Лекции по математике. Теория вероятности

2) если для оцениваемого параметра существует эффективная оценка * , то уравнение правдоподобия имеет

единственное решение * ; 3) метод наиболее полно использует данные выборки и

поэтому особенно полезен в случае малых выборок.

Важность метода максимального правдоподобия связана с его оптимальными свойствами.

Основной недостаток метода — трудность вычисления оценок, связанных с решением уравнений. Кроме того, для построения оценок необходимо точное знание типа закона

распределения p(xi , ) , что иногда практически невозможно

Оценка наибольшего правдоподобия неизвестного параметра проводится так же, как для дискретной случайной величины.

Метод моментов

К методу моментов относят все статистические процедуры, основанные на использовании выборочных моментов и функций от них. Метод моментов нахождения оценок в математической статистике - это способ построения оценок, основанный на уравнивании теоретических и выборочных моментов был впервые предложен Пирсоном в 1894г.

Метод моментов основан на том, что начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов, поэтому можно приравнять

определяемой одним неизвестным параметром , то для оценки этого параметра достаточно иметь одно уравнение.

231

Например, можно приравнять начальные моменты первого порядка:

xв M X x f (x, )dx ( )

получив тем самым уравнение для определения Θ.

Его решение * будет точечной оценкой параметра, которая является функцией от выборочного среднего и, следовательно, и от вариант выборки:

x1, x2 , xn .

Если известный вид плотности распределения f (x, 1, 2 ) определяется двумя неизвестными параметрами 1 и 2 , то требуется составить два уравнения, например

неизвестными 1 и 2 . Ее решениями будут точечные оценки

1* и 2* - функции вариант выборки:

Точечные оценки метода моментов обычно состоятельны, однако по эффективности они не являются наилучшими. Тем не менее, метод моментов часто используется на практике, т.к. приводит к сравнительно простым вычислениям.

Пример Методом моментов по выборке

найти точечную оценку параметра , предполагая, что теоретическое распределение является показательным:

f x e x , x 0 ;

0, x 0.

232

Решение

Согласно методу моментов нужно приравнять начальный теоретический момент первого порядка (математическое

приближенного значения предлагается искать условное

233

распределения Y .

Задача может быть решена только тогда, когда известна p x . Иногда, однако, удается построить состоятельную оценку

для q y , зависящую только от полученных в выборке значений

Y .

Контрольные вопросы

1.Дайте определение точечной и интервальной оценок параметра.

2.Какая оценка называется: а) смещенной; б) несмещенной; в) эффективной?

3.Какую оценку называют оценкой наибольшего правдоподобия?

4.Перечислите достоинства метода наибольшего правдоподобия.

5.На каких фактах основан бейесовский подход к получению оценок.

6.Сформулируйте основные положения метода моментов.

7.Методы получения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия проведите сравнение.

234

Лекция 16

Доверительные интервалы

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться интервальными оценками, то есть указывать интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. Разумеется, чем меньше длина этого интервала, тем точнее оценка параметра.

характеризует точность оценки (чем меньше , тем точнее оценка). Но статистические методы позволяют говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой

вероятностью) оценки * параметра называется вероятность

который попадает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Доверительный интервал строится с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, накрывая данный параметр с заданной вероятностью.

235

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть исследуемая случайная величина X распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим , и

требуется по значению выборочного среднего x оценить математическое ожидание a . Будем рассматривать выборочное

Оценим вероятность выполнения неравенства X a .

Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

236

(x t , x t ) ,

n n

где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) .

Пример Найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной

распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину

T xB a s

n

где xB - выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, n – объем выборки.

Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t , имеет распределение Стьюдента с k n 1 степенями свободы.

237

Поскольку плотность распределения Стьюдента

можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал t ,t , учитывая четность плотности распределения, следующим образом:

.

Отсюда получаем:

Таким образом, получен доверительный интервал для a , где t можно найти по соответствующей таблице при заданных n и

.

238

Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения

Будем искать для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины доверительный

не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки n .

Преобразуем неравенство s(1 q) s(1 q) так, чтобы оно приняло вид 1 2 . Вероятность выполнения этого неравенства равна доверительной вероятности , следовательно

239

2 R , n d

1

Предположим, что q 1 , тогда неравенство можно записать

Существуют таблицы для распределения «хи-квадрат», из которых можно найти q по заданным n и , не решая этого

уравнения. Таким образом, вычислив по выборке значение s и определив по таблице значение q , можно найти доверительный

интервал, в который значение попадает с заданной вероятностью .

Замечание Если q 1, то с учетом условия 0

доверительный интервал для будет иметь границы

0 s(1 q)

Пример

Пусть n 20 , s 1,3 . Найдем доверительный интервал для

Следовательно, границы доверительного интервала:

240