Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kx t1 , t2 M x t1 mx t1 |
x t2 mx t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
M |
a t |
am t |
a t |
|
am t |
|
|
|
|
|
a2 M m 2 a2 2
Нормированная корреляционная функция
|
r (t1 |
, t2 ) |
K (t1 , t2 ) |
|
(t1 ) |
(t2 ) |
|
|
|
(аналог - коэффициент корреляции COV ( X , Y ) ).
x y
Свойства нормированной корреляционной функции:
|
При равенстве аргументов r t |
D |
t |
|
1. |
|
|
|
1 |
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
2. |
r t1,t2 r t2 ,t1 |
|
|
|
|
r t1,t2 1
Определение Случайный процесс (t) называется
стационарным в узком смысле, если многомерные законы распределения не меняются при сдвиге всех временных переменных на одно и то же число:
|
|
|
|
|
|
F (x1 , ..., xn ; t1 , ..., tn ) F (x1 , ..., xn ; t1 |
h, ..., tn h) |
|
|
n N |
h R . |
|
Более обширный класс - стационарные процессы, |
стационарные в широком смысле |
|
|
Чаще |
всего |
под |
стационарностью |
понимается |
стационарность в широком смысле. |
|
|
Определение |
Случайный |
процесс |
называется |
стационарным в широком смысле если:
m (t) m const , D (t) D const , K (t1 , t2 ) K (t2 t1 ) K ( ) .
Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком.
Пример Задан случайный процесс:
1 p (x) 2 ,
|
M t |
2 |
|
1 |
A cos t x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
sin t x |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K t1 , t2 |
M |
t1 m |
|
t1 t2 m |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
A cos t1 |
x A cos t2 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos t1 t2 dx |
cos |
t1 t2 |
2x dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 A2 |
cos t1 t2 |
A2 |
cos t1 t2 |
A2 |
cos ( t1 t2 ) |
|
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D (t) K (t, t) |
A2 |
cos ( t t ) |
A2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Самыми важными (по прикладному значению) из стационарных процессов для нас являются эргодические.
Определение Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если для него осреднение по ансамблю реализаций может быть заменено осреднением по времени по одной реализации.
Т.е. по любой одной достаточно длинной реализации мы можем судить о свойствах всех реализаций случайного процесса.
Достаточное условие эргодичности:
Eсли |
lim K ( ) 0 |
,то случайный процесс является |
|
|
|
эргодическим. |
|
|
Глоссарий
К лекции 1
Вероятность события – численная мера, принимающая значения между 0 и 1 и характеризующая степень возможности появления события в данном опыте.
Генератор случайных чисел - устройство для получения наборов случайных чисел.
Достоверное событие – событие, которое в результате опыта обязательно должно произойти.
Набор элементарных событий - набор всех возможных отдельных результатов испытаний.
Невозможное событие – событие, которое не может иметь место в данном опыте.
Несовместные события - события, появление одного из них в данном опыте исключает возможность появления других, т.е. они не могут произойти одновременно в одном и том же опыте.
Полная группа событий – группа событий, из которых хотя бы одно непременно должно произойти в данном опыте.
Противоположные события - два единственно возможных и несовместных.
q(A) 1 P(A)
Равновозможные события - два или несколько событий, имеющих больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими.
Случайные события – любые события или факты, относящиеся к результату эксперимента, которые могут происходить или не происходить.
Совместные события - события, появление одного из них в данном опыте не исключает возможность появления других.
255
Элементарное событие - отдельное событие или отдельный возможный результат испытания.
Комбинаторика - раздел дискретной математики, изучающий комбинации конечных множеств элементов различной природы.
Независимые события - события вероятность появления каждого из них не зависит от того , имели ли место другие.
Перестановки из n элементов - соединения, различающиеся только порядком входящих в них элементов.
Pn Ann n!
Размещения из n по m - соединения, различающиеся самими элементами или их порядком.
Сочетания из n элементов по m - соединения, различающиеся только своими элементами.
Формула Стирлинга 0 приближенная формула для вычисления факториалов асимптотического характера
n! nn e n 
2 n
К лекции 2
Абсолютная частота случайного события А в серии из N случайных опытов - число NA , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие А.
Геометрическая вероятность события A - отношение меры области, благоприятствующей появлению события A к мере
mes g
всей области P A
mesG
Относительная частота случайного события -отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных
экспериментов: W A N A
N
где A – случайное событие по отношению к некоторому испытанию, N - количество испытаний и при этом событие A
наступило в N A случаях.
Статистическая вероятность события - относительная частота события при большом числе испытаний или число близкое к ней:
P( A) limW ( A) .
n
К лекции 3
Зависимые события – события, если появление одного из них влияет на вероятность наступления другого.
Независимые события - события, вероятность появления каждого из них не зависит от того, имели ли место другие.
Сумма двух событий A1 и A2 - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
A A1 A2
Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.
Уровень значимости -достаточно малая вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным.
Условная вероятность- вероятность одного события, вычисленная в предположении, что другое событие произошло.
Априорные гипотезы – гипотезы, полученные до предстоящего опыта,
Апостериорные гипотезы – гипотезы, полученные после опыта. Гипотеза – события, в условиях которых только и может
появиться событие А .
Полная вероятность события A - вероятность события, равная сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соответственно при каждой из гипотез.
P A
i s
P A P Hi P A Hi
i 1
Формула Бейеса - формула для вычисления апостериорных вероятностей гипотез после проведения опыта с учетом полученной информации (событие A уже произошло).
P Hi A P Hi P A Hi
К лекции 4
Дискретная случайная величина – случайная величина,
возможные значения которой отделимы друг от друга, принимающая конечное или счетное множество значений.
Закон распределения вероятностей данной случайной величины
– соотношение, устанавливающее связь между вероятностями, с которыми данная случайная величина принимает различные значения и самими возможными значениями случайной величины.
Многомодальное распределение (двухмодальное) –
распределение, имеющее два или несколько максимумов у многоугольника распределения для дискретной случайной величины или на кривой распределения для непрерывной случайной величины.
Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным
Многоугольник распределения ( полигон распределения)– график,
по оси абсцисс всевозможные значения случайной величины, по оси ординаты вероятности.
Мода –значение сл.величины xi , имеющее наибольшую
вероятность.
Наивероятнейшее значение случайной величины – значение,
вероятность которого больше , чем у других.
Непрерывная случайная величина – случайная величина,
возможные значения которой неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый интервал.
Ряд распределения - закон распределения вероятностей дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, в первой строке даны значения случайной величины, а во второй – соответствующие им вероятности.
Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, но неизвестно заранее какое именно.
Функцией распределения F(x) случайной величины X -
вероятность того, что случайная величина примет значение,
меньшее x : |
F x P X x |
|
|
|
|
|
0 |
|
x x1 |
|
|
P |
|
x |
|
x x |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
P1 P2 |
|
x2 x x3 |
|
F x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P P P |
x |
n |
1 |
x x |
n |
1 2 |
n 1 |
|
|
|
1 |
|
x x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К лекции 4
Дисперсия – числовая характеристика дискретной случайной величины, характеристика рассеивания, равная математическому ожиданию квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания
D X M x mx 2 i s xi mx 2 p xi
i 1
Коэффициент ассиметрии случайной величины – числовая характеристика дискретной случайной величины, параметр формы, равный
A 33
Математическое ожидание – числовая характеристика дискретной случайной величины, равная сумме произведений отдельных значений, которые может принимать переменная на соответствующие им вероятности
i s
xМ X xi p xi
i1
Медиана - числовая характеристика дискретной случайной величины, для которой выполняется условие .
|
P( X x1 ) P( X x1 ) |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Мода – числовая характеристика дискретной случайной величины, значение случайной величины xi , имеющее
наибольшую вероятность или наиболее вероятное значение.
Наивероятнейшее событие – событие, вероятность осуществления которого не меньше вероятности других событий.
np q m0 np p
Начальный момент k - порядка сл.величины Х - математическое ожидание k степени этой величины.
n
k M X k xik pi i 1
Отклонение – центрированная случайная величина xi M X
Среднеквадратическое отклонение – числовая характеристика дискретной случайной величины, характеристика рассеивания, равная корню квадратному из дисперсии
D X .
Центральный момент k - порядка случайной величины Х -
математическое ожидание k степени отклонение сл.величины Х от ее математического ожидания.
