Новотный и Хехт, Основы нанооптики

Используя определение скалярной функции Грина СО (см. (2.73)), а также (2.75),

получаем

(104)

Заметим, что векторный потенциал поляризован в направлении дипольного момента

Теперь пустим в ход определенное в разд. 2.12.1 тождество Вейля и перепишем

векторный потенциал:

-х

Используя равенство Е = iw [1 + k.2V'V'.] А, непосредственно получаем электри­

ческое поле. Магнитное поле рассчитывается аналогичным образом с помощью

равенства Н = (МоМI )-1 V' Х А. Сравнение полученного в результате выражения для

Е с равенством (10.1) позволяет определить диадную функцию Грина в виде

ао(г,го) = 8:2 ffх Me,[k,(x-:ro)+ky(y-yo)+k'llz-zol](lk,(lk",

-:х;

(106)

Некоторые слагаемые в матрице М имеют два различных знака, что определяется

модулем Iz - zol. Верхний знак подставляется при z > zo, нижний - при;; < ':;0.

Равенство (10.6) позволяет выразить поле произвольно ориентированного диполя

в терминах плоских и эванесцентных волн.

10.3. Разложение диадной функции Грина

Чтобы применить френел!.вские коэффициенты отражения и прохождения к полю

диполя, полезно разделить G на в-поляризованную и р-поляризованную части Это

+-+

разложение можно совершить, разделив матрицу М на два слагаемых:

(10.7)

где учтено, что ориентированный перпендикулярно плоской границе раздела

на рис. 10.1 диполь испускает чисто р-поляризованное излучение; это следует из

того факта, что у магнитного поля электрического диполя отлична от нуля лишь

азимутальная компонента НФ (см. (8.64», параллельная границе раздела, если

J1 = JLnz · Сходным образом магнитный диполь, ориентированный перпендикулярно

границе раздела, создает чисто в-поляризованное поле. в связи с вышесказанным

определим следующие потенциалы 1):

и свяжем с ними электрическое и магнитное поля:

где А/' и А" - чисто р-поляризованное и в-поляризованное поля соответственно.

Разложим теперь потенциалы АС и Ah по угловому спектру:

-ос

и подставим введенные таким образом Ae·h(kx , ky ), (10.8) и (10.9) в (10.10). Полу­

ченное выражение для электрического поля сравним с полем, созданным диадной

функцией Грина, пол~ченн~й в предыдущем разделе. Сравнение позволяет опреде­

лить спектры Фурье А/' и Ah как

где 11 = {JI'1, IL!J' JL;J - д!'поль!!.ый момент, заданный в декартовой системе координат.

Наконец, подставляя АЕ' и Ah В (10.10) и используя определение (10.1), можно

определить и р-поляризованные слагаемые диадной функции Грина. При этом

,'1- ....

(10.15)

10.4. Диадная функция Грина для отраженного

и проmедmего полей

Предположим, что диполь, первичное поле которого представлено функцией Go, расположен над плоской границей раздела сред, как показано на рис. 10.1. Введем

координатную систему, начало которой расположим на верхней границе раздела. Пусть координата диполя Zo по оси Oz задает высоту диполя над слоистой средой.

1) Заметим, что Ае имеет размерность векторного потенциала, Аh - магнитный аналог

векторного потенциала - При.меч авт

Для расчета отраженного поля диполя умножим каждую плоскую волну в G на

соответствующий обобщенный коэффициент отражения Френеля 1" или ".1'. Эти

коэффициенты легко выразить как функции (kx • ky ) (см. (2.49». и для отраженного

поля получим новую диадную функцию Грина:

Gr~r(r.ro) = 8:2 ffос [M:ef + M:ef] ei [k,(x-;1"o)+k y (y-Yo)+k=1 (z+zo)](U', rlk!l'

-ос

(10.16)

Теперь электрическое поле в верхнем полупространстве можно рассчитать посред­

ством суммы функций Грина первичного поля и функции Грина отраженного поля:

(10 17)

......

Сумму Go(r, ro) и Grer(r, ro) можно интерпретировать как новую функцию Грина

верхнего полупространства.

Прошедшее поле можно выразить с помощью коэффициентов прохождения Фре­ неля tS и tP (см. (2.49). (2.50». Для нижнего полупространства получаем

-ос

(10.18)

Параметр 8 имеет смысл толщины слоистой поверхности. В случае единственной гра­

ницы раздела 8 = О. Электрическое поле в нижнем полупространстве рассчитывается

следующим образом:

Функцию G tr можно рассматривать в качестве новой функции Грина для нижнего

полупространства.

Для расчета поля внутри слоистой структуры требуется явно задать граничные

условия. Для структуры с двумя границами раздела (плоский слой на поверхности

плоской подложки) эта задача была решена в [2]; явные выражения для компонент

поля можно найти в Приложении Г. Результаты. которые будут здесь получены. не

требуют знания полей внутри каждого отдельного слоя. Однако для расчета полей в верхнем и нижнем полупространствах нужно знать обобщенные френелевские ко-

эффициенты отражения и прохождения. В случае единственной границы раздела эти

коэффициенты даются равенствами (2.49) и (2.50), а обобщение на случай многих границ раздела можно найти в [14]. В качестве примера приведем коэффициенты

отражения и преломления плоского слоя толщины d:

т~~Э) + T~~э) exp(2ikzz d)

где I'~:-; и t~)..;Ч - коэффициенты отражения и прохождения через границу раздела l-ГО

и .J-ro слоев.

Чтобы рассчитать поля в верхнем и нижнем полупространствах, полезно пе­

реписать выражения для полей в цилиндрических координатах. Используя ма­

тематические тождества (3.57), можно выразить поля с помощью единственного интеграла по k(!. Магнитное поле выводится с помощью уравнения Максвелла

ILLl/-LО/J'IН = V х Е, которое сразу приводит к результату

Здесь оператор ротора действует отдельно на каждый вектор-столбец диадной функ­

ции Грина,

В качестве примера приведем рис. 10.3. на котором показано распределение поля

диполя, расположенного в малой окрестности плоского волновода. Диполь ориенти­

рован под углом () = 600 к плоскости (х, z), т. е. /1 = /l{ JЗ /2, О, 1/2}, и излучает

преимущественно в нижележащую, оптически более плотную среду. Ближнее поле

диполя возбуждает в волноводе две основные моды: ТЕо и ТМо.

t 0.5. Скорость спонтанной релаксации вблизи плоских гарниц

Нормированная скорость рассеяния энергии излучающего диполя Р/ Ро опре­

делена равенством (8.80). Обычно в излучение уходит не вся энергия диполя,

поскольку она может быть связана с другими модами, существование которых обес­

печивается слоистой структурой (фононы, тепло, поверхностные волны, волноводные моды и т. д.) Для некогерентно релаксирующей квантовой системы с внутренним

квантовым выходом Ч, = 1, нормированная скорость спонтанной релаксации 1'/''(0

совпадает с Р/РО (см. (8.137» и требует вычисления рассеянного поля Es(ro) в точке

расположения диполя ro. В рассматриваемой ситуации рассеянное поле соответствует

отраженному полю E ref , которое в точке расположения диполя дается равенством

(10.23)

Функция Грина G ref определяется равенством (10.16). Для удобства аналитическо­

го 1) взятия интеграла по Ф удобно использовать следующую подстановку:

') Обратите внимание на отличие этого равенства от равенства (346), которое получено

преобразованием плоской поверхности в сферическую. Здесь интегрирование ведется по плос­

кости - При.меч авm

отличаются по уровню в 2 раза

.....

Вычисленная в точке расположения диполя, Grel принимает диагональную форму:

Присовокупив К полученному результату равенства (10.23) и (8.80), напрямую опре­

деляем нормированную CKOP~TЬ рассеяния энергии. Для удобства воспользуемся

подстановками 8 = kp /k 1 И 1 - 82 = kz ./k1 и, используя для краткости запись

8 z = (1 - 82)1/2, получим

(1026)

Здесь коэффициенты отражения суть функции переменной В, т. е. rS(s) и 1'P(S), а ди­ польный момент записан в терминах его декартовых компонент как ~ = (/1." JLIJ' JLz).

Область интегрирования [О ... 00] разделим на два интервала: [О ... 1] и [1 ... ')с]. Первый интервал связан с плоскими волнами углового спектра, т. е. k" = [О ... k 1], в то

время как второй интерваJl соответствует спектру эванесцентных BOJlH kp = [k, ... ос].

Таким образом, ДИПОJlЬ взаимодействует со своими собственными ПJlОСКИМИ BOJlHa-

ми, отраженными от границы раздеJlа, и с отраженными эванесцентными ВОJlнами.

ЭкспоненциаJlЬНЫЙ множитеJlЬ в подынтеграJlЬНОМ выражении предстаВJlяет собой

спадающую функцию ДJlЯ эванесцентных BOJlH, тогда как ДJlЯ ПJlОСКИХ BOJlH он

ЯВJlяется ОСЦИJlJlИРУЮЩИМ.

CorJlaCHO (8.138) нормированная скорость рассеяния энергии совпадает со скоро­

стью спонтанной реJlаксации двухуровневой квантовой системы, которая СJlУЖИТ мо­

Hицeй раздеJlа (см. рис. 10.4). Нормировка То соответствует ситуации, когда MOJleKYJla

раСПОJlожена на стеКJlЯННОЙ поверхности, а вторая граница отсутствует (h --+ ас).

h

КОJlебания явJlяются СJlедствием интерференции между распространяющимся по­

JleM (ПJlОСКИМИ ВОJlнами) MOJleKYJlbl и ПОJlем, отраженным от БJlижней границы. Как

ожидается, КОJlебания БОJlее выражены ДJlЯ метаJlJlической поверхности и горизон­

таJlЬНОЙ ориентации ДИПОJlЯ. На MaJlblX высотах }~ ДJlЯ всех возможных конфигу­

раций наБJlюдается сокращение времени жизни MOJleKYJlbl. Это уменьшение вызва­

но ростом скорости беЗЫЗJlучатеJlЬНОЙ реJlаксации, опосредованным затухающими

MOJleKYJlbI термаJlИЗУЮТСЯ ИJlИ частично конвертируются в ПОJlЯ, распространяющиеся

за критическим угJlOM в верхнем ПОJlупространстве [15]. в СJlучае метаJlJlической поверхности время жизни стремится к НУJlЮ при h --+ О [16]. В этом СJlучае MOJleKYJla

передает энергию возбуждения MeTaJlJlY, видимого ИЗJlучения не возникает и, как

СJlедствие, происходит тушение фJlуоресценции.

На рис. 10.5, б, г изображены времена жизни на характерных ДJlЯ экспериментов в БJlижнем ПОJlе расстояниях h < 20 нм. В СJlучае ДИЭJlектрической поверхности

время жизни ДJlЯ вертикаJlЬНО ориентированного ДИПОJlЯ всегда БОJlьше, чем ДJlЯ

ДИПОJlЯ с горизонтаJlЬНОЙ ориентацией, когда две кривые пересекаются. Время жизни

возбужденной MOJleKYJlbl, находящейся на расстоянии, БОJlьшем, чем h ::::; 8,3 нм,

под слоем аJlЮМИНИЯ, выше, чем в СJlучае ДИЭJlектрической поверхности, но ниже

на меньших высотах Эта перемена времени жизни может быть перенесена в экс­

периментаJlЬНУЮ ситуацию в апертурной сканирующей БJlижнеПОJlевой оптической

микроскопии: MOJleKYJla при центраJlЬНОМ ПОJlожении оптического зонда накрывается

его ДИЭJlектрической сердцевиной, которую приБJlиженно можно считать ПJlОСКОЙ

ДИЭJlектрической границей. В СJlучае раСПОJlожения под метаJlJlическим покрытием

бесконечном расстоянии. Далее. существование приближенных асимптотических вы­ ражений находится под вопросом из-за закона сохранения энергии: распространяю­

щиеся вдоль слоистой структуры поля, т. е. поверхностные волны, должны затухать

как ,.-1/2. Область между зонами т-I и r- I / 2 должна демонстрировать переходное

поведение. Таким образом, можно заключить, что не существует приближенного

асимптотического выражения для дальнего поля в случае стратифицированной сре­

ды, поскольку спад поля зависит от направления распространения. Тем не менее

можно получить приблизительное выражение для дальнего поля, если исключить из расчета поперечное направление распространения, т. е. не рассматривать области, очень близкие к слоям.

Одно из преимуществ использования спектрального волнового представления --

простота вывода дальнего поля. В разд. 3.4 мы узнали, что дальнее поле Ех,

наблюдающееся в направлении безразмерного единичного вектора

Это равенство требует, чтобы мы выразили волновой вектор k через единичный

вектор s. Поскольку оптические свойства верхнего и нижнего полупространств

различны, используем следующее определение:

!!оле Е.! верхнем и нижнем полупространствах определяется функциями Грина Go,

Gr~r и G tr • которые уже записаны в форме углового спектра (см. (10.6), (10 16)

и (10.18». Мы можем установить асимптотические формы различных функций Грина в дальней зоне с помощью (10.28). Все что нужно сделать -- это определить про­ странственный спектр функций Грина и провести ряд алгебраических вычислений. Полученные в итоге выражения даются в Приложении Г.

Чтобы получить простое представление дальнего поля, расположим начало коор­

динат на поверхность верхнего слоя так, чтобы диполь располагался на оси OZ, т. е.

Далее будем описывать поле в сферической системе координат Е = {Ег, Ее, Еф}. при

соответственно. Используя индекс J Е [1, n], чтобы различать верхнее и нижнее

полупространства, дальнее поле можно представить следующим образом:

Е=[ в,(J ]=~eXP(ZkJr) [[J.tХСОSФ+J.tУН~IlФ]СО~Оф)2)-J.tзZ~iНОФУ)], (10.32)