Новотный и Хехт, Основы нанооптики

результирующая сила была равна нулю, а любое смещение из этого положения приводило к возникновению силы, возвращающей частицу в состояние равновесия. За дальнейшими подробностями оптического пленения в режиме геометрической

оптики отсылаем читателя к работе Ашкина [11].

Параметром лазерного пинцета, важным для решения прикладных задач, явля­ ется коэффициент жесткости ловушки k. При малых смещениях х из положения

равновесия потенциал захвата можно аппроксимировать гармонической функцией,

при этом возвращающая сила будет зависеть от х линейно:

в общем случае k - тензор второго ранга, поскольку жесткость зависит от на­ правления смещения. В случае однопучковой градиентной ловушки часто достаточно

различать продольную и поперечную жест­

кости. Жесткость ловушки зависит от

поляризуемости частицы, мощности воз­

буждения и градиента поля. Рисунок 13.9

вушке частицы известного размера, с помощью закона Стокса можно определить

действующую на частицу силу (Fd ). Эта сила должна уравновешиваться удерживаю­ щей силой (Р), заданной равенством (13.52), что позволяет определить жесткость k

путем измерения смещения х. Есть несколько путей определения скорости v частицы

относительно среды: (1) среда прокачивается относительно неподвижной частицы с помощью проточной камеры, (2) камера, содержащая вязкую среду, перемеща­

ется относительно неподвижной частицы с помощью пьезопривода или подвижной

платформы и (3) оптическая ловушка перемещается путем управляемого перемеще­

ния пучка, тогда как среда остается неподвижноЙ. Какой метод применить - не

имеет значения, точность измерения k зависит от точности измерения смещения х. Обычно .1' определяется перефокусировкой рассеянного плененной частицей света

на позиционно-чувствительный детектор, такой как кремниевый квадрантный детек­

тор [12].

Если глубина потенциальной ямы ловушки сравнима с энергией kT, следует принять во внимание броуновское движение. Для стабильного пленения частицы часто требуется, чтобы глубина ловушки составляла ~ IOkT. Броуновское движение

зашумляет измерения силы, порождая характерный спектр мощности [3]. К сожа­

лению, уравнение Ланжевена нельзя разрешить для потенциальной ямы конечной

z/rt

Рис 13 12 Сравнение незапаздывающих полей диполя (пунктирные кривые) и определенных численно полей для подсвеченного лазером металлического зонда (сплошные кривые) а - Поперечное распределение поля (перпендикулярно оси зонда) в зависимости от расстояния z между передней точкой острия и точкой поля. б - Затухание поля вдоль оси зонда. Все расстояния нормированы на радиус острия Т! = 5 нм

где 'Т' = Jх2 + у2 + z2 . Сравнение незапаздывающего поля диполя с рассчитанными

численно полями острия, освещенного лазерным пучком, показано на рис. 13.l2.

Предположим, что связью между острием и частицей можно пренебречь. В этом приближении первичное поле Ео возбуждает в острие дипольный момент /1t, а порож­

денное ~! поле наводит дипольный момент ~ в частице. Используя (13.59) совместно

с выражением (13.51) для a{c.v) , можно определить силу, действующую на частицу, расположенную в точке (х, у, z), с помощью (13.57):

лярно ей соответственно, а р = Jx2 + у2 - расстояние до оси острия. Знак «минус»

означает. что сила направлена к острию. Таким образом, (F) пропорциональна коэф­

фициенту усиления f, интенсивности возбуждающего света 10 = 1/2 Jeoes/МО Еб' ве­

щественной части поляризуемости а' и шестой степени радиуса кривизны острия Tt. Следует помнить, что f и Т! не являются независимыми параметрами; и только

строгим расчетом можно установить их связь.

Теперь мы рассчитаем потенциальную энергию частицы в поле диполя зонда (потенциал захвата):

ос

Путь. по которому проводится интегрирование от r до 00, можно выбрать произволь­

но, поскольку F - консервативное векторное поле. После проведения интегрирова-

ния находим

(13.62)

Наибольшее значение Уро! достигается точно напротив острия z = То + Tt, где То -

радиус частицы. На рис. 13.l3 показана величина потенциала захвата Vpot вдоль

оси зонда и вдоль перпендикулярной оси непосредственно перед острием. Поскольку

в водяном окружении сила захвата конкурирует с броуновским движением, потенци-

Z[НМ]

Рис. 13.13. Потенциал захвата v;.ot в поперечном направлении на расстоянии z = Т! +ТО под

зондом. Коэффициент усиления предполагается равным f = 3000. Радиусы зонда и частицы

Т! = ТО = 5 нм. Диэлектрические проницаемости частицы и окружающей среды равны соответ­

ственно е = 2,5 и es = 1,77 (вода) Силы нормированы на kBT и интенсивность возбуждения

10

ал нормирован на kBT (kB - константа Больцмана, Т = 300 К). Кроме того, масштаб

кривых меняется с изменением интенсивности возбуждения 10. Чтобы потенциал

приводил к захвату частиц, он должен быть равен kBT, что при комнатной темпера­

туре соответствует интенсивности 10 ~ 100 мВт/мкм2.

Для дальнейшего изложения предположим, что достаточное условие пленения

дается неравенством Уро! > kBT. Рассчитаем теперь интенсивность, необходимую для пленения частицы данной величины. Используя выражение для поляризуемости

Кривая, для которой сохраняется равенство, представлена на рис. 13.14. Минимум на графике показывает, что интенсивность возбуждения и радиус кривизны острия мож-

с;- 1.5

I

Коэффициент усиления f предполагается равным 3000, радиус зонда Т! = 5 нм

но отрегулировать так, чтобы выборочно захватывать частицы в зависимости от их

размера в ограниченном диапазоне. Слишком маленькие частицы пленить не удается,

поскольку их поляризуемость очень мала. Напротив, для слишком больших частиц

минимальное расстояние между зондом и частицей (Т! + то) становится слишком

большим. Для используемых в настоящее время оптических пинцетов оптимальный

размер частицы составляет То ~ 5 нм. Однако, поскольку захватывающие поля

затухают тем медленнее, чем больше радиус кривизны острия, можно ожидать, что

при больших размерах зонда оптимальный размер частицы возрастет. Эмпирическое правило состоит в том, что оптимальный размер частицы должен быть порядка

размеров острия.

Отметим, что в отличие от проведенного вначале расчета силы захвата потенци­ ал V;",\{r) можно легко определить, рассматривая энергию взаимодействия с частицей в дипольном приближении. Пусть Е - поле диполя зонда ~t, тогда

что приводит к тому же результату, что и (13.62).

Примененная здесь простая модель двух диполей устанавливает потенциал за­

хвата, общая форма которого находится в хорошем соответствии с результатами,

приведенными в [20]. Сравнение показывает, что рассчитанные здесь силы отлича­ ются от приведенных в работе [20] приблизительно в 2-3 раза. Тем не менее мы

обнаружили, что для пленения наночастицы на конце золотого зонда в водяном

окружении требуется умеренная мощность лазерного излучения. Эксперименты по­ казали, что формирование вихревых токов (которые порождены лазерным нагревом металлического острия) в водяной среде не влияет на схему захвата.

13.7. ВЫВОДЫ

Мы рассмотрели светоиндуцированные силы, действующие на поляризуемое ве­ щество. Эти силы удобно описывать с помощью максвелловского тензора напряже­

ний, который позволяет получить как силы дипольного взаимодействия (градиентные силы), так и световое давление на объект произвольной формы. Если размер объекта

много меньше длины волны, то поле можно представить в виде разложения, в ко­

тором дипольное слагаемое приводит к градиентной силе и силе рассеяния. Первая

лежит в основе оптических пинцетов, тогда как вторая предоставляет возможность

осуществлять охлаждение атомов. Вообще говоря, эти силы по своей природе по­

луклассические, и это означает, что поля можно описывать классическими уравнени­

ями, тогда как моделирование свойств вещества (поляризуемости) требует квантового подхода. Поскольку сильные градиенты полей связаны с ближними оптическими

полями, градиентные силы можно использовать для управления наноразмерными

частицами. Однако ближние поля сильнее всего на границе раздела сред, а значит, необходимы дополнительные противодействующие силы (Ван-дер-Ваальса, электро­ статическая), чтобы создать стабильную ловушку за границами вещества.

13.8. Задачи

13.1.Находящаяся в воде сферическая стеклянная частица захвачена в фокус па­

раксиального гауссова пучка, длина волны которого л = 800 нм, С переменной

числовой апертурой (см. разд. 3.2). Поляризуемость частицы задана равенством

где V - объем частицы, а диэлектрические проницаемости стекла и воды равны соответственно Е: = 2,25 и E:v. = 1,76.

1. Покажите, что для малых поперечных смещений (х) из фокуса возвра­

щающая сила пропорциональна х. Определите коэффициент жесткости как

функцию числовой апертуры, do, >. и Ро, где do - диаметр частицы, а РО-

мощность лазерного излучения.

2.Возможно ли тем же путем получить коэффициент жесткости для продоль­ ных смещений z? Если да, рассчитайте коэффициент жесткости как функцию числовой апертуры, do и Ро.

3.Пусть N А = 1,2, do = 100 нм. Какова должна быть мощность лазерного

пучка, чтобы создать захватывающий потенциал V> 10kT, где k - постоянная

Больцмана, а Т = 300 К - комнатная температура? Чему будет равна возвра­

щающая сила при поперечном смещении х = 100 нм?

13.2. Рассмотрите полное внутреннее отражение плоской волны с длиной волны

>. = 800 нм, падающей под углом () = 700 к нормали на границу раздела

стекло-воздух (€ = 2,25). Плоская волна приходит со стороны стекла и явля­

ется в-поляризованной. Нормаль к границе раздела параллельна направлению силы тяжести, и воздух находится в нижнем полупространстве. Находящаяся

в воздухе малая стеклянная частица пленена эванесцентным полем, возникшим

вследствие полного внутреннего отражения плоской волны. Рассчитайте ми­

нимальную интенсивность плоской волны, требующуюся для предотвращения

падения частицы (а дается равенством (13.65), где €w = 1). Плотность частицы

р = 2,2·103 кг/м3, диаметр частицы do = 100 нм. Что произойдет, если диаметр

частицы увеличится?

13.3.Частица находится в поле двух встречных плоских волн одинаковой амплиту­

ды, фазы и поляризации. Градиентная сила удерживает частицу в поперечной плоскости, сформированной конструктивной интерференцией двух волн. Ин­

тенсивность одной волны 1, поляризуемость частицы а. Рассчитайте энергию,

которая требуется для перемещения частицы из одной плоскости конструктив­ ной интерференции в другую, как функцию 1.

13.4.Рассчитайте силу взаимного притяжения двух идентичных дипольных частиц,

освещенных плоской волной, поляризованной вдоль оси, проходящей через

центры частиц. Постройте график зависимости силы от расстояния между частицами. Используйте подходящую нормировку осей.

13.5.Рассчитайте тензор напряжений Максвелла на сферической поверхности, охва­

тывающей рэлеевскую частицу, освещенную плоской волной. О чем говорят

полученные результаты?

4. Pringsheim В. Zwei Bemerkungen иЬег den Untersehied уоп Lumineszenz-und Тетрега­ tuгstrahlung // Z Phys. 1929 V 57 Р 739-741.

5. Hiinsch Т W, Schawlow А L Cooling of gases Ьу laser radiation / / Opt Соттип 1975

V 13 Р.68-69

6 Shimizu У., Sasada Н. Mechanical foree in laser eooling and trapping / / Ат J Phys 1998 У. 66. Р 960-967

26 Л НовотныЙ. Б Хехт

9. Chu S., Bjorkholm J. Е., Ashkin А., Cable А. Experimental observation оУ optically trapped atoms / / Phys. Rev Lett. 1986. У.57. Р 314-317

10Wright W Н., Sonek о. J , Berns М. W Radiation trapping forces оп microspheres with optical tweezers // Appl. Phys. Lett. 1993. У.63 Р 715-717.

17Adams С S., Sigel М., Mlynek J. Atom optics // Phys. Rep. 1994. У.240. Р 143-210

18Kawata S, Tani Т. ОрНсаllу driven Mie particles in ап evanescent field along а channeled

waveguide / / Opt Lett 1996. V 21. Р. 1768-1770

19 Sekatskii S К., Riedo В., Dietler G Combined evanescent light electrostatic atom trap of subwavelength size // Opt. Сотт. 2001. V 195 Р.197-204.

20. Novotny L., Bian R Х , Xie Х. S Theoгy of nanometric optical tweezers / / Phys. Rev. Lett 1997 V 79. Р 645-648