Новотный и Хехт, Основы нанооптики

ществляя вывод (13.13), мы использовали определение механической силы по Нью­

тону, F = (l/(1tGmech , И определение импульса поля

V

Это импульс электромагнитного поля в объеме V. Он порожден динамическими

слагаемыми в уравнениях Максвелла с роторами, т. е. слагаемыми, содержащими производные по времени. При усреднении по периоду колебаний импульс поля

становится равным нулю, а механическая сила оказывается равна

где угловые скобки (...) означают усреднение по времени. Равенство (13.15) имеет

общее значение. Оно позволяет рассчитать механическую силу, действующую на про­

извольное тело, ограниченное поверхностью av. Эта сила полностью определяется значениями электрического и магнитного полей на поверхности av. Интересно, что

в выражение для силы не входят свойства вещества; вся информация содержится

в электромагнитном поле. Единственное ограничение на вещество состоит в том,

что тело должно быть абсолютно твердым. В противном случае под действием элек­ тромагнитного поля тело будет деформироваться и для строгого описания придется

учитывать электрострикционные и магнитострикционные силы. Поскольку охваты­

вающая тело поверхность выбирается произвольно, полученные результаты не будут зависеть от того, где рассчитываются поля, - на поверхности тела или в дальней зоне. Важно отметить, что использованные в расчете поля являются самосогласован­

ными, а это означает, что они представляют собой суперпозицию возбуждающего и

рассеянного полей. Поэтому прежде чем рассчитывать силу, следует решить задачу

рассеяния электромагнитного излучения. Если объект В окружен средой, которую

с достаточной точностью можно описать диэлектрической проницаемостью е и маг­ нитной проницаемостью /-l, механическую силу можно будет рассчитать по той же

1-

Падающее поле

Рис 13 1 Механическая сила F, действующая на объект В, полностью определяется электри ческим и магнитным полями на произвольной поверхности дV, окружающей В

13.2. Давление излучения

В настоящем разделе мы рассмотрим давление излучения на среду с бесконечно

протяженной плоской границей, см. рис. 13.2. Среда освещается монохроматиче­

ской плоской волной, падающей по нормали к границе раздела. В зависимости от

свойств вещества среды часть возбуждающего поля отражается от границы. Вводя комплексный коэффициент отражения R, перепишем электрическое поле вне среды

как суперпозицию двух распространяющихся в проти-

Используя уравнение Максвелла (13.1), находим напря­

женность магнитного поля:

H(r, t) = Jeo/ Мо EoRe [(eikz _Re-tkz ) e- twt ] lly. (13 18)

Чтобы рассчитать давление излучения Р, проинте­ грируем тензор напряжений Максвелла по бесконечной

плоской поверхности А, параллельной границе раздела, как показано на рис. 13.2. давление излучения рассчи­ тывается с помощью (13.15):

лением, а не механической силой, нет необходимости

рассматривать прилегающую поверхность av. Используя поля, заданные равенства­

ми (13.17) и (13.18), находим, что первые два слагаемых в тензоре напряжений

Максвелла (13.10) не дают вклада в давление излучения. Третье же слагаемое

приводит к выражению

В случае идеально поглощающей среды R = О, тогда как для идеально отражающей среды R = 1. Поэтому давление излучения на идеально отражающую поверхность

в два раза больше, чем на идеально поглощающую плоскость.

13.3. Дипольное приближение

Такая двухуровневая квантовая система, как атом, с переходами, ограниченными

двумя состояниями, хорошо описывается диполем. То же справедливо в отношении

макроскопической частицы, размеры которой много меньше длины световой волны

(рэлеевская частица). Чтобы получить электромагнитную силу, действующую на

диполь, рассмотрим две частицы, имеющие массы ml и m2, заряженные зарядами

одинаковой величины, но противоположных знаков, разнесенные на малое рас­

стояние 181 и освещенные произвольным электромагнитным полем (напряженность

электрического поля Е и индукция магнитного поля В), как показано на рис. 13.3.

25 Л НаватныЙ. Б Хехт

где п - поляризуемость частицы. Форма функции a(w) зависит от природы частицы. Для двухуровневых систем явное выражение для а выводится в Приложении А.

В общем случае (.~ представляет собой тензор второго ранга, но для атомов или

молекул применение скалярного представления правомерно, поскольку существенна

где мы опустили третье слагаемое по причинам, обсуждавшимся ранее. Два слагае­ мых в правой части равенства можно скомбинировать так, как это делалось выше,

где во втором выражении оператор \7 действует только на комплексную напряжен­

ность электрического поля Е. Используя линейное соотношение (13.34) и представ­

ляя комплексную амплитуду электрического поля в виде вещественной амплитуды Ео

и фазы Ф согласно равенству 1)

где ПЕ - единичный вектор, ориентированный в направлении поляризации, выразим

усредненную по периоду колебаний силу следующим образом:

(13.38)

Здесь п = 0/ + ia" и \7Еб = 2Ео\7Ео. Из полученного равенства видно, что средняя

механическая сила определяется двумя слагаемыми, имеющими разный физический смысл: первое слагаемое - это сила диnольного взаимодействия (или градиент­

ная сила), второе - сила, обусловленная рассеянием. Градиентная сила возникает вследствие неоднородности поля и пропорциональна дисперсионной (вещественной)

части комплексной поляризуемости. В свою очередь, сила рассеяния, пропорциональ­

на диссипативной (мнимой) части комплексной поляризуемости. Эту силу можно

рассматривать как следствие переноса импульса от света к частице. В случае непо­

глощающих частиц переноса импульса не происходит и сила рассеяния равна нулю.

Поляризуемые частицы ускоряются градиентной силой в направлении возрастания

поля, поэтому сильно сфокусированный лазерный пучок может уловить частицу

в фокус во всех измерениях. Однако сила рассеяния толкает частицу в направлении

распространения пучка, и если лазерный пучок недостаточно сильно сфокусирован,

частица может быть вытолкнута из ловушки. Отметим, что Ф можно выразить в терминах локального волнового вектора k как Ф = k· г, при этом \7ф = k.

Подставив (13.37) в (13.32), получим выражение для зависящей от времени

Соответствующее магнитное поле определяется уравнением дВ/ at = - \7 х Е, кото­

рое совместно с (13.39) приводит к следующим равенствам:

') Это приближение Оно справедливо только если фаза меняется по пространству сильнее,

чем аМПJlитуда. это имеет место для слабо сфокусированных полей. - Примеч. авт.

где через (...) обозначено усреднение по периоду. Подставляя полученные выражения

в (13.38), приходим к равенству

где IEI - зависящая от времени величина напряженности электрического поля. Ра­

венство (13.41) доказывает, что сила рассеяния пропорциональна среднему импульсу поля, который определяется равенством (13.14).

13.3.3. Насыщение возбуждения вблизи резонанса. Насыщение - это нели­

нейный эффект, который ограничивает величину индуцированного дипольного мо­

мента J.L. В отличие от большинства нелинейных эффектов, насыщение не влияет на

монохроматическую зависимость индуцированного диполя от времени, поэтому ли­

нейное соотношение в (13.34) справедливо даже для режима насыщения. Установив­

шаяся поляризуемость двухуровневого атома, возбуждающегося вблизи резонанса,

выводится в Приложении А. Поляризуемость можно представить с помощью проек­

ций дипольного момента перехода на направление электрического поля (J.L12 . ПЕ)·

Эта формула была первоначально получена Гордоном и Ашкином В рамках кван­ товой механики [8]. Выводя равенство (13.46), мы прибегаем к квантовой меха­ нике лишь затем, чтобы рассчитать атомную поляризуемость (см. Приложение А).

Из квантовой теории следует, что сила рассеяния возникает в циклах поглощения и спонтанного излучения, тогда как дипольная сила возникает благодаря циклам по­

глощения и вынужденного излучения. Отметим, что наибольшее значение параметра насыщения Р имеет место при точном резонансе "-' = "-'о. В этом случае множитель

р/(1 + Р) не превышает значения 1, которое ограничивает наибольшее значение силы

(насыщение). При интенсивности I = [5а! (I5a! ~ 1,6 мВт/см2 для атомов рубидия)

сила достигает половины своего максимального значения. Для частот "-' < "-'о (<<крас­

ная» отстройка) дипольная сила пропорциональна - V'Ео, что приводит ко втяги­

ванию атома в область повышенной интенсивности. Напротив, для частот "-' > "-'о

(<<синяя» отстройка) атомы выталкиваются из областей повышенной интенсивности,

поскольку в этом случае сила дипольного взаимодействия пропорциональна ~~o.

При точном резонансе дипольная сила исчезает. На рис. 13.4 качественно показана

излучения для атомов натрия (l/'Y = 16,1 не, ло = 590 нм) Числа на графике указывают величину [/[53!

зависимость силы дипольного взаимодействия и силы рассеяния от частоты при различных интенсивностях возбуждения. С помощью равенства k = ~ф вдали от

насыщения силу рассеяния можно представить следующим образом:

Влияние насыщения на силу рассеяния представлено на рис. 13.5.

В экспериментах по управлению атомами сила рассеяния использовалась для

охлаждения атомов до экстремально низких температур, что почти останавливало

их. При нормальных условиях атомы и молекулы движутся со скоростями порядка 1000 м/с в случайных направлениях, и даже при температуре -270 ос их скорости

имеют порядок величины 100 м/с. Лишь при температурах, близких к абсолют­

ному нулю (-273 ОС), движение атомов снижается значительно. Первоначальная идея замедления атомов основана на использовании эффекта Доплера. Она была

предложена в 1975 г. Хэншем и Шавловым [5]. Нейтральные атомы облучаются

встречными лазерными пучками. Если атом движется навстречу одному из пучков,

частота лазерного излучения относительно атома согласно эффекту Доплера будет сдвигаться в область более высоких частот (<<синее~ смещение). Если атом движется в направлении распространения пучка, то относительно него будет наблюдаться сдвиг в область низких частот (<<красное» смещение). Если частота лазера настроена

немного ниже резонанса, атом будет преимущественно поглощать фотон, двигаясь

навстречу лазерному пучку (см. (13.47)). Процесс поглощения замедляет атом со­ гласно закону сохранения импульса. Возбужденный атом в конце концов релак­

сирует путем спонтанного излучения, которое является вероятностным процессом

и не имеет выделенного направления. Таким образом, при усреднении по многим

циклам поглощения-излучения движущийся навстречу лазерному пучку атом теряет

скорость и эффективно охлаждается. Чтобы замедлить атом во всех направлениях движения, необходимо три пары противоположно направленных лазерных пучков

в трех измерениях направить под прямым углом друг к другу. В каком бы направле­

нии ни двигался атом, он встретит фотон с резонансной энергией и будет возвращен обратно в область пересечения пучков. Движение атома в области пересечения

подобно движению в гипотетической вязкой среде (оптической «патоке~).

схема пленения, основанная на дипольной силе, позволяла захватывать атомы в фо­

кус остро сфокусированного пучка [9].

К сожалению, оптическая дипольная ловушка стала недостаточно сильной для большинства задач, и была разработана новая трехмерная ловушка, основанная на силе рассеяния. Этот тип устройств получил название магнитооптических ловушек. Возвращающая сила в них обусловлена комбинацией противоположно направленных циркулярно поляризованных лазерных пучков и слабого переменного неоднородного

магнитного поля, минимум которого расположен в области пересечения лазерных

лучей. Величина магнитного поля возрастает по мере удаления от центра ловушки,

создавая силу, направленную к центру.

13.3.4. 3а пределами дипольного приближения. В принципе любой макро­

скопический объект может рассматриваться как набор отдельных диполей. Самосо­

гласованное решение для электрического и магнитного полей, порожденных этими

диполями (см. разд. 2.10), имеет вид

-11

в виде

(13.49)

Подставляя (13.49) в (13.48), получаем уравнения относительно Е и Н, которые

можно разрешить с помощью метода обращения матриц. В принципе механические

силы, действующие на произвольный объект, состоящий из отдельных диполей,

можно определить из (13.38) в сочетании с (13.48) и (13.49). Однако если потре­

бовать, чтобы объект не деформировался под действием электромагнитного поля,

то внутренние силы должны взаимно сократиться и механическая сила будет пол­ ностью определяться полями вне объекта. В этом случае механическую силу можно

определить путем расчета внешних полей и последующим вычислением тензора

напряжений Максвелла согласно (13.10) и (13.15).

Рис 13 6 Иллюстрация приближения связанных диполей Макроскопическое тело подраз­

деляется на отдельные микроскопические дипольные элементы Каждый дипольный момент

можно рассчитать самосогласованным образом с помощью функции Грина В грубом прибли­

жении поле напротив металлического острия можно заменить полем единственного диполя,

однако пара метры поляризуемости приходится получать путем строгих расчетов

13.4. Оптические пиицеты

в 1986 г. Ашкин с сотрудниками показали, что сильно сфокусированный ла­

зерный пучок можно использовать для удержания микроскопических частиц в трех измерениях вблизи фокуса. В настоящее время этот подход общепризнан в каче­

стве неинвазивного метода и известен под названием оптического nин.цета [2].

Оптические пинцеты находят широкое применение, главным образом в биологии,

и используются для манипуляций с диэлектрическими сферами, живыми клетками,

ДНК, бактериями и металлическими частицами. Оптические пинцеты - рутинные

инструменты в измерениях упругости, силы, кручения и положения плененных объ­

ектов. С помощью оптических пинцетов обычно можно измерять силы в диапазоне от

I пН до 10 пН. Если пленение малых частиц (диаметром d « л) хорошо описывается силой дипольного взаимодействия (первое слагаемое в (13.38», то для объяснения

пленения больших частиц требуется учесть слагаемые более высокого порядка муль­

типольности, как это делается в теории рассеяния Ми. В этом случае силу захвата

живающего пучка, с - скорость света в вакууме. Безразмерная величина Q называ­ ется эффективностью захвата. В дипольном приближении и при отсутствии потерь