Новотный и Хехт, Основы нанооптики
.pdf14.2. Излучение флуктуирующих источников |
413 |
поля в w"" тогда как второе обусловлено магнитным полем. Вообще, |
п,.", можно |
записать в следующей форме: |
|
w'"(г, "-J) = w("-J, T)N(r, "-J), |
(1448) |
где W("-J,T) - средняя энергия в расчете на моду. N(r,"-J) зависит только от диэлектрических свойств €("-J) и функции Грина системы отсчета и имеет смысл
определенной ранее локальной плотности состояний. Фактически, и это будет
показано в дальнейшем, N(r, "-J) идентична локальной плотности состояний, если си стема находится в состоянии равновесия. В неравновесной системе N(r,"-J) включает
всебя лишь часть полного числа возможных мод.
14.2.1.ИЗJlучение аБСОJlЮТНО черного TeJla. Рассмотрим тело, состоящее из
флуктуирующих точечных источников. Термодинамическое равновесие с излучением
проявляется в том, что усредненный вектор Пойнтинга равен нулю во всех точ
ках г пространства (отсутствует перенос тепла). В этом случае можно применить флуктуационно-диссипационную теорему (14.32). В свободном пространстве два
слагаемых в (14.47) становятся равны, и мы получаем [10]
W",(r, "-J) = [1 _en:::''''/kT] 1Г:2L 1т{[Б(г,г,"-J)]n} (в равновесии). |
(14.49) |
J
Полная энергия дается интегрированием по положительным и отрицательным часто
там. Заменим выражение в квадратных скобках симметричной и антисимметричной
частями: |
n; + |
[] |
|
|
~ + e""'/~~_ 1 . |
(14.50) |
|
|
|
|
.... |
Принимая во внимание то обстоятельство, что Im(G) - нечетная функция ш,
опустим первое слагаемое в приведенном выше выражении, поскольку после интегри
рования по всем частотам его вклад оказывается равным нулю. Оставшийся интеграл
можно взять, проводя интегрирование только по положительным частотам:
х |
00 |
|
|
|
|
|
W = JW+ ",("-J)duJ = |
JW("-J, T)N(r, "-J)duJ, |
(14.51) |
||||
о |
о |
|
|
|
|
|
где |
|
|
1] , |
|
|
|
W("-J, Т) = [n; + eli",/~~_ |
|
|
|
|||
N(r,"-J) = 2~ L lm {[G(r,r,"-J)]JJ} = 2~тr {[G(r,r,"-J)]} |
||||||
1ГС . |
|
1ГС |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
совпадает с локальной плотностью состояний |
(ср. (8.117», |
а W("-J, Т) |
соответствует |
|||
средней энергии квантового осциллятора. |
-+ |
",("-J) - |
спектральная плотность энер- |
|||
W |
||||||
гии, определенная только на множестве положительных частот. |
|
|||||
|
|
|
|
|
.... |
|
Раскладывая экспоненциальный множитель ехр(ikr) |
в |
G в ряд, |
как это было |
|||
|
|
|
.... |
|
|
|
показано в разд. 8.3.3, можно убедиться, что Im(G) |
не является |
сингулярной |
в начале координат. Используя функцию Грина в свободном пространстве. получаем
1т {[G(r,r,"-J)]JJ} = "-J/(6nc), |
и равенство (14.51) принимает вид |
|
||
-+ ( |
[ 1iы |
nu; |
] u;2 |
(14.52) |
W'" "-J) |
= 2"" |
+ exp(1iыjkT) _ 1 |
~. |
14.3 Флукmуацuонно-uндуцuрованные сuлы |
417 |
где 'v'n означает градиент по n-й пространственной переменной в аргументе. Исполь зуя флуктуационно-диссипационную теорему для диполя и полей «(14.19) и (14.32»
и тот факт, что |
|
|
...... |
|
|
'v'1G(r, го; W) = 'V'2G(r, го; w), |
(14.59) |
||
запишем силу в компактной форме: |
|
|||
|
00 |
|
:"'/kT] 1т[al(W)'V'lG1t (ro,ro;w)] (М. |
|
(F(ro)) = L J+ [ |
(14.60) |
|||
. |
1ГС со |
1 - |
е |
|
t |
-ос |
|
|
|
Отметим, что сила определяется свойствами среды, которые закодированы в функции
+-+ ~
Грина G. Сила исчезает в отсутствие каких бы то ни было объектов, т. е. когда G рав на функции Грина свободного пространства. Равенство (14.60) позволяет рассчитать
силу, действующую на малую поляризуемую частицу в произвольном окружении. Равенство справедливо для изотропных частиц, но его можно обобщить на случай анизотропных поляризуемостей, таких как молекулы с постоянными дипольными
моментами перехода.
14.3.1. Потенциал Казимира-ПОJIдера. В этом разделе мы получим силу,
действующую на частицу с поляризуемостью аl со стороны другой частицы с поляри
зуемостью а2. Как показано на рис. 14.7,
две частицы расположены на расстоя |
|
|
|
||
нии R друг от друга. На малых рассто |
|
|
|
||
яниях сила меняется как R-7, тогда как |
|
|
|
||
на больших расстояниях - |
как R-8 . Ис |
|
|
|
|
ходя из интуитивных соображений, мож |
|
|
|
||
но сказать, что более сильная зависи |
|
|
|
||
мость от расстояния на БОЛblUИХ рассто |
|
|
|
||
яниях вряд ли возможна, поскольку спад |
|
|
|
||
электромагнитного поля становится сла |
Рис |
147. |
Определение координат для рас- |
||
бее при переходе от ближних полей к |
|||||
чета |
дисперсионной силы взаимодействия |
||||
дальним. Как будет показано, при темпе |
|||||
между двумя поляризуемыми частицами |
|||||
ратуре Т = О для любых расстояний сила |
|||||
|
|
|
|||
может быть получена из |
единственного потенциала |
U(Т), называемого потенциа |
лом Казuмuра-Полдера (Casimir-Polder potential). Конечные температуры лишь в незначительной мере влияют на силу [5], и, следовательно, можно ограничиться
проведением анализа для случая Т = О.
в равенстве (14.60) сила определена посредством функции Грина G. Поэтому получим функцию Грина в присутствии поляризуемой частицы с поляризуемостью Н2, центр которой расположен в точке Г2. Поле Е в точке r можно выразить через диполь
в точке Г2 следующим образом:
~ |
(J} 1 """0 |
~ |
~ |
(14.61) |
E(r,w) = 2'-G (r,rl;w)Jl.l(W) + Es(r,w), |
ссо
где q"""0 означает диадную функцию Грина в свободном пространстве. Рассеянное поле Es создается частицей, находящейся в точке Г2:
~ |
v} |
1 """0 |
~ |
= |
Es(r,w) = 2'-G (r,r2;w)Jl.2(W) |
||||
|
с |
со |
|
|
(J} |
1 |
[(J} |
1 """0 |
"""0] ~ |
(14.62) |
= 2' - |
2'-G (r,r2;w)a2(w)G (r2,rl;w) Jl.l(W). |
||||
с |
СО |
с |
СО |
|
|
27 Л НовотныЙ. Б Хехт
14 3. Флукmуацuонно-uндуцuрованные силы |
419 |
Комбинируя эти математические трюки, получаем потенциал взаимодействия частиц:
|
ос |
|
U=- |
~C2 6 J0:1 (U;''1)0:2(k''T/)e-211R [З+677R+5(77R)2+2(77R)3+(1/R)4] (11/. |
(14.70) |
161Г |
E:oR |
|
о
Мы использовали тот факт, что О:z(П) - чисто вещественная величина на мнимой оси П = i'ГJ. Равенство (14.70) - знаменитый потенциал Казимира-Полдера - спра
ведливо при любых расстояниях R между частицами. Наши результаты согласуются
со строгими расчетами, основанными на квантовой электродинамике в рамках чет
вертого порядка теории возмущений [13]. Представленный здесь вывод позволяет
включить поправки более высокого порядка путем простого добавления дополнитель-
+-+
ных слагаемых взаимодействия в функцию Грина G в (14.63). Формулу для силы
можно выразить через потенциал посредством равенства (F) = - 'VU.
Представляет интерес расчет потенциала в предельных случаях больших и малых расстояний. На малых расстояниях удерживаем лишь первое слагаемое в скобках,
полагая ехр(-2'ГJR) = 1, откуда получаем
U(R _ О) = - 6~ 2 ~ s: 0:1 (i'ГJ)0:2(i17)d1/' |
(14.71) |
З21Г ео R |
|
|
|
Это потенциал Ван-дер-Ваальса, имеющий место при малых расстояниях R. Потен
циал зависит от дисперсионных свойств поляризуемости частицы и меняется обратно пропорционально шестой степени расстояния между частицами R.
Чтобы получить предельное выражение для больших R, выполним подстановку U = 'ГJR в (14.70), которая приводит к следующему выражению для потенциала
взаимодействия частиц:
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И = - |
~C2 7 |
J0:1 (icu/R)0:2(icu/R)e-2u [3 + 6и+ 5u2 + 2uЗ + tt4 ] (1u. |
(14.72) |
||||||||
161Г toR |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем, в пределе R _ |
00, заменим поляризуемость ее постоянным значением а,(О). |
||||||||||
После вынесения поляризуемостей из-под знака интеграла получим |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
U(R _ |
(0) = |
- |
п~ 2 0:1(0)~2(0) |
Jе-2и [3 + 6и + 5u2 + 2u,З + 'и4] (1'/1.. |
(14.73) |
||||||
|
|
161Г ео |
R |
|
|
о |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, используя равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jи |
'11 |
е |
- 2ud |
n! |
Yn~O, |
(14.74) |
|
|
|
|
|
|
|
и = |
2n +1 |
о
берем интеграл в (14.73) аналитически, после чего получаем потенциал Казимира Полдера в пределе больших расстояний:
|
|
U(R _ 00 ) |
= _ 2З1iс |
0:1 (0)0:2(0) |
. |
(14.75) |
|
|
32 |
7 |
|||
|
|
|
641Г ео |
R |
|
|
Этот результат - |
проявление флуктуаций вакуума. Он носит название потенциала |
|||||
Казимира и был |
впервые получен |
в 1948 г. |
Хендриком Казимиром |
[14]. Потен |
циал примечателен тем, что меняется обратно пропорционально седьмой степени
расстояния R между частицами. Таким образом, на больших расстояниях эта сила
420 Гл /4 Взаимодействия, обусловленные флуктуациями
спадает гораздо быстрее, чем на малых. Такое поведение противоположно зависи
мости плотности электромагнитной энергии от расстояния, которая демонстрирует
более быстрый спад (R- 6 ) вблизи источника. |
Потенциал Казимира зависит толь |
||
ко |
от статических |
(w = О) поляризуемостей, а |
значит, их спектральные свойства |
не |
имеют значения. |
Отметим, что при выводе |
потенциала Казимира-Полдера мы |
рассмотрели только градиентную силу и пренебрегли влиянием силы рассеяния. Последняя не является консервативной и должна обращаться в нуль, если ча стица (частицы) находится в термодинамическом равновесии с вакуумным полем.
Следует подчеркнуть, что потенциал Казимира-Полдера проистекает исключи
тельно из нулевых флуктуаций и не учитывает флуктуаций тепловых. Обычно при
комнатной температуре силы, обусловленные теплом, по крайней мере на порядок
слабее сил, связанных с флуктуациями вакуума [5].
14.3.2. Электромагнитное трение. Электромагнитные взаимодействия между двумя электрически нейтральными объектами приводят не только к консервативным дисперсионным силам, но и к н,екон,серватuвн,ой силе трения, если два объекта движутся друг относительно друга. Эта сила трения связана только с тепловыми флуктуациями и замедляет движение объекта практически до нуля. Хотя эта сила мала, но она порождает важные следствия для разработки наноэлектромеханических систем (НЭМС) и для различных приложений в квантовой информации. Электромаг
нитное трение при водит к росту декогерентности в миниатюризированных ловушках,
таких как ионные ловушки и атомные чипы, а также к ограничению добротности
механических резонансов.
Рассмотрим малую электрически нейтральную частицу, такую как атом, моле
кула, кластер или наноструктура, размеры которой меньше характерных длин волн
л. В этом приближении частицу можно представить поляризуемостью a(w). Пусть
частиц~ расположена в произвольном окружении, которое описывается функцией
Грина G. Предположим, что движение центра масс частицы x(t) задается классиче
ским уравнением Ланжевена:
"((t - t').!!,x(t')dt' + mШ6х(t) = Fx(t), |
(14.76) |
dt
-х
где m - масса частицы, "((t) - коэффициент релаксации, проистекающий из теп
ловых флуктуаций электромагнитного поля, Ша - собственная частота колебаний
частицы, а Р, (t) - стохастическая сила. Отметим, что возвращающая сила mШ6х(t)
добавлена для общности и никак не повлияет на окончательный результат. В состоя
нии термодинамического равновесия Fx(t) представляет собой стационарный стоха
стический процесс, среднее по ансамблю которого равно нулю. Спектр мощности силы Sг(w) дается теоремой Винера-Хинчина (ср. (14.16)):
х |
|
SF(w) = 2~ f (Fx(T)Fx(O))e'UJT dT, |
(14.77) |
- 00 |
|
где w - угловая частота. Далее, в состоянии теплового равновесия SF связана с коэф
фициентом трения флуктуационно-диссипационной теоремой. Поскольку движение
макроскопической частицы классическое, рассмотрим классический предел, т. е.
kT-:У(w) = nSF(w), |
(14.78) |
где ;:Y(w) - фурье-образ "((t), определенный только для t > о.
14 3. Флук.mуационно-индуцированные силы |
421 |
Мы подразумеваем, что слагаемое, соответствующее общей силе трения, в равен стве (14.76) в момент времени t зависит от скорости частицы в более ранние моменты
времени. Теперь учтем, что время взаимодействия частицы с тепловым резервуаром
короче в сравнении с динамикой частицы, и, следовательно, изменение скорости
частицы за время взаимодействия очень мало. В этом марковском приближении трение не имеет памяти и, таким образом,
ос |
|
"10 = f"1 (t )(и. |
(14.79) |
о
Вычисляя (14.78) при ш = О и используя (14.79), находим, что постоянная релаксации
связана со спектром мощности следующим равенством:
(14.80)
Последнее равенство задает связь между линейным коэффициентом релаксации
скорости и спектром мощности. Чтобы рассчитать "10, следует найти спектр силы, который, в свою очередь, определяется электромагнитными полями посредством
флуктуаций токов в окружающей среде и флуктуаций диполя (ср (14.54».
Применяя теорему Винера-Хинчина (14.77), преобразование Фурье дипольной
силы (14.54) и считая флуктуации стационарными, получаем
(F;(ш')Fх(ш)) = SF(ш)8(ш - ш') =
3 |
, |
= L ([(д;(fI)(ш') + Д;(iП)(ш')) |
* (:хЕ;(fl)(ш') + :а;~;(iI1)(ш'))] х |
•.j=!
Х [(Д~fl)(ш) + дiiП)(ш)) * (:хЕ}fl)(ш) + :'т.Е,~iП)(ш))]). (14.81)
где * означает свертку. Каждое аддитивное слагаемое в (F,*(ш')F., (ш')) представ
ляет собой корреляционную функцию четвертого порядка, заданную в частотной
области. Поскольку флуктуационно-диссипационная теорема включает корреляци
онные функции второго порядка и не включают корреляционных функций четвер того порядка, найти решение в рамках квазиравновесной статистической механики
не представляется возможным. Однако выход есть: тепловые флуктуации можно мыслить как суперпозицию большого числа излучающих осцилляторов с широким
спектром, и в этом случае можно применить центральную предельную теорему.
Благодаря широкому спектру, то же справедливо для флуктуаций дипольных мо
ментов. Стохастические процессы со статистикой Гаусса обладают тем свойством.
что корреляционную функцию четвертого порядка можно выразить суммой по парных произведений корреляционных функций второго порядка. Таким образом,
равенство (14.81) можно рассчитать, зная КФ тепловых электромагнитных полей и КФ электрических дипольных моментов второго порядка. В состоянии теплового
равновесия эти корреляционные функции даются флуктуационно-диссипационной
теоремой (14.19) и (14.32). Таким образом, у нас есть все ингредиенты для рас чета коэффициента релаксации "10 в равенстве (14.80). Заменим индуцированное
слагаемое в (14.81) флуктуационным слагаемым с помощью линейных соотношений (14.55) и (14.56). Затем применим флуктуационно-диссипационные теоремы (14.19)
и (14.32). Наконец, используем соотношение (14.80), посредством которого найдем
спектр постоянной релаксации "10. Четыре аддитивных слагаемых в (14.81) приВО-
422 Гл 14 Взаимодействия, обусловленные флуктуациями
дят К четырем аддитивным постоянным релаксации, две из которых пренебрежи-
мо малы.
Можно показать, что трение исчезает при Т ---+ о, это означает, что трение связано только с тепловыми флуктуациями, а не с квантовыми нулевыми флуктуациями.
Фактически, этот результат также следует из требования инвариантности нулевых
флуктуаций относительно преобразований Лоренца [15]. Далее, другой примечатель
ный результат состоит в том, что трение имеет место даже в пустом пространстве при
конечной температуре. Таким образом, движущийся в пустом пространстве объект в конце концов придет в состояние покоя. В приближении свободного пространства
получаем
|
/1: .) |
х |
2~2 |
х |
/'0 = |
f!<k((А))I2"Л7((А),T)dы+ |
fIm[a((A))](A)511((A), T)dы, (14.82) |
||
|
187Г' (' cokT |
|
37Г с cokT |
|
|
|
о |
|
о |
где |
|
|
|
(14.83) |
|
|
|
|
Первое слагаемое в (14.82) согласуется с результатом Боера (Воуег) [15], тогда как
второе получено независимо в [16] и [17].
В работе [17] электромагнитное трение проанализировано для особого случая
поляризуемой сферической частицы радиуса а, расположенной вблизи полубеско
нечного полупространства (подложка) с комплексной диэлектрической проницаемо
стью Е2«(А)). Аналогичные исследования представлены в [18] и [19]. Предполагается,
что частица движется параллельно поверхности вдоль оси х на высоте Zo (см.
рис. 14.8). Эти исследования выявили не только сильную зависимость постоянной
с\ = 1
Рис 148 Частица движется в вакууме параллельно плоской подложке, диэлектрическая
проницаемость которой равна C2(W)
релаксации от расстояния, но также и сильную зависимость от материальных свойств
частицы и подложки. В качестве примера приведем рис. 14.9, на котором показана
нормированная спектральная плотность коэффициента релаксации как функция уг
ловой частоты (А) при температурах Т = 3 К, 30 К, 300 К. Коэффициент релаксации
/'0 получается путем интегрирования кривых по всем частотам, т. е. 1'0 численно
равен площади под спектральными кривыми. На рисунке показаны результаты для
двух различных конфигураций вещества: (а) образец и частица сделаны из се ребра и (6) образец и частица сделаны из стекла. Явно видно, что спектральный
диапазон /' гораздо короче на |
рис. 14.9, а, чем |
на рис. |
14.9,6, амплитуда |
гораздо |
ниже. Таким образом, гораздо |
более короткий |
спектр |
диэлектрической |
системы |
приводит к значительно большей амплитуде релаксации в сравнении с металлической
системой. Результаты численного интегрирования приведены в табл. 14.1. Важное
следствие заключается в том, что коэффициент релаксации в значительной степени
определяется вешеством полубесконечной подложки (см. [17]). Свойства же частицы