Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Новотный и Хехт, Основы нанооптики

.pdf
Скачиваний:
535
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
22.3 Mб
Скачать

14.2. Излучение флуктуирующих источников

413

поля в w"" тогда как второе обусловлено магнитным полем. Вообще,

п,.", можно

записать в следующей форме:

 

w'"(г, "-J) = w("-J, T)N(r, "-J),

(1448)

где W("-J,T) - средняя энергия в расчете на моду. N(r,"-J) зависит только от диэлектрических свойств €("-J) и функции Грина системы отсчета и имеет смысл

определенной ранее локальной плотности состояний. Фактически, и это будет

показано в дальнейшем, N(r, "-J) идентична локальной плотности состояний, если си­ стема находится в состоянии равновесия. В неравновесной системе N(r,"-J) включает

всебя лишь часть полного числа возможных мод.

14.2.1.ИЗJlучение аБСОJlЮТНО черного TeJla. Рассмотрим тело, состоящее из

флуктуирующих точечных источников. Термодинамическое равновесие с излучением

проявляется в том, что усредненный вектор Пойнтинга равен нулю во всех точ­

ках г пространства (отсутствует перенос тепла). В этом случае можно применить флуктуационно-диссипационную теорему (14.32). В свободном пространстве два

слагаемых в (14.47) становятся равны, и мы получаем [10]

W",(r, "-J) = [1 _en:::''''/kT] 1Г:2L 1т{[Б(г,г,"-J)]n} (в равновесии).

(14.49)

J

Полная энергия дается интегрированием по положительным и отрицательным часто­

там. Заменим выражение в квадратных скобках симметричной и антисимметричной

частями:

n; +

[]

 

 

~ + e""'/~~_ 1 .

(14.50)

 

 

 

....

Принимая во внимание то обстоятельство, что Im(G) - нечетная функция ш,

опустим первое слагаемое в приведенном выше выражении, поскольку после интегри­

рования по всем частотам его вклад оказывается равным нулю. Оставшийся интеграл

можно взять, проводя интегрирование только по положительным частотам:

х

00

 

 

 

 

 

W = JW+ ",("-J)duJ =

JW("-J, T)N(r, "-J)duJ,

(14.51)

о

о

 

 

 

 

 

где

 

 

1] ,

 

 

 

W("-J, Т) = [n; + eli",/~~_

 

 

 

N(r,"-J) = 2~ L lm {[G(r,r,"-J)]JJ} = 2~тr {[G(r,r,"-J)]}

1ГС .

 

1ГС

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

совпадает с локальной плотностью состояний

(ср. (8.117»,

а W("-J, Т)

соответствует

средней энергии квантового осциллятора.

-+

",("-J) -

спектральная плотность энер-

W

гии, определенная только на множестве положительных частот.

 

 

 

 

 

 

....

 

Раскладывая экспоненциальный множитель ехр(ikr)

в

G в ряд,

как это было

 

 

 

....

 

 

 

показано в разд. 8.3.3, можно убедиться, что Im(G)

не является

сингулярной

в начале координат. Используя функцию Грина в свободном пространстве. получаем

{[G(r,r,"-J)]JJ} = "-J/(6nc),

и равенство (14.51) принимает вид

 

-+ (

[ 1iы

nu;

] u;2

(14.52)

W'" "-J)

= 2""

+ exp(1iыjkT) _ 1

~.

414

Гл 14. Взаимодействия, обусловленные флуктуациями

 

ох [мкм]

 

 

10

5

1

2

 

u) (1014 C- I )

Рис

144 Спектр излучения черного тела

-+

при Т = 300 К. Условие равновесия требует,

W"'

чтобы усредненный вектор Пойнтинга всюду обращался в нуль

Полученное выражение представляет собой знаменитую формулу Планка, описываю­

щую излучение абсолютно черного тела, которая устанавливает электромагнитную

0.2

z = 1ООмкм

О.Н

 

0,6

 

0.4

0.2

О~-"'--':::::"'---,---==::;:=""""'I

z=IMKM

10

z = IOнм

Рис 14 5 Спектры теплового излу­ чения полубесконечного образца SiC при температуре Т = 300 К, рассчи-

танные для трех различных значений

высот z над поверхностью. Заимство­ вано из [7]

энергию в расчете на единицу объема в спек-

тральном диапазоне [c.v ... c.v + dc.v]. Оно справед-

ливо строго для равновесных систем.

14.2.2. Когерентность, спектраJlЬНЫЙ сдвиг и перенос теПJlа. Теплового равновесия

между веществом и излучением практически

никогда не наблюдается. Поэтому спектральная плотность энергии (14.47) и локальная плот­ ность состояний N становятся зависимыми от координат. Щегров (Shchegrov) с сотрудниками

рассчитали величину N(r, c.v) вблизи плоской границы вещества [7] и обнаружили, что она

сильно зависит от расстояния до поверхности.

На рис. 14.5 показана спектральная плотность

энергии по температуре Т = 300 К над полу­ пространством SiC. На больших расстояниях от поверхности (рис. 14.5, верхняя часть) спектр

имеет вид спектра черного тела, умноженного

на спектр эмиссии SiC. Последний ответствен за провал в спектре. Испущенное излучение

некогерентно, длина когерентности составляет

~ >"/2 (источник Ламберта). На расстояниях

много меньше >.. в спектре доминирует уеди­

ненный пик (рис. 14.5, нижняя часть), который

обусловлен поверхностной модой (поверхностный

фонон-поляритон). Узость ширины линии этого

пика приводит к росту когерентности и, таким

образом, к почти монохроматическому полю. Последовательность рисунков явно демонстриру-

ет изменение спектра по мере распространения

в свободном пространстве.

Рост спектральной плотности энергии Иf~ вблизи поверхности вещества делает

возможным перенос тепла излучением. Перенос тепла излучением происходит меж-

14.3. Флукmуационно-индуцированные силы

415

ду двумя телами с разными температурами. Однако даже одно тело в свободном пространстве теряет энергию путем непрерывного излучения. Муле (Mulet) с сотруд­

никами показал, что теплоперенос излучением между двумя телами можно увеличить

на несколько порядков, уменьшая расстояние между телами [11]. Этот рост обусловлен

взаимодействием поверхностных волн, локализованных вблизи границ раздела. Взаи­

модействие усиливает перенос тепла, ограниченный узким спектральным окном.

Тепловые ближние поля влияют не только на спектральную плотность энергии испущенного излучения, но и на его nространственную когерентность. Мера пространственной когерентности дается кросс-спектральным тензором плотности

электрического поля WJk, который определяется следующим образом:

WJk(rl, Г2,UJ)8(UJ -

UJ') = (8Ej (r 1' UJ)8E'k(r2, UJ')) .

(1453)

Карминати (Carminati) и Греффе

(Greffet) вычислили ~jk вблизи

поверхностей

различных материалов [12]. Они обнаружили, что непрозрачные вещества, не поддер­ живающие поверхностные моды (например, вольфрам), обладают длиной простран­

ственной когерентности, много меньшей, чем хорошо известная длина когерентности

излучения черного тела (Лj2). Длина когерентности может быть сколь угодно малой,

будучи ограниченной нелокальными эффектами вблизи поверхности вещества. С дру­

гой стороны, вблизи поверхности материалов, поддерживающих поверхностные моды

(например, серебро), длина когерентности может достигать нескольких десятков Л.

14.3. Флуктуационно-индуцированные силы

Флуктуирующие заряды нейтрального тела порождают флуктуации электромаг­ нитного поля, которое взаимодействует с зарядами других тел. Следовательно, элек­

тромагнитное поле является посредником между флуктуациями зарядов в отдельных телах. Результирующие корреляции зарядов порождают электромагнитную силу,

которую называют дисперсионной. При малых расстояниях между двумя телами говорят о силе Ван-дер-Ваальса, тогда как при больших расстояниях говорят о си­ ле Казимира. Хотя эти силы малы на макроскопических масштабах, ими нельзя

пренебречь на масштабе наноструктур. Например, две параллельные проводящие

пластинки площадью 1 мкм2 каждая, расположенные на расстоянии 5 нм друг от

друга, будут притягиваться с силой ~ 2 нН. Этой силы достаточно, чтобы раздавить

биомолекулу! Дисперсионные силы ответственны также за слабые молекулярные

связи и за адгезию частиц к границам раздела. Например, геккон с легкостью взбирается по большинству гладких поверхностей и может висеть на стекле, держась

одним пальцем. Секрет этих необычайных способностей заключается в миллионах кератиновых волосков на поверхности каждой лапки геккона. Хотя связанные с каж­

дым волоском дисперсионные силы и ничтожны, миллионы волосков в совокупности

порождают значительную силу сцепления. «Эффект гeKKOHa~ применен в разработке

сильно клейких лент. В настоящем разделе, следуя [5], выведем выражение для сил,

действующих на малые поляризуемые частицы в произвольном окружении.

Для простоты записи предположим, что среднее значение всех флуктуаций равно

нулю; это позволяет записать равенства JL(t) = 8JL(t) и E(t) = 8E(t). Чтобы рассчи­

тать силу, действующую на поляризуемую частицу, расположенную в точке г = го,

используем выражение для градиентной силы, полученное в разд. 13.3 (см (13.31». Однако следует учесть, что и поле Е, и ДИПОЛЬНЫЙ момент JL имеют флуктуационную

и индуцированную составляющие. Поэтому

(F(ro)) = L [(JL~in)(t)VE;fl)(ro,t)) + (JL~fl)(t)VE;in)(ro,t))],

(1454)

l

416

Гл 14. Взаимодействия, обусловленные флуктуациями

где '1. = {а:, у, z}. Первое слагаемое описывает флуктуации поля (спонтанные и теп­

ловые), которые коррелируют с индуцированным дипольным моментом согласно

равенству

ji(in)«(U) = Q\«(U)E(fI)(ro,(U),

(14.55)

где предполагается. что поляризуемость изотропна. Для дальнейших целей обо­

значим свойства частицы индексом 1. Второе слагаемое в (14.54) проистекает из

флуктуаций дипольного момента частицы и соответствует индуцированному полю

согласно равенству

)

 

2

1 +-+

 

 

 

~('

(r,(U) =

W

 

(П)

«(U).

(14.56)

Е tn

 

2-G(г,го;(U)·ji

 

 

 

 

с

са

 

 

 

Здесь G - функция Грина рассматривающейся системы, а r - произвольная точка,

как показано на рис. 14.6. Корреляции между флуктуирующим полем и флуктуирую-

Ql(W) _

(F) _ 8___G-.;..(r_,Г...:.О_,W...:)~

Рис 14 6 Дисперсионная сила давления, действующая на поляризуемую частицу, располо­

женную в точке г = Го. Сила порождается коррелированными флуктуациями заряда частицы и других окружающих ее 2ел Последнее обстоятельство учитывается посредством функции

Грина G, рассчитанной в точке расположения частицы

щим диполем равны нулю, поскольку они возникают в различных физических систе­ мах Аналогичным образом отсутствуют корреляции между индуцированными вели­

чинами.

Выразив J1 и Е в (14.54) через их фурье-образы и используя тот факт, что E(t) = = E*(t), получаем

х

(F(ro)) = L JJ(JL~in)«(U)VE;(fI)(ro,(U')) ei«.J'-«I)tduJ'duJ +

,

:х:

+ L JJ(Д~П)«(U)VЕ;(iП)(го,(U'))е~(«I'-<<I)tduJ'duJ. (14.57)

~

Подставляя линейные соотношения (14.55) и (14.56) и упорядочивая слагаемые,

представим первое слагаемое как функцию (Е(fI)), а второе слагаемое - как функ­

~(П)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цию J1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(F(ro)) = L JJа\«(U)V2 (Е;(fI)(го,(U)Е;(fI) (го,(U')) e' («I'-<<I)t , dUJ' dUJ +

 

 

I -'Х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ос

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w,2 ~'"

С* (

") (~(П)( )~~(П)( '))

е

1(<<1' -«I)t..1. .1..1..

(14.58)

 

+ L JJ

2 V \

"

го, го, (U

J1.~

(U J1.J

(U

иш иш,

Ссо

7.1 __

14.3 Флукmуацuонно-uндуцuрованные сuлы

417

где 'v'n означает градиент по n-й пространственной переменной в аргументе. Исполь­ зуя флуктуационно-диссипационную теорему для диполя и полей «(14.19) и (14.32»

и тот факт, что

 

 

......

 

 

'v'1G(r, го; W) = 'V'2G(r, го; w),

(14.59)

запишем силу в компактной форме:

 

 

00

 

:"'/kT] [al(W)'V'lG1t (ro,ro;w)] (М.

 

(F(ro)) = L J+ [

(14.60)

.

1ГС со

1 -

е

 

t

-ос

 

 

 

Отметим, что сила определяется свойствами среды, которые закодированы в функции

+-+ ~

Грина G. Сила исчезает в отсутствие каких бы то ни было объектов, т. е. когда G рав­ на функции Грина свободного пространства. Равенство (14.60) позволяет рассчитать

силу, действующую на малую поляризуемую частицу в произвольном окружении. Равенство справедливо для изотропных частиц, но его можно обобщить на случай анизотропных поляризуемостей, таких как молекулы с постоянными дипольными

моментами перехода.

14.3.1. Потенциал Казимира-ПОJIдера. В этом разделе мы получим силу,

действующую на частицу с поляризуемостью аl со стороны другой частицы с поляри­

зуемостью а2. Как показано на рис. 14.7,

две частицы расположены на расстоя­

 

 

 

нии R друг от друга. На малых рассто­

 

 

 

яниях сила меняется как R-7, тогда как

 

 

 

на больших расстояниях -

как R-8 . Ис­

 

 

 

ходя из интуитивных соображений, мож­

 

 

 

но сказать, что более сильная зависи­

 

 

 

мость от расстояния на БОЛblUИХ рассто­

 

 

 

яниях вряд ли возможна, поскольку спад

 

 

 

электромагнитного поля становится сла­

Рис

147.

Определение координат для рас-

бее при переходе от ближних полей к

чета

дисперсионной силы взаимодействия

дальним. Как будет показано, при темпе­

между двумя поляризуемыми частицами

ратуре Т = О для любых расстояний сила

 

 

 

может быть получена из

единственного потенциала

U(Т), называемого потенциа­

лом Казuмuра-Полдера (Casimir-Polder potential). Конечные температуры лишь в незначительной мере влияют на силу [5], и, следовательно, можно ограничиться

проведением анализа для случая Т = О.

в равенстве (14.60) сила определена посредством функции Грина G. Поэтому получим функцию Грина в присутствии поляризуемой частицы с поляризуемостью Н2, центр которой расположен в точке Г2. Поле Е в точке r можно выразить через диполь

в точке Г2 следующим образом:

~

(J} 1 """0

~

~

(14.61)

E(r,w) = 2'-G (r,rl;w)Jl.l(W) + Es(r,w),

ссо

где q"""0 означает диадную функцию Грина в свободном пространстве. Рассеянное поле Es создается частицей, находящейся в точке Г2:

~

v}

1 """0

~

=

Es(r,w) = 2'-G (r,r2;w)Jl.2(W)

 

с

со

 

 

(J}

1

[(J}

1 """0

"""0] ~

(14.62)

= 2' -

2'-G (r,r2;w)a2(w)G (r2,rl;w) Jl.l(W).

с

СО

с

СО

 

 

27 Л НовотныЙ. Б Хехт

418

Гл. 14. Взаимодействия, обусловленные флуктуациями

Комбинируя (14.61) и (14.62), определяем функцию Грина системы «свободное про­

странство + частица в точке r2. как

(14.63)

(F(x)) =

-+- ooJ w2Im [Ql(W) L'VIGi~(X;W)] dы.

(14.67)

 

7I"C СО

 

 

t

 

 

(14.64)

 

О

 

 

 

ПОЛОЖ2;lМ rl = О и r2 = (х, О, О) =

xnx . Теперь получим сумму диагональных элемен­

тов 'VG

=:::0Q2(W) ~ [:xG~;(~,O;w)] G?,(l,O;w),

 

L'VIG,,(rl,rl;w)

(14.65)

1

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<--+0

. Подстав-

где мы использовали свойства функции Грина свободного пространства G

<--+0

 

 

 

 

 

 

 

ляя явную форму G в приведенное выше выражение (ср. с разд. 8.3.1), получаем

с2 1 exp(2lxwjc)

[

(W

)

+

 

L 'VIGI1 (rl,rl;w) = 2"-

2

7

Q2(W) -9

+ 18~ -х

 

 

W со

871"

Х

 

С

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

+ 16 (~:l:/- 8i (~x)3- 3 (~x)4+ i (~x)5] nJ: = ~'VIGi~(X;w). (14.66)

Введем теперь эту функцию Грина в формулу для силы (14.61), которая при Т = О

имеет вид

Здесь мы использовали тот факт, что вклады с отрицательными частотами равны

нулю (ср. (14.20».

Прямым вычислением можно показать, что 'V х (F) = О и, следовательно, сила

эта потенциальна. Поэтому можно получить выражение для силы через потенциал и

интегрированием по переменной х:

и = - J(F(з·))(lх =

(14.68)

Выполним замену переменной интегрирования w= wc и заменим расстояние между

частицами на л. Понятно, что подынтегральное выражение представляет собой аналитическую функцию в верхнем полупространстве переменной интегрирования и

что оно стремится к нулю при w- t 00. Поэтому можно проинтегрировать выражение

по мнимой оси, используя равенство

00

х

rj(w)dЫ = i rf(i"1)d"1.

(14.69)

14 3. Флукmуацuонно-uндуцuрованные силы

419

Комбинируя эти математические трюки, получаем потенциал взаимодействия частиц:

 

ос

 

U=-

~C2 6 J0:1 (U;''1)0:2(k''T/)e-211R [З+677R+5(77R)2+2(77R)3+(1/R)4] (11/.

(14.70)

161Г

E:oR

 

о

Мы использовали тот факт, что О:z(П) - чисто вещественная величина на мнимой оси П = i'ГJ. Равенство (14.70) - знаменитый потенциал Казимира-Полдера - спра­

ведливо при любых расстояниях R между частицами. Наши результаты согласуются

со строгими расчетами, основанными на квантовой электродинамике в рамках чет­

вертого порядка теории возмущений [13]. Представленный здесь вывод позволяет

включить поправки более высокого порядка путем простого добавления дополнитель-

+-+

ных слагаемых взаимодействия в функцию Грина G в (14.63). Формулу для силы

можно выразить через потенциал посредством равенства (F) = - 'VU.

Представляет интерес расчет потенциала в предельных случаях больших и малых расстояний. На малых расстояниях удерживаем лишь первое слагаемое в скобках,

полагая ехр(-2'ГJR) = 1, откуда получаем

U(R _ О) = - 6~ 2 ~ s: 0:1 (i'ГJ)0:2(i17)d1/'

(14.71)

З21Г ео R

 

 

 

Это потенциал Ван-дер-Ваальса, имеющий место при малых расстояниях R. Потен­

циал зависит от дисперсионных свойств поляризуемости частицы и меняется обратно пропорционально шестой степени расстояния между частицами R.

Чтобы получить предельное выражение для больших R, выполним подстановку U = 'ГJR в (14.70), которая приводит к следующему выражению для потенциала

взаимодействия частиц:

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И = -

~C2 7

J0:1 (icu/R)0:2(icu/R)e-2u [3 + + 5u2 + 2uЗ + tt4 ] (1u.

(14.72)

161Г toR

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Затем, в пределе R _

00, заменим поляризуемость ее постоянным значением а,(О).

После вынесения поляризуемостей из-под знака интеграла получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

U(R _

(0) =

-

п~ 2 0:1(0)~2(0)

Jе- [3 + + 5u2 + 2u,З + 4] (1'/1..

(14.73)

 

 

161Г ео

R

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наконец, используя равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jи

'11

е

- 2ud

n!

Yn~O,

(14.74)

 

 

 

 

 

 

и =

2n +1

о

берем интеграл в (14.73) аналитически, после чего получаем потенциал Казимира­ Полдера в пределе больших расстояний:

 

 

U(R _ 00 )

= _ 2З1iс

0:1 (0)0:2(0)

.

(14.75)

 

 

32

7

 

 

 

641Г ео

R

 

 

Этот результат -

проявление флуктуаций вакуума. Он носит название потенциала

Казимира и был

впервые получен

в 1948 г.

Хендриком Казимиром

[14]. Потен­

циал примечателен тем, что меняется обратно пропорционально седьмой степени

расстояния R между частицами. Таким образом, на больших расстояниях эта сила

420 Гл /4 Взаимодействия, обусловленные флуктуациями

спадает гораздо быстрее, чем на малых. Такое поведение противоположно зависи­

мости плотности электромагнитной энергии от расстояния, которая демонстрирует

более быстрый спад (R- 6 ) вблизи источника.

Потенциал Казимира зависит толь­

ко

от статических

(w = О) поляризуемостей, а

значит, их спектральные свойства

не

имеют значения.

Отметим, что при выводе

потенциала Казимира-Полдера мы

рассмотрели только градиентную силу и пренебрегли влиянием силы рассеяния. Последняя не является консервативной и должна обращаться в нуль, если ча­ стица (частицы) находится в термодинамическом равновесии с вакуумным полем.

Следует подчеркнуть, что потенциал Казимира-Полдера проистекает исключи­

тельно из нулевых флуктуаций и не учитывает флуктуаций тепловых. Обычно при

комнатной температуре силы, обусловленные теплом, по крайней мере на порядок

слабее сил, связанных с флуктуациями вакуума [5].

14.3.2. Электромагнитное трение. Электромагнитные взаимодействия между двумя электрически нейтральными объектами приводят не только к консервативным дисперсионным силам, но и к н,екон,серватuвн,ой силе трения, если два объекта движутся друг относительно друга. Эта сила трения связана только с тепловыми флуктуациями и замедляет движение объекта практически до нуля. Хотя эта сила мала, но она порождает важные следствия для разработки наноэлектромеханических систем (НЭМС) и для различных приложений в квантовой информации. Электромаг­

нитное трение при водит к росту декогерентности в миниатюризированных ловушках,

таких как ионные ловушки и атомные чипы, а также к ограничению добротности

механических резонансов.

Рассмотрим малую электрически нейтральную частицу, такую как атом, моле­

кула, кластер или наноструктура, размеры которой меньше характерных длин волн

л. В этом приближении частицу можно представить поляризуемостью a(w). Пусть

частиц~ расположена в произвольном окружении, которое описывается функцией

Грина G. Предположим, что движение центра масс частицы x(t) задается классиче­

ским уравнением Ланжевена:

"((t - t').!!,x(t')dt' + mШ6х(t) = Fx(t),

(14.76)

dt

где m - масса частицы, "((t) - коэффициент релаксации, проистекающий из теп­

ловых флуктуаций электромагнитного поля, Ша - собственная частота колебаний

частицы, а Р, (t) - стохастическая сила. Отметим, что возвращающая сила mШ6х(t)

добавлена для общности и никак не повлияет на окончательный результат. В состоя­

нии термодинамического равновесия Fx(t) представляет собой стационарный стоха­

стический процесс, среднее по ансамблю которого равно нулю. Спектр мощности силы Sг(w) дается теоремой Винера-Хинчина (ср. (14.16)):

х

 

SF(w) = 2~ f (Fx(T)Fx(O))e'UJT dT,

(14.77)

- 00

 

где w - угловая частота. Далее, в состоянии теплового равновесия SF связана с коэф­

фициентом трения флуктуационно-диссипационной теоремой. Поскольку движение

макроскопической частицы классическое, рассмотрим классический предел, т. е.

kT-:У(w) = nSF(w),

(14.78)

где ;:Y(w) - фурье-образ "((t), определенный только для t > о.

14 3. Флук.mуационно-индуцированные силы

421

Мы подразумеваем, что слагаемое, соответствующее общей силе трения, в равен­ стве (14.76) в момент времени t зависит от скорости частицы в более ранние моменты

времени. Теперь учтем, что время взаимодействия частицы с тепловым резервуаром

короче в сравнении с динамикой частицы, и, следовательно, изменение скорости

частицы за время взаимодействия очень мало. В этом марковском приближении трение не имеет памяти и, таким образом,

ос

 

"10 = f"1 (t )(и.

(14.79)

о

Вычисляя (14.78) при ш = О и используя (14.79), находим, что постоянная релаксации

связана со спектром мощности следующим равенством:

(14.80)

Последнее равенство задает связь между линейным коэффициентом релаксации

скорости и спектром мощности. Чтобы рассчитать "10, следует найти спектр силы, который, в свою очередь, определяется электромагнитными полями посредством

флуктуаций токов в окружающей среде и флуктуаций диполя (ср (14.54».

Применяя теорему Винера-Хинчина (14.77), преобразование Фурье дипольной

силы (14.54) и считая флуктуации стационарными, получаем

(F;(ш')Fх(ш)) = SF(ш)8(ш - ш') =

3

,

= L ([(д;(fI)(ш') + Д;(iП)(ш'))

* (:хЕ;(fl)(ш') + :а;~;(iI1)(ш'))] х

•.j=!

Х [(Д~fl)(ш) + дiiП)(ш)) * (:хЕ}fl)(ш) + :'т.Е,~iП)(ш))]). (14.81)

где * означает свертку. Каждое аддитивное слагаемое в (F,*(ш')F., (ш')) представ­

ляет собой корреляционную функцию четвертого порядка, заданную в частотной

области. Поскольку флуктуационно-диссипационная теорема включает корреляци­

онные функции второго порядка и не включают корреляционных функций четвер­ того порядка, найти решение в рамках квазиравновесной статистической механики

не представляется возможным. Однако выход есть: тепловые флуктуации можно мыслить как суперпозицию большого числа излучающих осцилляторов с широким

спектром, и в этом случае можно применить центральную предельную теорему.

Благодаря широкому спектру, то же справедливо для флуктуаций дипольных мо­

ментов. Стохастические процессы со статистикой Гаусса обладают тем свойством.

что корреляционную функцию четвертого порядка можно выразить суммой по­ парных произведений корреляционных функций второго порядка. Таким образом,

равенство (14.81) можно рассчитать, зная КФ тепловых электромагнитных полей и КФ электрических дипольных моментов второго порядка. В состоянии теплового

равновесия эти корреляционные функции даются флуктуационно-диссипационной

теоремой (14.19) и (14.32). Таким образом, у нас есть все ингредиенты для рас­ чета коэффициента релаксации "10 в равенстве (14.80). Заменим индуцированное

слагаемое в (14.81) флуктуационным слагаемым с помощью линейных соотношений (14.55) и (14.56). Затем применим флуктуационно-диссипационные теоремы (14.19)

и (14.32). Наконец, используем соотношение (14.80), посредством которого найдем

спектр постоянной релаксации "10. Четыре аддитивных слагаемых в (14.81) приВО-

422 Гл 14 Взаимодействия, обусловленные флуктуациями

дят К четырем аддитивным постоянным релаксации, две из которых пренебрежи-

мо малы.

Можно показать, что трение исчезает при Т ---+ о, это означает, что трение связано только с тепловыми флуктуациями, а не с квантовыми нулевыми флуктуациями.

Фактически, этот результат также следует из требования инвариантности нулевых

флуктуаций относительно преобразований Лоренца [15]. Далее, другой примечатель­

ный результат состоит в том, что трение имеет место даже в пустом пространстве при

конечной температуре. Таким образом, движущийся в пустом пространстве объект в конце концов придет в состояние покоя. В приближении свободного пространства

получаем

 

/1: .)

х

2~2

х

/'0 =

f!<k((А))I2"Л7((А),T)dы+

fIm[a((A))](A)511((A), T)dы, (14.82)

 

187Г' (' cokT

 

37Г с cokT

 

 

 

о

 

о

где

 

 

 

(14.83)

 

 

 

 

Первое слагаемое в (14.82) согласуется с результатом Боера (Воуег) [15], тогда как

второе получено независимо в [16] и [17].

В работе [17] электромагнитное трение проанализировано для особого случая

поляризуемой сферической частицы радиуса а, расположенной вблизи полубеско­

нечного полупространства (подложка) с комплексной диэлектрической проницаемо­

стью Е2«(А)). Аналогичные исследования представлены в [18] и [19]. Предполагается,

что частица движется параллельно поверхности вдоль оси х на высоте Zo (см.

рис. 14.8). Эти исследования выявили не только сильную зависимость постоянной

с\ = 1

Рис 148 Частица движется в вакууме параллельно плоской подложке, диэлектрическая

проницаемость которой равна C2(W)

релаксации от расстояния, но также и сильную зависимость от материальных свойств

частицы и подложки. В качестве примера приведем рис. 14.9, на котором показана

нормированная спектральная плотность коэффициента релаксации как функция уг­

ловой частоты (А) при температурах Т = 3 К, 30 К, 300 К. Коэффициент релаксации

/'0 получается путем интегрирования кривых по всем частотам, т. е. 1'0 численно

равен площади под спектральными кривыми. На рисунке показаны результаты для

двух различных конфигураций вещества: (а) образец и частица сделаны из се­ ребра и (6) образец и частица сделаны из стекла. Явно видно, что спектральный

диапазон /' гораздо короче на

рис. 14.9, а, чем

на рис.

14.9,6, амплитуда

гораздо

ниже. Таким образом, гораздо

более короткий

спектр

диэлектрической

системы

приводит к значительно большей амплитуде релаксации в сравнении с металлической

системой. Результаты численного интегрирования приведены в табл. 14.1. Важное

следствие заключается в том, что коэффициент релаксации в значительной степени

определяется вешеством полубесконечной подложки (см. [17]). Свойства же частицы