Новотный и Хехт, Основы нанооптики
.pdf294 |
Гл 9 Квантовые излучатели |
|
где N/V - |
объемная концентрация абсорбентов, а величина (P(z)) |
связана с а |
и /(;:;) согласно (9.3) В пределе при dz -+ О получаем |
|
|
|
/(z) = /oe-(N/V)tТz, |
(9.6) |
где /0 = /(::: = О) (закон Ламберта-Бэра); а имеет размерность площади в расчете
на один фотон, чем и объясняется ее название - сечение поглощения. Согласно равенству (9.6) сечение поглощения можно определить с помощью ансамбля измере
ний, т. е. измерением ослабления лазерного луча при прохождении его через образец с разбавленной концентрацией абсорбентов.
Чаще всего поглощение определяется через молярный коэффициент экстинк
ции .5"(,\): |
|
(9.7) |
/(z,,\) = |
/olO-еЩ[AI]z, |
|
где [М] - концентрация абсорбентов в моль/литр, z - |
толщина поглощающего слоя, |
|
измеряемого в сантиметрах. |
|
|
Легко видеть, что сечение может быть рассчитано из коэффициента экстинкции
по формуле а = 100011110e/NA , где NA - число Авогадро. Типичные величины е,
получаемые в измерениях, например, для хороших лазеров на красителях при ком
натной температуре составляют Пfимерно 200000 л . моль-1 CM- 1, что соответствует сечению поглощения 8· 10-16 см , т. е. кругу радиуса 0,16 нм. Эта величина грубо
совпадает с геометрической площадью ароматических или сопряженных систем ма лых молекул красителей. Например, для квантовых полупроводниковых точек сече ние поглощения соответственно выше благодаря большему геометрическому размеру. Это совпадение подсказывает, что каждый фотон, проходя молекулу в пределах площади а, поглощается молекулой.
Разумеется, это очень упрощенная картина, которая просто не может быть
верной с точки зрения квантовой механики, в силу принципа неопределенности,
запрещающего локализацию фотона. Итак, каково физическое содержание сечения
поглощения?
С чисто классической точки зрения поле возбуждающей плоской волны моди
фицируется полем, рассеянным на молекуле, которая представляет собой точечный диполь. Излучение диполя и возбуждающая плоская волна интерферируют, порож дая в результате поток энергии в пределах площади а, направленный к диполю.
На рис 9.8 показаны линии поля усредненного по времени вектора Пойнтинга для
идеального диполя, возбужденного приходящей плоской волной. Диполь описыва ется моделью релаксирующего осциллятора, возбуждаемого электрическим полем
приходящей плоской волны. Релаксация возникает вследствие реакции излучения
(см. (8.87». Резонансный характер взаимодействия приводит к типичному фазово
му соотношению между вынуждающим полем и осцилляторным откликом диполя,
которое меняется от «в фазе» для частот, значительно меньших резонансной, до
«в противофазе» для частот, существенно превышающих резонансную. В точном ре
зонансе между возбуждением и откликом осциллятора наблюдается фазовый сдвиг,
равный 1г/2. Ширина на половине высоты резонансной кривой дается коэффициентом
релаксации. Заметим, что поток энергии модифицируется в окрестности поглотителя, отклоняясь к частице, что приводит к росту ее видимой площади за пределы геомет рических размеров. Также отметим спад расширения площади вследствие отстройки от резонанса за счет конечной ширины линии.
Спектральная форма сечения поглощения a(w) имеет форму лоренцевского кон
тура, ширина которого определяется степенью дефазировки между возбуждением
и излучением (см. [1], с.780). При криогенных температурах можно установить почти полную когерентность между возбуждением и излучением. В этих услови
ях пик сечения поглощения изолированной квантовой системы достигает предела,
9.4 Однофотонное излучение трехуровневой системы |
297 |
|
1r-~------------------------ |
, |
|
0.8
н 0.6
~
;:z- 0..1
0.2
2 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
I/Is
Рис 9 10 Насыщение скорости излучения одиночной молекулы как функция интенсивности
накачки
составляет 15 %, можно ожидать, что скорость счета фотонов составит в грубом
приближении 106 фотонов/с в условиях насыщения. Обычно умеренная мощность
накачки 1 мкВт, сфокусированная в точку 250 нм в диаметре, например в кон фокальном микроскопе или микроскопе ближнего поля (см. гл. 5), достаточна для
насыщения молекулы.
9.4.2. Нестационарный случай. Разобравшись в стационарном излучении уединенного излучателя, характеризующегося трехуровневой системой, можно про анализировать зависимость населенностей от времени, что прольет свет на излу
чательные свойства одиночного источника. Причем мы покажем, что испущенный
свет демонстрирует строго неклассическое поведение, а это означает, что свет уеди
ненного излучателя нельзя моделировать непрерывным электромагнитным полем.
Напротив, для корректного описания необходимо прибегнуть к квантованным полям, что, однако, не противоречит результатам, полученным в гл. 8, в которой одиночный
излучатель моделировался классическим диполем. Усреднение по многим фотонам
естественно приводит к классическому описанию.
Испущенный источником свет можно охарактеризовать исходя из того, каким об
разом этот источник флуктуирует. Более глубокое основание для этого представляет флуктуационно-диссипационная теорема, которая, как будет показано в гл. 14, связа
на с флуктуациями источника, характеризующегося автокорреляционной функцией
его спектра излучения.
Нормированная автокорреляционная функция второго порядка определяется ра-
венством |
(2)(т) = (I(t)I(t+r») |
|
|
|
(9.15) |
||
9 |
(I(t»)2' |
||
|
где скобки () означают усреднение по времени. Функция g(2)(T) показывает, как
вероятность измерения интенсивности 1 в момент времени t + т зависит от значения
интенсивности в момент времени t. На языке событий регистрации одиночных
фотонов g(2)(T) есть вероятность регистрации фотона в момент времени t, нормиро
ванная на среднюю скорость счета фотонов. Можно показать [4], что g(2)(r) должна
удовлетворять определенным соотношениям, если интенсивность 1 - классическая величина. Вот эти соотношения:
(9.16)
298 |
Гл 9 Квантовые излучатели |
На рис. 9.11,а показана результирующая типичная форма у(2)(т) в классическом
пределе. Она характеризуется «группировками» интенсивности света. 1) Пока непре
рывная амплитуда поля флуктуирует около нуля, соответствующие флуктуации
интенсивности характеризуются «группировками», разделенными нулями интенсив
ности. Этот эффект показан рис. 9.11, б.
а |
|
|
|
|
I |
|
|
|
I |
|
|
1 |
I |
|
|
Т--------------------- |
|
||
|
I |
|
|
|
I |
|
|
|
I |
|
|
|
I |
|
|
|
I |
|
|
0' |
I |
' |
|
Те |
|||
|
т |
б
Рис 9 11 Характерная форма автокорреляционной функции второго порядка, отвечающая классическому свету, демонстрирует группирующее поведение на коротких временах (а) Группирующее поведение обусловлено статистическими флуктуациями классической амплиту ды (6), которые приводят к флуктуациям интенсивности, разделенным нулями интенсивности
В то время как «группировка» характерна для классического источника света,
уединенный квантовый излучатель характеризуется «антигруппировкой»; это озна чает, что последовательно испущенные фотоны разделены некоторым характерным
конечным интервалом времени. Нетрудно понять, что, испустив в некоторый момент
фотон, молекула должна снова перейти в возбужденное состояние, для чего тре
буется время Ao~1. Как следствие, |
два последовательных фотона |
будут разделены |
в среднем конечным промежутком |
времени, равным (k12 + kг)-I. |
Соответствующая |
автокорреляционная функция интенсивности имеет провал при т = О, и это озна чает, что вероятность одновременного испускания двух фотонов исчезающе мала. Поскольку этот провал нарушает условия (9.16), испущенный уединенной квантовой системой фотон называют «неклассическим» светом. Генерация неклассического све
та особо важна для задач квантовой информации.
Мы можем рассчитать 9(2)(т) для трехуровневой системы, используя соотно
шение (9.15) при t = О, что не ограничивает стационарности процесса. Пусть при t = О приготовлен излучатель в основном состоянии. 2) Вероятность детектирования
следующего фотона в момент времени т равна ",kгP2(T), где", - эффективность регистрации системы, Р2(Т) - зависящая от времени населенность второго уровня,
1) |
В оригинале используется также выражение bunch of photons |
По аналогии с термином |
«электронный банч'> - можно говорить о «фотонном банче». - При,м,еч. пер |
||
2) |
Предположим, что испущенный квантовой системой фотон |
только что зарегистриро |
ван |
- При,м,еч авт |
|
300 |
Гл 9 Квантовые излучатели |
т. е. триплетная населенность и скорости релаксации весьма малы по сравнению
с соответствующими синглетными скоростями. Применив эти соотношения, можно
вывести приближенные выражения для параметров 81, 82 И А2/Аз:
(9.25)
На рис. 9.12 показаны графики g(2)(T) (см. (9.23» для трех разных мощностей
накачки, т. е. для разных k 12 , в логарифмическом масштабе по шкале времени, что позволяет охватить широкий временной масштаб в диапазоне от субнаносекунд до
сотен микросекунд. Общая черта этих кривых состоит в том, что корреляционная функция интенсивности стремится к нулю при Т ~ О Это антигруппировочное свойство проистекает из первого слагаемого в (9.23). При малых интенсивностях на
качки благодаря скорости распада возбужденного состояния доминирует постоянная
релаксации 81.
Антигруппировка - яркий индикатор неклассического света, поскольку она про тиворечит условиям (9.16), установленным для классического поля. Физическое
основание для возникновения антигруппировки - конечное среднее время между
двумя последовательными фотонами, испущенными квантовой системой (см. врезку
на рис. 9 12). На более длительных временах поведение у(2) (Т) характеризуется
мерцанием, которое возникает благодаря переходам в триплетное состояние. Мерца
ние порождает группировку фотонов на промежуточных временах, как показано на врезке (см. рис. 9.12).
|
k21 |
= 2 х 108 с-I |
2 |
k2з = 500000 с-1 |
|
kЗ1 |
= зоооос-I |
|
L.5
0.5
|
10-7 |
10-5 |
|
|
|
|
Т [с] |
|
|
Рис |
9 12 Кривые автокорреляции интенсивности |
трехуровневой системы, построенной при |
||
различных скоростях возбуждения kl2 = 5· 106 с-I |
(сплошная линия), 10· 106 с-I (пунктир |
|||
ная |
линия) и 20· 106 с- I (штрих-пунктирная |
линия), с помощью равенств |
(9.23) и (925). |
|
Остальные параметры даются равенствами k21 |
= 2· 108 c- I , k2З = 5· 106 c- I , |
kЗ1 = 3 . 104 с-I |
||
Антигруппировка наблюдается на малых временах, тогда как группировка происходит на
промежуточных временах На врезке показана картина поступления сгустков фотонов, раз деленных темными интервалами, что приводит к «антигруппировочной~ подписи, и фотоны, идущие во времени вразрядку, соответствующие «Группировочной~ подписи
9 5. Отделыtые молекулы как зонды для локализованных полей |
301 |
Статистику фотонов можно исследовать экспериментально путем анализа времен
ной динамики интенсивности излучения. Однако чтобы определить интенсивность,
необходимо поместить фотоны в предопределенные временные интервалы. В качестве альтернативы можно использовать схему, которая включает в себя два детектора
для определения временной задержки между последовательно приходящими фото
нами (межфотонное время) [20]. В первом методе g(2)(7) легко рассчитывается из
временной диаграммы, однако при этом можно достичь только тех временных мас
штабов, которые превышают выбранную длительность временного интервала (обычно порядка нескольких мкс). С другой стороны, временное разрешение стартстопной
схемы ограничено только откликом детектора [21]. Детальное обсуждение вопроса можно найти в [22] и приведенных там ссылках. На рис. 9.13 показаны авто
корреляционные функции интенсивности молекулы терилена (см. врезку), внедрен
ной в кристаллическую матрицу р-терфенила, измеренные в стартстопной схеме.
Хорошо видны антигруппировка на малых временах и группировка на больших
временах.
1.5
11----- |
fIU!.------- |
=------ |
I |
10-7
т [с]
Рис 913. Полученная экспериментально автокорреляционная функция второго порядка .(/(т)
одиночной молекулы (терилен в р-терфениле) Исследовано нруппирующее,> и «антигруппи рующее~ поведения Первое имеет место на малых временах, тогда как последнее - на про-
межуточных, при которых становится значительным отклонение от триплетного состояния
Способность одноквантовой системы излучать только один фотон в данный
момент времени представляет значительный интерес для квантовой криптографии, в которой кубит представлен состоянием поляризации отдельного фотона. Известная
теорема о невозможности клонирования состояния в совокупности с квантово-меха
нической теоремой об измерении делает невозможным перехват фотонов из потока
отдельных фотонов, без того чтобы пропущенные фотоны были замечены Однофо
тонные источники можно реализовать, возбуждая двухуровневые системы импульс
ным лазерным излучением [23]. Можно показать, что вероятность испускания двух
фотонов на один возбуждающий импульс чрезвычайно мала для импульсов, коротких
по сравнению с временем жизни возбужденного состояния системы (см. задачу 9.4).
9.5. Отдельные молекулы как зонды для локализованных полей
Кроме интересных статистических свойств, флуоресцентные молекулы обладают еще ОДНОЙособенностью: они могут служить в качестве локального зонда для изу чения распределений электрического поля. Для слабых интенсивностей возбуждения
302 Гл 9. Квантовые излучатели
(I «1s) скорость флуоресценции (R) практически не зависит от времени жизни возбужденного уровня и, таким образом, принимает вид (см. (9.3»
R= 2~Im(a)lnlL·EI2. |
(9.26) |
Будем полагать, что поле локализованных возбуждений не требует привлечения
дипольного приближения, т. е. что поле Е является почти постоянным в пределах размеров квантовой системы (на масштабах длин порядка 1 нм). Для изменяющихся
с большей скоростью полей необходимо учитывать мультипольные переходы более
высокого порядка.
Собственный дипольный момент молекул с низкой симметрией, как правило, не
зависит от структуры молекулы. Кроме того, если локальное окружение молекулы неизменно, то скорость возбуждения R отвечает непосредственно скорости флуорес ценции. Таким образом, контролируя R посредством распределения электрического
поля Е, поточечно сканируя жесткие молекулы, возможно составить картину сило
вых линий Inll . E12 . Флуоресцентные молекулы можно закрепить в пространстве,
помещая их, например, на тонкую прозрачную полимерную пленку, находящуюся на
стеклянной подложке. Такие пленки создаются помещением в центрифугу раствора
толуэна, содержащего в себе полимер, например полиметилметакрилат (ПММА),
и краситель, например Oil, в низких концентрациях при толщине окружающего
вещества 20 нм [24]. Для того чтобы избежать кластеризации молекул, плотность
окружающего красителя в пленке должна быть менее l/мкм2. Молекулы будут
распределяться случайным образом как по глубине, так и по ориентации дипольных
моментов. На рис. 9.14 показана стандартная экспериментальная установка для изме
рения флуоресценции отдельных молекул, возбуждаемой различными видами полей, т. е. либо сфокусированным лазерным излучением, либо ближним полем с использо ванием локального зонда. В последнем случае объект может самовозбуждаться, как при использовании апертурного зонда, или может возбуждаться извне при облучении
лазерным пучком
3
IЛазерI
Рис. 9.14. Схема экспериментальной установки по измерению ближних полей с использовани
ем одиночной флуоресцентной молекулы при различных возможных геометриях облучения (1),
(2) и (3)