – найти закономерности в водовороте «случайных» явлений окружающей нас жизни. Основатель теории вероятностей как строгой математической дисциплины – Колмогоров Андрей Николаевич (1903 –1988). В 1933г. он опубликовал аксиоматическое построение этой теории.
Одно из основных понятий теории вероятностей – понятие случайного события. Его работа «Основные понятия теории вероятностей»(1933) новый этап в развитии теории вероятностей как науки.
Для изучения физических явлений производят наблюдение и опыты, их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов обнаруживается разброс их результатов. Говорят, что результат измерения есть величина случайная. Математический аппарат для изучения таких случайностей и закономерностей в них дает теория вероятностей.
Определение Случайные события – любые события или факты, относящиеся к результату эксперимента, которые могут происходить или не происходить.
Название объясняется тем, что именно случай определяет, произойдет данное событие или не произойдет.
Отдельные случайные события в ТВ обозначают прописными латинскими буквами, например, A , B и т.д. Accident (французский) – случайность.
Случайные события – результаты эксперимента, его исходы.
10