15.2. Метод объемных интегральных уравнений |
433 |
образец [1 О]. Структура состоит из пяти областей, характеризующихся определен
ными диэлектрическими проницаемостями. В каждой области крестиками отмечены соответствующие множественные мультиполи. Полное поле возбуждается плоской волной >. = 488 нм, которая падает на структуру сверху по нормали. Поле во
внутренней области серебряной цилиндрической частицы представлено парциальным
разложеним. Максимальный порядок мультипольных моментов N = 5 приводит К 2N + 1 = II неизвестным в расчете на источник. Получившееся в результате расчета
поле (IEI2) показано на рис. |
15.4 для двух главных поляризаций. В состоянии |
а |
б |
' .. |
|
Рис. 154 Линии постоянного уровня IEI2 дЛЯ модели на рис 153 (логарифмический масштаб,
на соседних линиях величина различается в J2 раз) а - в-поляризация, б - р-поляризация
в-поляризации электрическое поле параллельно границам раздела сред. Контурные
линии непрерывны на границах вследствие непрерывности тангенциальных компо
нент напряженности электрического поля. В случае р-поляризации поле, во-первых,
имеет максимумы на краях щели (усиление поля), а во-вторых, индуцирует диполь ный момент в частице. Поэтому в ближайшей окрестности частицы поле напоминает поле диполя. Несмотря на то что ближнепольные взаимодействия сильнее в случае
р-поляризации, влияние дипольного взаимодействия на распространение поля оказы
вается более сильным в случае в-поляризации [10].
15.2. Метод объемных интегральных уравнений
Малые частицы зачастую можно аппроксимировать дипольными ячейками, как и в случае рассеяния Рэлея. Индуцированный дипольный момент в такой частице
пропорционален локальному полю в точке расположения диполя, и пока рассматри
вается одиночная частица, локальное поле соответствует возбуждающему падающему
полю. Однако если рассматривается ансамбль частиц, локальное поле представляет со
бой суперпозицию возбуждающего излучения и парциальных полей, рассеянных окру
жающим частицами. Таким образом, оказывается, что каждая частица зависит от всех остальных частиц. Чтобы решить задачу, необходимо привлечь формализм самосогла
сованного поля произвольного числа когерентно взаимодействующих частиц.
Частицы необязательно должны быть пространственно разделены Они могут
соединяться друг с другом, образуя макроскопические тела. Разумеется, отклик
вещества на вынуждающее излучение можно описать как коллективный отклик
отдельных диполей, каждый из которых занимает некоторый элемент объема Эта
суперпозиция элементарных дипольных полей (функций Грина) должна быть полу
чена самосогласованным образом, т. е. величина и направление отдельного диполя - это функция локального поля, которая определяется возбуждением и другими окру
жающими диполями.
434 |
Гл. 15 Теоретические .методы в нанооnтике |
Метод, основанный на такой концепции, обычно включает суммирование по всем дипольным центрам. В пределе, при стремлении размеров дипольных центров к нулю,
суммирование переходит в интегрирование по объему, и поэтому предлагаемые
формализмы получили название метода объемных интегральных уравнений. Существуют два подхода в рамках предлагаемого формализма: микроскопический
и макроскопический. В первом случае микроскопические дипольные частицы соеди няются вместе, чтобы образовать макроскопический ансамбль, тогда как во втором рассматривается изначально макроскопический объект, который затем разделяется
на малые однородные части. В разд. 15.2.4 будет показано, что оба формализма
физически и математически эквивалентны. Метод, следующий микроскопическому
подходу, называется методом связанных диполей (мед), а метод, следующий
макроскопическому подходу, - методом моментов (ММ).
мед и ММ - хорошо разработанные методы решения уравнений Максвелла, применяющиеся в различных областях исследований. Так, мед широко исполь
зуется в астрофизике [11] для исследования межзвездных частиц и, кроме того,
находит применение в таких областях, как метеорологическая оптика или контроль
качества поверхностей [12]. Метод моментов берет свое начало из приложений электродинамики [13], и в особенности - из теории антенн. Однако ММ также на
ходит применение в биологических исследованиях, в задачах оптического рассеяния
или в оптике ближнего поля [14, 15]. В литературе эти методы часто называются по-разному, например, мед также называют дискретной дипольной аппроксимацией, а ММ - методом численной функции Грина [16] или просто методом объемного интегрального уравнения [17]. Более того, благодаря аналогии с квантовой меха
никой некоторые авторы называют объемное интегральное уравнение уравнением
Липпмана-Швингера [15].
И мед, и ММ можно вывести из одного и того же интегрального уравне
ния. В прошлом некоторые авторы сравнивали неравноценные формы этих методов
и утверждали, что один метод имеет преимущества перед другим [18]. Однако как
было показано в работе Лахтакиа (Lakhtakia) [15], для бианизотропных рассеива
телей в свободном пространстве оба метода полностью эквивалентны друг другу.
Основная разница между мед и ММ заключается всего лишь в точке зрения: ММ
рассматривает поля, которые фактически имеют место в данной точке г, гогда как
в рамках мед рассматриваются поля, которые приходят в точку г и, таким образом, возбуждают малую область b.V, центр которой располагается в точке г. Лахтакиа
проводит различие между слабой и сильной формами двух методов, и мы примем ту
же терминологию.
15.2.1. Объемное интегральное уравнение. Рассмотрим произвольную исход
ную систему, такую как слоистая среда с плоскими границами раздела, диэлектриче
ские свойства которой полностью описываются пространственно неоднородной диэлек
трической проницаемостью €ref(r), где г - радиус-вектор. Для простоты предполо жим, что исходная структура немагнитна (J1-ref = 1) и изотропна. В дальнейшем будем
считать, что все поля зависят от времени по гармоническому закону. Диэлектри
ческую проницаемость всего пространства обозначим как €(г). Тогда, в отсутствие
возмущений в исходной системе (нет других объектов), € совпадает с €ref' В при
сутствии возмущающих объектов, внедренных в исходную систему, [€(г) - €ref(r)]
определяет электрический отклик объектов относительно исходной системы.
В отсутствие источников и зарядов вихревые уравнения Максвелла имеют вид
v х Е(г) |
= utJJ1oH(r), |
(15.21) |
V х Н(г) |
= -iW€О€геf(г)Е(г) +j~(r), |
(15.22) |
|
15 2 Метод объемных интегральных уравнений |
435 |
где je(r) |
распределенная в объеме плотность индуцированного электрического |
тока: |
je(r) = -i"-'c:o[c:(r) - c:rer(r)]E(r). |
(15.23) |
|
Из уравнений (15.21) и (15.22) следует, что поле Е должно удовлетворять неодно
родному волновому уравнению
\7 х \7 х E(r) - k3t:rer(r)E(r) = Z"-'Jl.o.j,.(r), |
(15.24) |
где волновое число ko в свободном пространстве равно "-'/с. Используя определение
диадной функции Грина (см. разд. 2.10)
\7 х \7 х G(r, r') - k3t:rer(r)G(r, r') = Iб(г - |
r'), |
(1525) |
можно представить напряженность электрического поля в виде |
|
E(r) = Ео(г) + l~2 f G(r, r')je(r')dV', г fj. |
V, |
(15.26) |
соС |
|
|
~. |
|
|
где штрих в V' указывает на то, что интегрирование ведется по |
г' Через Ео |
обозначено решение однородного уравнения (случай, если |
всюду j |
= О), второе |
же слагаемое в правой части представляет собой частное решение неоднородного
уравнения. Аналогичную процедуру можно применить для получения магнитного
поля, в результате чего получаем
H(r) = Ho(r) + f [\7 х G(r, r')] je(r')dV', г fj. V. |
(15.27) |
v |
|
Подставляя je В уравнения (15.26) и (15.27), для полей Е и Н получаем |
неявные |
интегральные уравнения (уравнения Фредгольма второго рода), которые называются объемными интегральными уравнениями и составляют основу МММ.
Плотность тока электрического диполя 11, расположенного в точке г = ГО, дается
равенством |
j,,(r) = |
-Z"-'l1oб(г - |
ГО), |
(1528) |
|
где дельта-функция имеет размерность м-3. Подставляя этот ток в равенства (15.26)
и (15.27) и предполагая, что однородное решение равно нул'2. (нет внешних источни-
ков), выразим электрическое и магнитное поля в терминах G(r, г').
v.;2 +-+ |
|
|
Е(г) = - 2 G(r, ГО)110 , |
(15.29) |
соС |
|
|
H(r) = -1"-'[\7 х G(r, ro)] 110. |
(15.30) |
Таким образом, напряженность электрического поля Е диполя 110 = Il1lп" |
распо |
ложенного в точке r = ro и ориентированного |
вдоль оси х, соответствует |
первому |
.... |
|
|
столбцу G(r, го). Аналогичным образом, поле |
Е диполя,....ориентированного вдоль |
оси Оу (Oz), соответствует второму (третьему) столбцу G(r, го). Иными словами,
+->
столбцы G(r, ro) соответствуют векторам Е для трех основных ориентаций диполя.
Аналогичное соотношение имеет место для Н и [\7 х Б(г, го)], поэтому электро
магнитное поле произвольно ориентированного диполя можно просто представить
в терминах Gи [\7 х а].
Для дальнейших целей полезно разделить G на два отдельных вклада.
....
G(r, ro) = Go(r, го) + G .. (r, го), |
(15.31) |
436 |
Гл. 15. Теоретические методы в нанооnтике |
Рис 155 Диадная функция Грина G(r, r') Векторы r и r' определяют положение дипольного
источника и точку наблюдения соот!етственно. Поле в точке r зависит от ориентации диполя,
расположенного в r' Три столбца G означают напряженность электрического поля для трех
главных ориентаций диполя.
где G n - |
ответственная за рассеяние часть функции |
Грина, |
соответствующая |
вторичному |
электромагнитному полю, |
т. е. полю, которое |
отразилось или прошло |
сквозь неоднородности в окружающей |
среде. Аналогично, |
+-+ |
первичная часть |
Go - |
|
|
|
|
+-+ |
функции Грина (15.32), определяющая непосредственное поле диполя. Функция G o |
имеет особенность в точке расположения диполя r = r', тогда как ответственная за |
+-+ |
|
|
+-+ |
|
рассеяние G H |
является |
регулярной. Функция |
G o лишь |
«распределяет,. поле в той |
|
|
|
|
+-+ |
подобласти, в |
которой |
расположен диполь. |
Функция |
G o соответствует диадной |
функции Грина в свободном пространстве и может быть определена аналитически
через скалярную функцию Грина Go(r, r') |
согласно равенству (см. разд. 2.10) |
|
+-+ |
[+-+ |
1 |
] |
Go(r, r'), |
(15.32) |
Go(r, r') = |
1 + k 2 \1 (8) \1 |
|
где Go{r, r') - решение уравнения |
|
|
|
|
|
\12Go(r, r') + k2Go(r, r') = |
-б(г - r'). |
(15.33) |
Решение этого уравнения дается равенством
,1 e±'k1r-r'l
Go(r, r ) = -4 |
1 |
- r |
'1' |
(15.34) |
7г |
r |
|
|
где знак «плюс,. соответствует уходящей за пределы подобласти электромагнитной волне, а «минус,. - приходящей.
До сих пор напряженность электрического поля Е выводилась из точек, на
ходящихся вне рассеивающего объекта (r Ф. V). Однако если нужно вычислить поля в объеме источника (r Е V), необходимо ввести главный объем Vб, чтобы
+-+
избежать расходимости G o в точке r = r'. В этом случае решение уравнения (15.24)
записывается в виде
E(r) = Eo(r) + Zl.lJ2 J<i(r, r')je(r')dV' +
Е"М'
15.2 Метод объемных интегральных уравнений |
437 |
Аналогичное выражение можно найти для напряженности магнитного поля Н. В пре
деле при стремлении максимальной хорды д к нулю главный объем V.s становится
+-+
бесконечно малым. Диада источника L отвечает за деполяризацию главного объе-
ма Vo и оказывается зависящей только от его геометрии [20]:
(1536)
В выражении для L предел при д --+ О опущен, поскольку интеграл по поверхности
зависит только от геометрии Vo. Для кубического или сферического главного объема
+-+ +-+
диадная функция источника оказывается равной 1 = (1/3) 1. Как показал Ягхджиан (Уаghjiап), значение объемного интеграла также меняется правильным образом в за
висимости от геометрии главного объема, так что сумма объемного и поверхностного
интегралов сохраняется независимо от геометрии VtI [20].
Уравнение (15.35) известно как объемное интегральное уравнение (для напряжен
ности электрического поля). Его можно представить в более простой форме (15.26),
если записать функцию Грина в символическом виде:
G+-+ ( |
r, r |
') |
РV: [G+-+ ( |
')] |
Lб(г- r') |
(15.37) |
|
- .. |
r, r |
- |
2 |
, . |
|
|
|
|
|
|
kocrer(r ) |
|
Введенный Бладелем [21] символ P.V. обозначает главное значение. Действие объ |
емного интеграла P.V. [G(r,r')] |
на ток |
j(r') |
проявляется в том, |
что включается |
бесконечно малый главный объем в точке r, и в том, что следует учитывать деполя ризацию этого объема. Иными словами,
f |
P.v. [G(r, r')] je(r')dV' = |
liш |
f G(r, r')je(r')dV' + ~j,.(r) . |
(15.38) |
|
0-+0 |
kOC'"f(r) |
|
V |
|
|
v-~ |
|
При обычных обозначениях символ P.V. выносят из-под интеграла. Запись. учиты |
вающая главный объем. принята |
здесь для полноты изложения и не |
используется |
в дальнейшем. |
|
|
|
Объем источника V можно разделить на N объемных элементов ~V;,. таких что
(15.39)
Предполагается, что отдельные элементы объема достаточно малы, так что плотность тока je можно считать постоянной в пределах ~Vn :
|
|
(15.40) |
где r n - произвольная точка внутри ~Vn. В этом |
случае решение |
для Е можно |
записать в следующем виде: |
|
|
N |
N |
|
E(rn ) = Eo(r) + L ~E~(r) + L ~E~(r), |
(15.41) |
438 |
Гл 15. Теоретические методы в нанооnтике |
где E~,(г) - первичное поле, порожденное током в объеме дv". а ДE~,(г) соответствующее рассеянное поле. Поля дЕ?,(г) и ДE~,(г) даются равенствами
|
s::2lf |
Go(r,r')dv'] j,,(r,,), |
r rj. |
дv", |
|
|
ДE~(г) = |
uV2 |
[нтv" |
f |
ёо(г,r')dV' - |
2 L |
] j,.(r,,). r ЕД\'". |
(1542) |
|
€oc |
0->0 |
|
|
kQ€r.r{r) |
|
|
|
|
|
AV,,-V6 |
e:2 lf Gs(r,r')dV'] j,.(r,,). |
|
|
|
|
ДE~(г)= |
|
(1543) |
|
|
|
|
V" |
|
|
|
|
Благодаря гладкости G o в точках r '1г'....интеграл |
в выражении для r |
(j. Д\~, ~lOж- |
но аппроксимировать выражением ДVnGоj,г,гn). Эта аппроксимация |
непримеНИ~Iа |
в точках r Е Д\1;1' из-за того что функция Go сильно меняется вблизи r = г' |
Напро |
тив, объемный интеграл следует взять в явном виде для данной геометрии- главного
....
объема Vб. Поскольку G s регулярна....для всех г, интегрирование G, в любой точке
можно заменить произведением Дv'Gs(r, гn). Для удобства дальнейшего изложения
обозначим оставшийся объемный интеграл следующим образом
м = Нт |
f Go(r,r')dV'. |
(1544) |
0->0 |
|
|
A\',,-V8 |
|
После подстановки (15.42) и (15.43) |
в (15.41) и вычисления |
Е в точках г~ = г". |
получаем следующие N-векторНbIе уравнения:
(1545)
|
|
|
Полученные равенства представляют собой основу как дЛЯ ММ. так и для мед |
.... .... |
- |
Диады!; и М даются равенствами (15.36) |
и (15.44) соответственно. G - функция |
Грина, G s - |
ее рассеивающая часть. Отметим, что выражение в скобках. включаю- |
........ .... |
|
щее в себя М, L и G s , определяет взаимодействие элементарного объема Д\ ~ с са
мим собой, тогда как сумма во второй строчке учитывает взаимодействие с осталь
ными дискретными диполями. Различные вклады E(rk) показаны на рис. 156 Д.1Я
случая двух....пространственно разнесенных объемных элементов.
....
Диады М и L можно рассчитать для конкретной геометрии \:\. но мы буде~I
сохранять их символическое представление для общности расчетов. Можно показать.
....
что M(rll ) стремится нулю при произвольном уменьшении дv". поэтому- в преде.1е
....
при д\l;l - t О вкладом М(г1l ) можно пренебречь. Напротив. диада L(r,,) не исчезает при Д\1;, - t О. Она отвечает за самодеполяризацию. и в самосогласованном форма
лизме учет его вклада абсолютно необходим.
15 2 Метод объемных интегральных уравнений |
439 |
j(.)~
Рис 156 Взаимодействие элементарного объема ДVk с его окружением и с самим собой
..1.1Я ясности показан только один взаимодействующий объем ДVk Стрелками указаны «пу
ти·) взаИ~IOдействия, а символы означают участвующие в этих взаимодействиях величины
~унк~~ю Гp~Ha можно ~зделить на первичную часть и часть, ответственную за рассеяние,
G = G o + G,. причем G удовлетворяет граничным |
условиям, поставленным на исходной |
системе |
|
+-+ |
<--+ |
Поскольку (1545) включает в себя как М, так и L, то это равенство представляет |
собой строгое утверждение. Менее строгое утверждение получается из строгого, если |
~ |
..... |
пренебречь вкладом М и рассматривать только L. Согласно Лахтакиа [19] допустимо |
.1ИШЬ сравнение строгих утверждений друг с другом и менее строгих (слабых) -
друг с другом. Сравнение строгой формулировки одного метода - ММ - и слабой формулировки другого - МСД - продемонстрирует ту же несовместимость, что и сравнение между строгой и нестрогой формулировками одного и того же метода.
15.2.2. Метод моментов (ММ). В рамках метода мулыипольных моментов рас Оlатриваются поля, фактически существующие в точке r. Эти поля непосредственно
пре.1ставлены равенством (15.45). Чтобы получить решаемую систему уравнений,
П.10ТНОСТЬ тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j, (r) = -/WС'о [e(r) - |
eгer(r)] E(r) = -iwеоАе(г)Е(г) |
|
(15.46) |
подстаВИI\I в (15.45) |
и придем к следующей системе уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
11 +-+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eo(rk) = L AknE(rn), k = 1, ... , N, |
|
|
(15.47) |
|
|
|
|
11=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где матрицы A~ /1 даются равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak/l = [ |
- . |
[.) . - |
L (rk ) |
2 +-+ |
|
] |
Ae(rk) |
] |
дkn- |
|
|
|
1 - |
h'(jM(rk) - -;--() + AVi..koGs(rk, rk) |
|
|
|
|
|
|
|
|
-101 |
rA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- [АV;,kБG(Гk'rll)Ae(rk )] |
(1 - |
дkn)' |
(15.48) |
в связи |
с |
тем что |
(15.47) |
- векторное |
матричное |
уравнение, |
А |
- это |
матри |
ца З-У х ЗN. дЛЯ решения системы уравнений применяются различные вычислитель
ные схемы, такие как метод сопряженных градиентов. Вероятно, наиболее сложная часть МММ состоит в поиске эффективного и надежного алгоритма для реше
ния (1547) Поскольку итоговые матрицы обычно плохо обусловлены, для больших
440 Гл 15. Теоретические методы в нанооnтике
систем прямое численное решение может стать нестабильным, и чтобы преодолеть эту проблему, Мартин с сотрудниками применили итеративную процедуру, основан
ную на уравнении Дайсона [15].
Заданную равенством (15.46) плотность тока je можно также подставить в (15 26) или (15.35), чтобы получить интегральную форму уравнения (1547). Далее, следует
отметить, что формализм не ограничен лишь изотропными рассеивателями Уравне
ние (15.47) остается справедливым, если е(г) является тензором. Развитие подхода для бианизотропных рассеивателей можно найти в [19].
15.2.3. Метод связанных диполей (мед). в отличие от ММ, в рамках мед рассматривается поле Еехе, которое возбуждает данный элементарныи объем. Оно отличается от напряженности электрического поля Е в (15.45). Чтобы получить EN •
следует вычесть из фактического поля Е «самосогласованные» слагаемые, связанные
..... .....
сМ и L:
(15.49)
.....
в то !ремя как м и L определяют прямое взаимодействие, слагаемое, ~держа-
щее Gs , относится к н-еnрямому взаимодействию. Поле, связанное с G,(r. k).
является полем, испущенным в точке r = rk в прошлом и теперь веРНУВШИI\lСЯ
обратно в точку r = rk после рассеяния на окружающей среде (см. рис 156).
Поэтому указанное поле также дает вклад во внешнее возбуждение элементарного
объема ДVk и, таким образом, должно быть включено в (15.49).
Применяя микроскопическую поляризуемость ak, можно связать дипольныи мо
мент I1k'индуцированный в элементарном объеме ДVk, с полем Есх< (г~).
(1550)
Это соотношение можно подставить в (15.49), выразив плотность тока через диполь-
ный момент: |
|
|
• () |
и.и |
(1551) |
Je rk = - |
AVk I1k' |
|
Итоговая система уравнений в матричной форме принимает вид |
|
N ..... |
|
|
Eo(rk) = L BknEexe(rn), k = 1, ... , N, |
(15.52) |
n=1 |
|
|
где матрицы Bk11 определяются равенством |
|
|
Bkn = [1 - w22Gs(rk,rk)Qk] дkn- |
[w22G(rk,rll)all] (1 - t5~II)' |
(1553) |
~C |
~C |
|
Если теперь умножить обе части равенства (15.52) на a~" получится система урав-
нений для дипольных моментов:
..... |
N ..... |
|
QkEo(rk) = |
L C k11 !1n, k = 1, ... , N, |
(1554) |
J5 2 |
Метод оБЪе/otНЫХ интегральных уравнений |
441 |
где матрицы СА" определяются равенством |
|
СА" = [1 - (.<)22nkCi(rA,rk)] бkn - [(.<)22QkG(rk,rn)] (1-бkп). |
(15.55) |
~Г |
~C |
|
Определив дипольные моменты, легко рассчитать поле во всем пространстве. Следует
еще раз подчеркнуть, что Еехс совпадает с Е только вне рассеивателя, занимающего |
объем \', а в пределах V эти поля различаются. Чтобы вычислить, зная Еехе, поле |
|
..... |
..... |
|
|
в объеме \', следует учесть связанное |
с L и |
М «собственное |
поле» |
в каждой |
внутренней точке. Однако поле вне объема V вследствие наличия N индуцированных |
диполей дается равенством |
|
|
|
|
(.<)2 |
N .... |
гn)J1т, r tj. V. |
|
|
Е(г) = Ео(г) + - 2 L G(r, |
|
(15.56) |
еоС |
п=1 |
..... |
|
..... |
|
|
..... |
Чтобы сравнить мед с мм, выразим поляризуемость ak в терминах L(rk), M(rk)
и ':(гА). Требование эквивалентности мед и мм приводит К равенству
;;, ~Дv. 'O<lE("') [1-[!;JM(,,) - ~] <lE(,,)Г |
(15.57) |
|
Это соотношение следует из равенства плотности тока (15.46) в мм и плотности
тока (15 50) и (15.51) в мед. Возбуждающее поле Еехе можно выразить посредством фактического поля Е согласно равенству
Еш(ГА) = Е(ГА)- /(.<).) |
[М(ГА')- |
2 (r |
) ] |
je(rk) = |
|
|
L k |
|
|
с()('- |
|
koere,(rk) |
|
~ [1-[!;JM(r.) - ,~~:!)]Дф.)]E(r.). (15.58)
которое следует из (15.45), (15.46) и (15.49). Остается показать, что (15.57) сводится
к известным формам поляризуемости.
15.2.4. Эквивалентность ММ и мед. В слабых формах ММ и мед игнори-
.....
руется вклад диады М. В этом случае равенство (15.57) можно переписать в виде
.... |
- 3 |
() лv e(rk) - eref(rk) .....1 |
|
(15.59) |
ПА |
- |
E'OE'ref rk |
L.J. е( rk ) + 2eref |
(rk ) |
, |
|
|
|
|
..... |
|
|
|
где r.lbI использовали явное значение L |
= (1/3) 1. |
|
|
|
В равенстве (15.59) можно узнать квазистатическую поляризуемость малой ди э.lектрическоЙ сферы. Таким образом, слабые формы мм и мед оказываются идентичнымиl Более того, поскольку равенство (15.58) соотносит Еехе с фактическим
ПО.lеr.1 Е. можно показать. что поле в элементарном объеме .6.Vk дается равенством
- |
|
( |
3eref(rk) |
|
) |
Е |
ехе |
( |
rk |
) |
. |
(15.60) |
Е(rk ) - |
е |
) |
+ |
2 ( |
rk |
|
|
|
|
|
rk |
|
eref |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это соотношение согласуется с соответствующим равенством, имеющим место для
:'lа.l0Й сферы в однородном внешнем поле.
Ч~БЫ сравнить сильные формы мм и мед, следует явно определить значе-
ние М. Проще всего провести вычисления для главного объема V5 сферической
442 Гл. 15 Теоретические .методы в нанооnтике
формы. В этом случае интеграл в (15.44) легко берется и М можно записать
следующим образом [21]:
|
|
|
|
|
|
|
|
(1561) |
где а", - |
радиус элементарного сферического объема SVj, = (47Г/3)01. а |
kгei дается |
равенством k;ef = kaeгef. Ожидается, что М стремится к нулю при Щ - 4 О |
Подста,::яя |
(15.61) |
в выражение |
для |
поляризуемости (15.57) и используя тот факт, что L = |
= |
|
1, получаем |
|
|
|
|
|
(1/3) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
[3 |
|
() |
~e(rk)~vi. |
] [-1 _ 3k;.r(r~)~c(г~) М-] -1 |
(1562) |
|
|
a~, = |
|
еоЕ"ге! |
rk |
f: (Г~ ) + 2его!(rk ) |
е(Г~ ) + 2e"'I(r~) |
|
где первый сомножитель представляет собой слабую форму поляризуемости. тогда как второй определяет поправку, учитывающую конечный размер объема \~. При
дVk ---+ О этот множитель равен -1. Поляризуемость +а-+ А. заданная равенством (15 62). была получена впервые в явном виде Лахтакиа [19], и именно эту форму следует
рассматривать при сравнении с сильной формой ММ, в результате чего оказывается. что сильные формы ММ и мед также эквивалентны. Поскольку сильные формы
этих методов относятся к дискретным объемам конечных размеров. в общем случае
они обеспечивают лучшую сходимость, чем слабые.
В ряде работ было показано, что электростатическая поляризуемость, заданная
равенством (15.59), не удовлетворяет ни закону сохранения энергии. ни оптической
теореме для частиц, моделируемых одиночным диполем [22]. [23]. и вследствие экви
валентности мм и мед нестрогая формулировка мм не обеспечивает физически
правильного решения даже для одного дипольного рассеивателяl Поэтому диада 1\1
играет существенную роль даже для очень маленьких частиц. Чтобы получить фи зическое решение задачи, было предложено множество других формулировок мед. но все они так или иначе модифицировали слабую формулу мед с целью учесть
в kref(rkak) слагаемые более высокого порядка.
Повторим, что мм и мед различаются лишь точкой зрения. в то время как мед рассматривает поле, приходящее на элемент объема (возбуждающее по.1е). мм работает с полем, которое фактически имеет место в элементе объема ПОЭТО~IУ поле мед представляет собой решение для поля вне рассеивателя. тогда как внутри рассеивателя связь между Еехс и Е дается равенством (15.58).
Отметим, что тот же формализм можно применить к частице, обладающей
магнитной поляризуемостью: в этом случае следует провести двойные подстановки
из разд. |
10.9 и заменить диадную функцию Грина |
- |
на |
+-+ |
G |
(\7 х G). |
15.3. Эффективная поляриэуемость
Чтобы учесть взаимодействие одиночной дипольной частицы с ее окружением. за
частую вводится эффективная поляризуемость аеп. Взаимодействие же проистекает
из того факта, что часть поля, испущенного диполем в предыдущие моменты време ни. отразилась от окружения и некоторым образом сказалась на свойствах диполя
