Новотный и Хехт, Основы нанооптики
.pdf
11.2 Оптические м.икрорезонаторы |
343 |
ды представлены вертикальными линиями, высота которых указывает добротность в логарифмическом масштабе. Сплошные линии соответствуют ТЕ-модам, штрихо вые - ТМ-модам. Когда все [-моды построены на одной оси, формируется густая
гребенка мод. Далее, поскольку азимутальные моды (число т) вырождены, каж дая l-мода состоит из множества субмод. Вырождение снимается геометрической
асимметрией или несовершенством материала, что приводит даже к большим часто
там мод. |
|
Расчет величины Q относится только к потерям на |
излучение. Для микросфер |
с диаметром а > 500 мкм величина Q должна превышать 1020, однако наибольшие |
|
измеренные значения Q составили величину из порядка |
1010, что указывает на то, |
что добротность ограничивают другие факторы, такие как шероховатость поверхно
сти, ее загрязнение или деформации. Учесть эти факторы можно, определив полную
добротность конкретного микрорезонатора как
_1__ J.- + _1_ |
(11.38) |
Qtot - Q Quth., |
' |
где Q - радиационно ограниченная расчетная добротность, а Q"lhcr относится ко всем другим вкладам в добротность. Обычно величиной Q можно пренебречь в сравнении с Qolheг. Вблизи резонанса с угловой частотой ""о электрическое поле имеет вид
Е(t) = Еоехр [ (i""o - 2~~ot) t] , |
(11.39) |
и плотность запасенной энергии принимает форму лоренцевской кривой:
~V«I("") = YJ~, |
~",(YJO) |
.)' |
(11.40) |
4Qiot (У; - |
YJO) + (YJo/2Qtot)- |
|
|
Структура мод микросферы обусловливает дискретную фотонную плотность
состояний р, как качественно показано на рис. 11.9. Величина (J зависит от
p(YJ)
- - -
Рис 11 9 Фотонная плотность состояний микросферы (сплошная линия) и свободного про странства (штриховая линия) В микросфере вся энергия сконцентрирована в узких частотных
окнах отдельных резонансных мод
положения диполя относительно микросферы и ориентации дипольного перехода (см. разд. 8.4.3) Эффективный перенос энергии между молекулами и другими
квантовыми системами может быть совершен в узких частотных диапазонах от
дельных резонансных мод. Время жизни возбужденного состояния молекулы сильно
сокращается, если частоты ее излучения совпадают с частотой резонансной моды
С другой стороны, время жизни может быть радикально продлено, если частота
излучения находится между частотами двух мод. Если полоса частот излучения
молекулы охватывает несколько собственных частот, спектр флуоресценции будет
344 |
Гл. JJ. Фотонные кристаллы и резонаторы |
состоять из неСКОJ1ЬКИХ J1ИНИЙ. То же справеДJ1ИВО ДJ1Я спектра ПОГJ10щения. Таким образом, спектры ИЗJ1учения и ПОГJ10щения в свободном пространстве предстаВJ1ены
дискретным спектром мод микрорезонатора.
ПОСКОJ1ЬКУ перенос энергии между МОJ1еКУJ1ами зависит от перекрытия спектров ИЗJ1учения и ПОГJ10щения (см. разд. 8.6.2), на первый ВЗГJ1ЯД можно ожидать, что
эффективность переноса энергии в микрорезонаторе ИJ1И вБJ1ИЗИ него снижается,
потому что перекрытие диапазонов, связанное с узкими J1ИНИЯМИ мод, радикаJ1ЬНО
снижено в сравнении со СJ1учаем свободного пространства. Однако ДJ1Я высокодоб
ротных резонаторов такого эффекта не наБJ1юдается, ПОСКОJ1ЬКУ ПJ10ТНОСТЬ состояний
на частоте резонансной моды так высока, что интеграJ1 перекрытия становится
гораздо БОJ1ьше, чем в свободном пространстве, несмотря на БОJ1ее узкую ПОJ10СУ частот. Арнольд с сотрудниками показаJ1И, что перенос энергии в микросфере может
быть на несколько порядков эффективнее, чем в свободном пространстве [8J, это
делает микросферы многообещающими кандидатами на роль переносчика энергии
на даJ1ьние расстояния. Микросферы ИСПОJ1ЬЗУЮТСЯ в таких ПРИJ10жениях, как био
сенсоры, оптические переКJ1ючатеJ1И и КЭД-резонаторы. Уже в БJ1ижайшее время можно ожидать ПОЯВJ1ения множества иных экспериментов, таких как двухфотонный
перенос энергии, и новых захватывающих реЗУJ1ьтатов.
Задачи
11.1.Рассмотрите одномерный фотонный кристаJ1J1, ИЗГОТОВJ1енный из двух чере дующихся ДИЭJ1ектрических СЛ0ев, которые оБJ1адают ДИЭJ1ектрическими про
ницаемостями <:! и <:2 и имеют ТОJ1ЩИНЫ d! и d2 соответственно. Выведите
характеристическое уравнение ДJ1Я ТЕ- и ТМ-мод. Постройте дисперсионные
кривые k 1 (w) ДJ1Я <:! = 17,88, <:2 = 2,31 и d2 /d! = 2/3.
11.2. Оцените ДJ1ИНУ волны наиБОJ1ее добротной моды микросферы радиуса а =
= 50 мкм С ДИЭJ1ектрической проницаемостью <: = 2,31. ОпредеJ1ите межмодовое расстояние ~Л.
11.3. ДJ1Я микросферы с <: = 2,31 постройте ЧИСJ1енно правые части равенств (11.33) и (11.34) в КОМПJ1ексной ПJ10СКОСТИ ka. ПОJ10ЖИВ номер УГЛ0ВОГО момента рав ным 1 = 1О, оцените веJ1ИЧИНУ ka ДJ1Я мод с радиаJ1ЬНЫМИ номерами v = 1, 2 и 3.
Список литературы
Joannopoulos J D , Meade R D., and Winn J. N., Photonic Crystals - Princeton Princeton University Press. 1995.
2 Joannopoulos J D. Vllleneuve Р. R., and Раn 5 Photonic crystals putting а new twist оп
|
light//Nature 1997 У.386 У.143-149. |
|
|
|
|
|||
3 |
Vlasov У А , Во Х Z , Sturm J С , and Norris D. J |
On-chip natuгal assembly of silicon |
||||||
|
photonlC bandgap crystals // Nature 2001 |
V 414. Р 289-293. |
|
|||||
4 |
Floquet G |
Suг |
les equations differentielles linearies |
а |
coeffcients periodiques / / |
Апп |
||
|
EcoleNurm |
Sup |
1883 V 12 Р 47-88. |
|
|
|
|
|
5 |
Bloch |
F Uber |
die Quantenmechanik der |
Elektronen |
in |
Kristallgittern / / Z. Phys |
1929 |
|
|
V 52 |
Р 555-600 |
|
|
|
|
||
6 |
Moreno Е., Erni D, and Hatner Ch. Modeling of discontinuities in photonic crystal waveg- |
|||||||
|
uides with the multiple multipole method / / Phys Rev |
Е |
2002. У.66 Р 036618. |
|
||||
7Painter О J., Husain А . Scherer А .. et а/. Two-dimensional photonic crystal defect laser / / Lightwave Technol 1999. V 17 Р 2082-2089.
11.2 Список литературы |
345 |
8.Arnold S , Hollder S., and Druger S D in Optical Processes in Microcayities Chang R К and Сатрillо А J., eds, Adyanced Series in Applied Physics, yol.3 - Singapore World SCientific, 1996.
9. Bohren С а. and НиПтаn D. R Absorption and Scattering of Light Ьу Small Particles - New York John Wiley, 1983.
10Nussenzveig Н.М Diffraction Effects in Semiclassical Scattering. - Cambridge Cambridge Uniyersity Press, 1992
11Johnson В R Theory оС morphology-dependent resonances shape resonances and width formulas //Opt Soc Ат. А 1993. V 10 Р 343-352
348 |
Гл. 12 |
Поверхностные nлазмоны |
|
|||||
|
плазменная частота. Выражение (12.5) можно разделить |
|||||||
на вещественную и мнимую части: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 1 |
2 |
. |
Г |
2 |
|
|
|
|
c.vp |
|
c.vp |
|
(12.6) |
|||
|
f:Dгude(UJ ) - |
- |
-2-- 2 |
+ Z |
2 |
+ |
2· |
|
|
|
|
UJ + Г |
|
c.v(c.v |
Г) |
|
|
На рис. 12.1 построены вещественная и мнимая части диэлектрической проницае мости (12.6) как функции длины волны расширенного видимого диапазона для
~Dlude
з |
|
,- ,- ,- ,- |
,- |
|
|
|
|
2 |
......... .. |
..,-'- |
|
1 |
...... Im(~) |
|
---.........
оF==::::==:=-:ffir}~-R6ruОО1~-"'""""l8mооn~~""1il0nCОin10
Длина волны [нм]
-20
-40
Рис 12.1 Вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости золота согласно мо
дели свободных электронов Друде-30ммерфельда (c.vp = 13,8·1015 c- I И Г = 1,075·1014 c- I ).
Вещественная часть обозначена сплошной линией, мнимая - штриховой Отметим различие
масштабов вещественной и мнимой частей
значений UJp = 13,8· 1015 с-1 И Г = 1,075· 1014 с-1 , характерных для золота [4].
Отметим, что вещественная часть диэлектрической проницаемости - отрицательная величина. Очевидное следствие такого поведения состоит в том, что свет может
проникнуть в металл лишь на очень малую глубину, поскольку отрицательная часть диэлектрической проницаемости приводит к наличию значительной мнимой
части показателя преломления n = .jё. Другие следствия обсудим позднее. Мнимая
часть f: описывает поглощение энергии, связанное с движением электронов в металле
(см. задачу 12.1).
12.1.2. Межзонные переходы. Хотя модель Друде-30ммерфельда довольно
точно описывает оптические свойства металлов в инфракрасном диапазоне, ее необ ходимо дополнить видимой областью, приняв во внимание отклик связанных элек
тронов. Например, на длинах волн, меньших 550 нм измеренная мнимая часть
диэлектрической проницаемости золота возрастает гораздо быстрее, чем предсказы
вает теория Друде-30ммерфельда. Причина состоит в том, что высокоэнергетичные
фотоны могут перевести в зону проводимости электроны из нижележащих зон.
В классической картине такой переход можно описать возбуждением колебаний связанных электронов. Связанные электроны существуют в металлах, например в нижележащих оболочках атомов. Для описания отклика связанных электронов
применим тот же метод, который выше использовали для свободных электронов. Уравнение движения для связанных электронов имеет вид
{ir |
ar |
е |
Е |
ое |
-iwt |
(12.7) |
т де |
+ т'У at + аг = |
|
, |
12.1 Оптические свойства благородных металлов |
349 |
где m - эффективная масса связанного электрона, которая в общем случае отличает ся от эффективной массы электрона в периодическом потенциале, 'у - коэффициент релаксации, описывающий, главным образом, радиационную релаксацию в случае
связанных электронов, а Q - постоянная упругости потенциала, удерживающего
электрон на своем месте. Используя ту же подстановку, что и в предыдущем случае,
находим вклад связанных электронов в диэлектрическую проницаемость:
€lnterband (c.v) = 1 + (2 |
-2 |
|
(12.8) |
'-<.1;) |
, |
||
'-<.10 - |
'-<.1 |
- Z'Y'-<.I |
|
где Wp = Jne2 /(m€o), n - плотность связанных электронов, а c.vo = Jo/'III.Часто
та Wp введена по аналогии с плазменной частотой в модели L{руде-30ммерфельда, однако очевидно, что физический смысл ее иной. Теперь мы можем переписать (12.8),
разделив вещественную и мнимую части:
€lnterband (c.v) |
_ 1 |
|
-2( |
2 |
'-<.1 |
2) |
|
-2 |
|
|
+ |
'-<.Ip |
'-<.10 - |
|
2 + Z(2 |
'Y'-<.Ip'-<.l |
(12.9) |
||||
- |
(2 |
2)2 |
|
2 |
2)2 |
2 2· |
||||
|
|
|
'-<.10-'-<.1 |
+'Y'-<.I |
'-<.10-'-<.1 |
+'Y'-<.I |
|
|||
На рис. 12.2 показан вклад связанных электронов в диэлектрическую проницае
мость металла. 1) Явное резонансное поведение наблюдается для мнимой части, а для
elnterband
5 |
Im(e) I"\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
I \ |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
I |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
2 |
,I |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
/ |
"'-- |
|
|
|
|
|
... " |
|
|
|
|
|
|
----------- |
|
|
|||
|
|
600 |
800 |
1000 |
|
|
-1 |
|
|
Длина волны [нМ] |
|
|
|
-2~____________________________________~ |
|
|
||||
Рис. 122 Вклад связанных электронов в диэлектрическую проницаемость золота |
Использо |
|||||
ваны параметры c:;Jp |
= 45· 1014 с- , 'у = 9· 1014 c- I , >. = 450 нм и '-<.10 = 21ГС/>. |
Вещественная |
||||
часть диэлектрической проницаемости, |
обусловленная |
связанными |
электронами, |
обозначена |
||
|
сплошной линией, мнимая - |
штриховой |
|
|
|
|
вещественной |
поведение, напоминающее дисперсию. На |
рис. 12.3 |
представлен |
|||
график диэлектрической проницаемости золота (вещественной и мнимой частей),
взятый из статьи L{жонсона и Кристи [6]. На длинах волн больше 650 нм пове
дение диэлектрической проницаемости явно следует теории L{руде-30ммерфельда
На длинах волн менее 650 нм очевидно начинают играть роль межзонные переходы. Можно попробовать смоделировать форму кривой, объединяя вклады свободных электронов (12.6) и межзонного поглощения (12.9) в комплексную диэлектрическую
проницаемость (складывая их квадраты). Разумеется, результат будет гораздо лучше
1)Эта теория может быть естественным образом обобщена на взаимодействие излучения
сдиэлектриками. Диэлектрический отклик в широком диапазоне частот состоит из нескольких
полос поглощения, относящихся к различным резонансам, возбуждаемым электромагнитным
образом [2] - Прuмеч авт.
352 Гл 12 Поверхностные nлазмоны
Множитель е,А:,~-tu)t опущен для упрощения записи. Равенство (12.14) особенно полезно, когда рассматривается система стратифицированных слоев (см., например, [81, с.40, и задачу 12.4). Коль скоро (12.12) и (12.13) налагают определенные
условия на поля в соответствующих полупространствах, необходимо согласовать поля на границе раздела, используя граничные условия. Требование непрерывности касательных компонент Е и нормальных компонент D приводит к другой системе
уравнений'
Еl,х - Е2,х = О,
(12.l5)
t:lEl,z - t:2E2,z = О.
Уравнения (12.l3) и (12.15) представляют собой однородную систему четырех урав
нений относительно четырех неизвестных компонент поля. Условие существования решения такой системы состоит в равенстве нулю соответствующего определителя.
Последний равен нулю в двух случаях: если kx = О, но это равенство не описывает
возбуждения вдоль границы, или если
(12.l6)
Последнее равенство в сочетании с (12.12) и (12.13) приводит к дисперсионному
соотношению, т. е. к соотношению между волновым вектором, указывающим направ
ление распространения, и угловой частотой "-1:
k2 |
_ |
E:tE:2 |
k2 _ |
E:tE:2 |
"-12 |
(12.17) |
х |
- |
Е:! + Е:2 |
- |
Е:! + Е:2 |
71' |
|
Также получаем выражение для нормальной компоненты волнового вектора:
2
k~ = ~k2, J. = 1, 2. (12.18)
J,Z Е:! + Е:2
Получив (12.17) и (12.l8), мы можем рассмотреть условия существования по
верхностных волн. Для простоты предположим, что мнимые части диэлектрической
проницаемости малы по сравнению с вещественными, поэтому ими можно прене
бречь. Более детальное обсуждение, выходящее за рамки этого предположения,
проведем позднее (см. также [81). Итак, нас интересуют поверхностные волны, рас
пространяющиеся вдоль границы раздела. Существование таких волн возможно, если
величина k~. является вещественной. Согласно (12.17) это условие будет выполнено,
если сумма и произведение диэлектрических проницаемостей имеют одинаковые зна
ки. Чтобы получить «связанное» решение, потребуем, чтобы нормальная компонента
волнового вектора была чисто мнимой в обеих средах, что приводит к экспонен
циальному затуханию решения по обе стороны от границы раздела. Достичь этого можно только в том случае, когда сумма в знаменателе (12.l8) отрицательна, Отсюда заключаем, что условия существования поверхностной волны имеют вид
еl ("-1) . t:2("-I) |
< О, |
(12.l9) |
еl ("-1) +t:2("-I) |
< О. |
(12.20) |
Это означает. что диэлектрическая проницаемость одной из сред должна быть отрицательной, а модуль ее должен превышать значение диэлектрической проницае
мости второй среды. Как было показано в предыдущем разделе, металлы (особенно
благородные металлы, такие как золото и серебро) обладают комплексной диэлек
трической проницаемостью с малой мнимой частью и большой по модулю отрица
тельной вещественной частью. Поэтому на границе раздела благородного металла и диэлектрика (например, стекла или воздуха) могут существовать локализованные