Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции по математике. Теория вероятности

.pdf
Скачиваний:
74
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
4.02 Mб
Скачать

Нормальное распределение (закон Гаусса)

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это—наиболее часто встречающийся на практике закон распределения.

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальное распределение имеет очень широкое распространение в прикладных задачах. Это связано с тем, что в реальной жизни многие исследуемые случайные величины являются следствием различных случайных событий.

Рост людей на нашей планете хорошо описывается нормальным распределением. Это, по-видимому, связано с тем, что на рост влияют разнообразные независимые случайные факторы: климат, экология окружающей среды, экономические условия, болезни и т.д. Хотя, конечно, "бесконечно" большие люди (великаны) и "бесконечно" маленькие люди (гномы) бывают только в сказках. Это говорит о том, что "хвосты" истинного распределения роста людей отличаются от нормального распределения.

В частности, при достаточно общих предположениях сумма большого числа независимых СВ имеет распределение близкое к нормальному.

Часто нормальное распределение называют распределением Гаусса (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), или Муавра, в честь тех, кто, как считается, открыл его и, веком ранее, что не так достоверно, Авраам де Муавр (1667-1754). Термин был впервые использован Гальтоном в 1889 г.

CВ подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Такая ситуация распространена, поэтому в природе чаще всего

111

встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальный закон наблюдается, когда на измеряемую случайную величину действуют разнообразные факторы, не связанные между собой и равнозначно действующие на случайную величину.

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым

Доска Гальтона

Доска Гальтона -вертикально установленная доска в форме равнобедренного треугольника.

В доске расположены колышки, один в верхнем ряду, два во втором, и так далее. Каждый последующий ряд имеет на один колышек больше. Колышки в сечении треугольные, так что, когда падает шарик, у него есть вероятность 50/50 пойти вправо или влево.

В основании доски находится серия желобов для подсчета попаданий каждого броска.

Шарики, падающие через доску Гальтона и достигающие желобов, начинают формировать нормальное распределение.

Чем «глубже» доска (то есть чем больше рядов она имеет) и чем больше шариков бросается, тем больше конечный результат будет напоминать нормальное распределение.

Определение Нормальное распределение (гауссовское)

определяется функцией плотности следующим образом

x

 

1

 

 

 

x a 2

 

 

 

e

2 2

,

 

 

 

 

 

2

 

 

где a – математическое ожидание.

112

Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение. Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба

График плотности нормального распределения называется

нормальной кривой или кривой Гаусса

Функция плотности при различных значениях параметров

Замечание Графики плотности нормального распределения, имеют единственный максимум в точке x m .

Функция распределения имеет вид:

113

 

x

 

 

1

 

x

 

2

 

F x

 

f x dx

 

 

 

 

x m

 

 

 

 

 

exp

 

dx

 

 

 

 

2 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x m , dy 1 dx

x m

 

 

1

 

 

 

y2

x m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2

dy Φ

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1)Функция определена на всей числовой оси.

2)При всех x функция распределения принимает только положительные значения.

3)Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по

абсолютной величине аргумента x , значение функции стремится

кнулю.

4)Найдем экстремум функции.

 

x m

 

( x m)2

 

 

 

 

 

 

y

 

e

 

2 2

0;

x m;

3

 

 

 

 

 

2

 

Т.к. при y 0 при

x m и

y 0

при

x m , то в точке

x m функция имеет максимум,

равный

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5)Функция является симметричной относительно прямой

xa , т.к. разность x a входит в функцию плотности

распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

 

1

 

 

 

( x m)2

 

 

(x m)2

y

 

 

2

2

 

 

 

 

e

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

114

При x m

и x m вторая производная равна нулю,

а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках

функция имеет перегиб.

 

 

 

 

В этих точках значение функции равно

1

2 .

e

Построим график функции плотности распределения.

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

0.3

 

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

0.1

 

 

-6

-4

-2

2

4

6

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения 1, 2 и 7 .

Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное

значение уменьшается..

 

 

если a 0 , то

график сместится

в положительном

направлении, если a 0 – в отрицательном.

 

при a 0 и 1 кривая называется нормированной.

Определение

Стандартным

нормальным

распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1 -

N0,1 .

Замечание Нормальное распределение формируется под влиянием большого числа случайных факторов, служит хорошим приближением для построения математических моделей.

115

Функция Лапласа.

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

b

( x m)2

P(a X b) f (x)dx

 

 

 

 

 

 

e

 

2 2

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим

 

x

m

t;

a

 

 

m

;

 

b

m

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

( ) ( )

P(a X b)

 

 

 

 

 

e t 2

2

dt

 

 

 

 

e t 2 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как интеграл

 

e t 2 dt

не выражается через элементарные

функции, то вводится в рассмотрение функция,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Φ

 

 

 

 

 

e

t

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

Ниже показан график функции Лапласа.

1

0.75 0.5 0.25

-3

-2

-1

1

2

3

-0.25 -0.5 -0.75

-1

116

Свойства функции Лапласа

1.Ф x определена при всех значениях х.

2.Ф(0)=0.

3.

 

 

1

 

 

 

 

t 2

 

 

1

 

 

 

2

 

1 .

 

( )

 

 

 

e

2

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

( )

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Ф x монотонно возрастает при всех

x ( , ) .

6.Ф x – функция нечетная: Ф x = –Ф x .

Значения этой функции при различных значениях x посчитаны и приводятся в специальных таблицах, приведены в приложении. Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x .

Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

 

 

1

 

x

 

 

 

 

1

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

e t

/ 2dt;

Φ(x)

 

 

 

Φ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

1

0.75 0.5 0.25

-3

-2

-1

1

2

3

-0.25 -0.5 -0.75

-1

Замечание Математическое ожидание, мода и медиана совпадают и равны математическому ожиданию.

117

Замечание Коэффициент ассиметрии и коэффициент эксцесса равны 0.

Правило трех сигм

Нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему математическому ожиданию.

Величина X (среднее арифметическое) показывает смещение кривой f x вдоль оси абсцисс без изменения ее

формы, т. е. расстояние от начала координат до абсциссы с максимальной ординатой. Величина (среднее квадратичное отклонение) показывает разброс отдельных значений случайной величины x относительно среднего арифметического.

На участке кривой, ограниченной ординатами и расположено 68,3% значений случайной величины; на участке, ограниченном ординатами 2 -95,4%; на участке с ординатами

3 - 99,7%.

Правило трех сигм: вероятность того, что случайная величина x лежит в пределах 3 , близка к единице или к 100%. Следовательно, значения случайной величины, лежащие за пределами 3 - сигм, можно отбросить как промахи.

118

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Правило k :

0.6827, k 1,

P X m k Φ k Φ k 0.9545, k 2,

0.9973, k 3.

Пример Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Решение

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100 65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т. Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Получаем:

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

P(

X M ( X )

100 2Φ

 

 

2Φ1,111 2

0,3665

0,733

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Решение

Плотность распределения имеет вид:

119

 

 

f (x)

1

 

( x 2)2

 

 

 

 

 

 

2 e

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим график:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

3

 

4

Найдем вероятность попадания случайной величины в

интервал (1; 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P 1 X 3

1

 

 

2

 

1

 

3 2

 

 

1 2

 

e t

dt

 

 

 

 

2

Φ

 

 

Φ

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Φ 0.7071 Φ0.7071 0.6778

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем вероятность отклонение случайной величины от

математического ожидания на величину, не большую чем 2.

P( X 2 2)

 

 

 

 

 

 

 

2

Φ(

2) 0,95.

Φ

 

Φ

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

Контрольные вопросы

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Верно ли, что математическое ожидание, медиана и мода нормально распределенной НСВ X совпадают.

2.Верно ли, что кривая Гаусса симметрична относительно своего математического ожидания.

3.Верно ли, что кривая Гаусса имеет максимум в точке равной значению M(X).

4.Верно ли, что кривая Гаусса тем круче, чем больше

сигма?

120

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.