Новотный и Хехт, Основы нанооптики

15.5. ВЫВОДЫ и перспективы

Вэтой главе мы обсудили теоретические методы, которые обычно применяются

внаноопти·ке. При этом мы сконцентрировались на методах, в которых выполняются

ЧИСо1енные расчеты при нахождении аналитических выражений для исследуемых по.1еЙ, и не рассматривали чисто численных методов, поскольку последние хорошо

описаны в литературе. Читатель, конечно же, отметит, что мы не охватили мно­

жество восхитительных теоретических концепций, выдвинутых в последние годы,

и среди них методы решения обратных задач, позволяющие восстановить структуру

объекта (геометрию и материальные свойства образца) с помощью информации,

.:юступноЙ посредством детекторов ближнего и дальнего поля [27J. МЫ показали,

что концепции обратного рассеяния можно применить к оптическому ближнему полю и что можно осуществить оптическую томографию ближнего поля, т. е. трехмерную

реконструкцию объекта путем считывания информации при разных углах возбуж­

.1ения или регистрации [28J. В ближайшие годы можно ожидать, что томография

б.1Ижнего поля позволит реконструировать трехмерную форму и материальные свой­

ства подповерхностных структур с наноразмерным разрешением.

Задачи

15 1 Рассмотрите одиночную дипольную частицу радиуса а, имеющую диэлектриче­

скую проницаемость Ер и расположенную над диэлектрическим полупростран­

ством с диэлектрической проницаемостью Е. Выведите выражение для эффек­

тивной поляризуемости ~eH как функцию расстояния d между поверхностью

ицентром частицы.

152 Рассчитайте эффективную поляризуемость двух диэлектрических сфер радиу­

са 11, имеющих диэлектрическую проницаемость Е, расположенных на расстоя­

нии (! друг от друга.

расстояние (1, чтобы точность приближения Борна составила 10 %?

15.4.Квазистатическая поляризуемость Q не удовлетворяет оптической теореме. Что­

бы доказать это утверждение, рассмотрите рассеяние на одиночной дипольной

частице с поляризуемостью а. Оптическая теорема утверждает, что сечение

экстинкции плоской волны, распространяющейся в направлении оси z и рассе­

янной на произвольном объекте, дается равенством

ипоказывающая, что значение сечения рассеяния должно вычисляться вдоль

направления распространения. Амплитуда Х связана с рассеянным дальним

полем Е, равенством

(15.76)

qZ, где Z - атомное число. Предположим, что ядро расположено в начале координат (г = О) и окружено Z электронами, причем заряд электрона равен -q. В равенстве

(А.3) можно ограничить индекс z так, чтобы он пробегал только по координатам

электронов. В случае не зависящего от времени гамильтониана можно разделить зависимости от t и r следующим образом:

n=\

Подставляя эту волновую функцию в (А.2) и используя Н = НО, получаем уравнение

на собственные значения энергии (стационарное уравнение Шредингера):

(А.5)

где Е,. - собственные значения стационарных состояний In). в дальнейшем ограни­

чимся случаем двухуровневого атома (n = [1,2]) с двумя стационарными волновыми

функциями:

ф\(г,t) = e-*E1t<p\ (Г),

(А.б)

Ф2(Г, t) = e-*E2t<p2(r),

На следующем шаге поместим атомную систему в поле излучения; тогда система

испытает внешнее, не зависящее от времени возмущение, которое можно представить

гамильтонианом взаимодействия H'(t). Тогда получим следующее выражение для

где согласно (А.5) НО представляет невозмущенную систему. Размер атома по по­

рядку величин составляет несколько боровских радиусов, ав ~ 0,05 нм. Поскольку

ав « Л, где л - длина волны излучения, можно считать, что на масштабе атомной системы напряженность электрического поля Е является постоянной величиной.

Полагая, что зависимость от времени является гармонической, запишем

гд.е мы положили фазу поля равной нулю, или, что то же самое, выбрали комплекс­ ные амплитуды вещественными. Каждый электрон системы испытывает воздействие

о.1ного и того же поля Ео, зависящее от времени по закону COS(.cJt). Используя

опреде.,ение полного электрического дипольного момента атома,

находим гамильтониан взаимодействия в дипольном приближении:

Гами.,ьтониан дипольного взаимодействия является вещественным и обладает свой­

ством нечетности по отношению к операции инверсии координат, т. е. Н' меняет

знак. если ко всем Г! применить операцию ri = -ri.

Чтобы решить уравнение Шредингера (А.2) для возмущенной системы, запи­

шем зависящую от времени суперпозицию стационарных волновых функций атома

в (А.б):

(А.ll)

29 Л НовотныЙ. Б Хехт

450 Прuл. А. Полуаналитический вывод атомной поляризуемости

Зависящие от времени коэффициенты С1 и С2 выберем таким образом, чтобы вы­

полнялось условие нормировки (ФIФ) = f ф*фdV = IC112 + IC212 = 1 (в котором для

удобства мы опустили аргументы в волновой функции). После подстановки этой

волновой функции в уравнение А.2 перегруппируем слагаемые и, используя (А 3) и (А.б), получим

(А.12)

где точками обозначена производная по времени. Следует помнить, что Ф - функция

аргументов (г, t), а 'Ф - аргумента (г). Чтобы избавиться от пространственной зависимости, домножим обе части (A.l2) слева на Фj, подставим в качестве волновой

функции (А.б) и проинтегрируем по пространству. Затем повторим процедуру. но уже для Ф2' и в результате получим систему двух связанных дифференциальных

уравнений, зависящих от времени:

где для матричного элемента дипольного перехода между состояниями li) и !J)

введено обозначение

(А.15)

и снова следует подчеркнуть, что интегрирование ведется по всем электронным

координатам г = г1, ... , rz. В (A.l3) и (A.l4) мы использовали тот факт, что 1111 = о.

Это следует из нечетности Н/, вследствие которой подынтегральное выражение

для l1ii является нечетной функцией г. Интегрирование по г = [-00 ... о] приводит

К тому же результату, что и интегрирование по г = [о ... 00], но с противопо­

ложным знаком, поэтому при интегрировании по всему пространству оба вклада

взаимно уничтожаются. Матричные элементы дипольного перехода удовлетворяют

равенству 1112 = 1121' поскольку l1a - эрмитов оператор. Однако фазы собственных

значений '1'1 и '1'2 удобно выбрать так,чтобы матричные элементы дипольного пере­

Полуклассическая теория не учитывает спонтанного излучения, которое можно

описать только с помощью квантованного поля. Для согласования с квантовой электродинамикой следует учесть эффекты спонтанного излучения путем введения

в (А.14) слагаемого, феноменологически описывающего затухание. Тогда система

связанных дифференциальных уравнений принимает вид

C1(t) = C2(t)*JLI2' Eocos((.c)t)e-i"'ot,

(А.18)

C2(t) + ~C2(t) = C1(t)*JI.21 . Eocos((.c)t)e+~"'ot.

Введение затухания равносильно утверждению о том, что возбужденный атом обязан в конце концов перейти в основное состояние путем спонтанного излучения. В от-

сутствие поля излучения (Ео = О) уравнения (А.18) можно сразу проинтегрировать,

в результате чего получаем

(A.19)

Среднее время жизни возбужденного состояния r = l/,у, где 'у - скорость спон­

танной релаксации. Поскольку прямого аналитического решения системы (A.18) не

существует, нам придется получить несколько приближенных решений для возбуж­

дений разного вида.

А.l. Стационарная поляризуемость в слабых возбуждающих полях

Предположим, что взаимодействие между атомом и полем излучения мало. То­

гда решение дЛЯ СI (t) и C2(t) можно представить в виде разложения в ряд по

параметру ....21 • Ео. Чтобы вывести слагаемое первого порядка в этом разложении,

положим в правой части (А.18) СI (t) = 1 и C2(t) = О. Найдя таким образом решение

первого порядка, можно подставить его снова в правую часть равенства, чтобы

найти решение второго порядка, и т. д. Однако ограничимся лишь первым порядком.

Решение для СI имеет вид СI (t) = 1 и показывает, что атом всегда находится

в основном состоянии. Это решение можно назвать решением нулевого порядка,

поскольку оно не зависит от параметра разложения, т. е. дЛЯ СI решение первого

порядка отсутствует и следующее слагаемое должно быть второго порядка. Решение первого порядка для (;2 представляет собой суперпозицию решения однородного урав­

нения для С2 (А.19) и частного решения неоднородного уравнения. Последнее легко

находится путем представления косинуса в виде суммы двух экспонент, в результате

чего получаем

Будем интересоваться установившимся поведением атома, пребывающего в элек­

трическом поле Ео COH(Ut) в течение бесконечно большого промежутка времени.

В этом случае решение неоднородного уравнения стремится к нулю и полное решение

определяется одним лишь общим решением однородного уравнения.

Среднее значение дипольного момента дается равенством

где использованы определение матричного элемента дипольного перехода (А.15)

и свойство ~il = О. Подставляя в (А.22) решения первого порядка дЛЯ СI и С2,

получаем

(А.23)

Выражение 1J.12 ® 1J.21 - это матрица, сформированная тензорным произведением (ве­

щественных) дипольных моментов перехода. Выражение для поляризуемости удобно

привести к общему знаменателю. Более того, учитывая, что коэффициент релак­

сации 'у много меньше UJo, что позволяет пренебречь слагаемым "(2, окончательно

обобщим результат на системы, характеризующиеся более чем двумя состояниями.

Кроме различных матричных элементов, каждое состояние, отличающееся от основ­

ного, ведет себя сходно с описанным ранее состоянием 12). Таким образом, каждый

новый уровень характеризуется частотой UJn , коэффициентом релаксации "(11 и ди­

польными моментами перехода 1J.1n' 1J.n1' Тогда имеет место следующее выражение

для поляризуемости:

соответственно. По историческим причинам мы привели поляризуемость к фор­

ме (А.26). До пришествия квантовой механики Х. А. Лоренц развил классическую

+-+

модель атомной поляризуемости, которая, за исключением f n' совпадает с нашим

результатом. Рассмотренная Лоренцем модель состоит из набора гармонических осцилляторов для электронов атома. Каждый электрон откликается на вынуждающее

поле согласно уравнению движения

(А.27)

В этой теории сила осциллятора представляет собой параметр подгонки, поскольку не существует способа непосредственно определить, сколько электронов дают вклад в конкретную моду атома. Напротив, полуклассическая теория напрямую связывает

силу осциллятора с матричным элементом дипольного перехода И, таким образом.

с волновой функцией атома. Более того, правило j-СУММbl говорит, что сумма сил

осцилляторов равна единице.

Если энергия возбуждающего поля nы близка к разности энергий двух состояний

атома D.E, первое слагаемое в (А.25) оказывается гораздо больше второго. В этом

случае второе слагаемое можно отбросить (приближение вращающейся волны).

и мнимая часть поляризуемости примет форму лоренцевского контура.

Важно отметить, что между напряженностью возбуждающего поля Е и наведен­

ным дипольным моментом IJ. существует линейная связь, поэтому монохроматическое

1) Усреднение по всем поляризациям сводит силу осциллятора к скалярной величине

с дополнительным коэффициентом 1/3 - Прuмеч. авт.