Лекции по математике. Теория вероятности

Пример

Компания Н занимает целый этаж. В конце коридора расположена комната отдыха, в ней аппарат для приготовления кофе. В среднем работник фирмы выпивает в день n чашек кофе. Спрашивается:

Какова вероятность, что когда сотрудник идет с кофе к себе в комнату, он получит удар по лбу открывающейся дверью?

Какова вероятность, что при резком открытии двери сотрудник даст по лбу коллеге, несущему кофе?

И что же теперь, кофе не пить?

Даже если до сих пор Вы не любили кофе, Вы полюбите его с нашими кофейными аппаратами

Не все случайные явления можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях

Основной числовой характеристикой случайного события является его вероятность.

Пример

Испытание – подбрасывание монеты; события – монета упала «орлом» или «решкой».

Случайное событие – выпадение решки или орла.

 Замечание Решка - лицевая сторона монеты (аверс), орел - обратная сторона монеты (реверс).

Пример

Игральная кость - маленький кубик, грани которого помечены цифрами 1,2,3,4,5,6 или точками.

Бросание игральной кости - выпадение цифр 1,2,3,4,5,6. Пусть производится серия из n испытаний, в каждом из

которых может появиться или не появиться событие A . Если в результате испытания наблюдалось (появилось) событие A , то такой исход испытания называется благоприятным исходом.

Определение Элементарное событие – событие или каждый отдельный возможный результат испытания.

Определение Набор элементарных событий - набор всех возможных отдельных результатов испытаний.

11

Парадокс игры в кости

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Вслучае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12.

Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6= или 9=4+5 и 10=4+6 или 10=5+5.

Почему 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 - когда бросают три?

Решение

Вслучае двух костей 9 и 10 могут получиться следующим образом:

=3+6, или 9=6+3, или 9=4+5, или =5+4 10=4+6, или 10=6+4, или 10=5+5.

Это значит, что при двух костях 9 можно "выбросить" четырьмя способами, а 10 - лишь тремя.

Следовательно, здесь шансы получить 9 предпочтительней.

Вслучае трех костей ситуация меняется на противоположную:

9 можно "выбросить" 25 способами,

а10 - уже 26 способами.

Потому 10 получается чаще, чем 9. (Проверьте!!!)

 Определение Генератор случайных чисел - устройство для получения наборов случайных чисел.

Различают три типа генераторов:

урны,

кости,

рулетки.

Замечание Ящик с шарами представляет собой одну из разновидностей урн

Теория вероятностей как наука раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям.

Методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений

12

Классификация событий

Различные события различают по степени возможности их проявления и бывают взаимно связаны.

Типы событий:

случайное,

достоверное,

невозможное.

Определение Достоверное событие – событие, которое

врезультате опыта обязательно должно произойти.

Пример

Выпадение не менее одного очка при бросании игральной кости,

отказ радиоэлемента при работе долгого времени,

появление непрерывно действующей помехи в некотором заданном интервале времени.

 Определение Невозможное событие – событие, которое не может иметь место в данном опыте.

Пример

Выпадение более 6 очков при бросании игральной кости,

появление напряжения, большего порога ограничения, на выходе ограничителя.

В партии все изделия стандартны, извлечение из нее стандартного изделия – событие достоверное.

Если событие в данном опыте невозможно, то говорят, что

объективная возможность появления его в опыте.

 Определение Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими.

Равновозможность исходов – основная гипотеза классической теории вероятностей.

13

Пример

Выпадение герба и цифры при однократном бросании монеты,

выход из строя любой из радиоламп, работающих в одинаковых условиях

извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды

карт.

По характеру совместной связи события подразделяются на совместные и несовместные.

 Определение События, называются несовместными, если появление какого-нибудь одного из них в данном опыте исключает возможность появления других.

Пример

Выпадение 3 и 5 вместе при однократном бросании монеты.  Определение События, называются совместными, если

появление одного из них в данном опыте не исключает возможность появления других.

 Замечание События несовместны, если они не могут произойти одновременно в одном и том же опыте.

Пример

Выпадение 3 и 5 вместе при двукратном бросании монеты, искажение различных знаков при передаче телеграмм.

Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «5», «4»,»3» – события несовместные, а получение тех же оценок на экзамене по трем дисциплинам – события совместные.

 Определение Полная группа событий – группа событий,

сумма которых есть достоверное событие

 Замечание Полная группа событий -группа событий, из которых хотя бы одно непременно должно произойти в данном опыте.

Пример

Попадание и непопадание в мишень при выстреле,

выпадение 1,2,3,4,5,6 при бросании кости.

Подавление и неподавление радиоимпульса помехой,

искажение и неискажение какого-либо знака при передаче,

14

 Определение Вероятность события – численная мера,

принимающая значения между 0 и 1 и характеризующая степень возможности появления события в данном опыте. Обозначается: P( A) , где А - случайное событие.

Обозначение P происходит от первой буквы французского слова probabilite – вероятность.

 Замечание Этим определением предполагается, что все элементарные события равновероятны (не всегда можно определить равновероятность наступления отдельных элементарных событий).

Пример

Какова вероятность выпадения четного числа очков при бросании кости P( A) 63 12

 Определение Противоположные события - два единственно возможных и несовместных события, для которых

справедливо, что А наступает, когда не наступает А и наоборот. q(A) 1 P(A)

 Замечание Противоположные события – частный случай событий, образующих полную группу.

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности дал еще Лаплас, но тогда ее приложение не выходило за сферу азартных игр.

Пьер-Симон Лаплас (1749 1827) — французский математик; один из создателей теории вероятностей.

Классическое определение вероятности несовершенно и имеет много недостатков.

применимо лишь в тех случаях, когда число элементарных событий конечно, но на практике не всегда имеет место;

предполагается, что все элементарные события равновероятны (не всегда можно определить равновероятность наступления отдельных элементарных событий).

15

 Определение (классическое по Лапласу определение) Вероятность случайного события А - число элементарных

событий, благоприятствующих появлению события А , деленному на все число элементов в наборе элементарных событий.

Пример

Какова вероятность выпадения четного числа очков при бросании кости

Решение

n 6 , m 3 , P A 63 12

Пример

Петя забыл последнюю цифру номера телефона знакомой и набрал ее наугад.

Какова вероятность того, что он поговорит с ней по телефону?

Решение

n 10 , m 1, P A 101

Пример

Буквы образующие слова «Теория вероятностей»

благоприятствующих исходов m 9

P A mn 189 12

16

Ошибка Даламбера

Классическое определение вероятности справедлива только в случае с равновозможными исходами. Пренебрежение этим требованием приводит к ошибкам при решении простых вероятностных задач.

Рассмотрим знаменитую задачу о бросании обычной монеты, связанную с именем знаменитого математика Ж.Даламбера.

Жан Лерон Д’Аламбер (1717 —1783) — французский учѐный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик, вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера:

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1)обе монеты упадут на «орла»;

2)обе монеты упадут на «решку»;

3)одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными будут два исхода. n 3, m 2, P A mn 23

Правильное решение:

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1)обе монеты упадут на «орла»;

2)обе монеты упадут на «решку»;

3)первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»;

4)первая монета упадет на «решку», вторая на «орла».

Из них благоприятными будут два исхода. n 4, m 2, P A mn 24 12

Замечание Классическое определение вероятности с 17

до 19 века было как определение, в настоящее время

17

определение не дается, а используют понятие относительной частоты события.

 Замечание События, вероятности которых малы или очень велики, называются практически невозможными или практически достоверны.

Контрольные вопросы

1.Что изучает теория вероятностей?

2.Кто основатель теории вероятностей как строгой математической дисциплины?

3.Основная числовая характеристика случайного события.

4.Как определяются случайное, достоверное и невозможное события?

5.В чем недостатки классического определения вероятностей?

6.Как подразделяются события по характеру совместной

связи ?

7.Классификация событий по степени возможности их проявления

8.Что такое генератор случайный чисел?

9.Приведите классификацию генераторов случайных

чисел.

10.Приведите примеры полной группы событий.

11.С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом?

12. Докажите, что события A, B, A B образуют полную группу.

18

независимо от решений принятых на предыдущих шагах имеется bk возможноcтей осуществить k -й шаг.

Тогда общее количество комбинаций равно произведению

споcобами c 0,1,2,3,4 .

В силу независимости включения каждой цифры 2, 5 и 3 общее число делителей равно 6 3 5 90 .

При вычислении вероятности приходится использовать формулы комбинаторики. Рассмотрим основные.

 Определение Размещения из n по m - соединения,

различающиеся самими элементами или их порядком.

Решение

Каждый вариант расписания представляет набор 4 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования. Т.е. размещение из 11 по 4.

A 114 117!! 8 9 10 11 7920

Пример

На четырех карточках написаны цифры 1,2,3,4. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно три карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что в результате получилось: число 123.

20