Новотный и Хехт, Основы нанооптики

ет четвертое слагаемое, которое возникает из интерференции р-поляризованных

слагаемых двух основных ориентаций. Таким образом, р-поляризованный свет от

каждого - вертикального и горизонтального - диполей, расположенных в одной

и той же точке, интерферирует, если диполи излучают когерентно. Диаграммы направленности излучения диполя произвольной ориентации обычно неаддитивны.

Заметим, однако, что интерференционный член можно полностью исключить инте­

грированием по ~.

Равенство (10.43) позволяет определить диаграмму направленности излучения

диполя, находящегося вблизи произвольной слоистой структуры, В особом случае

одной границы раздела диаграмма воспроизводит формулы, полученные Лукошем

(Lukosz) и Кунцем (Кuпz) [15] и [21]. В качестве иллюстрации приведем рис. 107,

на котором показаны диаграммы направленности излучения диполя вблизи плоско-

h = )../10

h=)..

Рис. 10 7 Диаграммы излучения диполя, расположенного близко к плоскому волноводу и ори­

ентированного под углом () = 600, ).. = 488 нм, б = 80 нм, еl = 1, е2 = 5, е:! = 2,25 На рисунке

отражены четыре различные высоты диполя zo = h Диаграммы излучения построены в плос­ кости, которая задана осью диполя и осью Oz Отметим, что разрешенный свет не зависит от h, а запрещенный свет всегда симметричен относительно вертикальной оси

го волновода. Излучение в запрещенной зоне экспоненциально зависит от высоты

диполя ZQ, тогда как излучение в разрешенной зоне от Zo не зависит. В нижнем

полупространстве интерференционное слагаемое в (10.43) запишется в виде

в запрещенной зоне Sz - мнимая величина, и интерференционное слагаемое ис­

чезает. Таким образом, волны вертикального и горизонтального диполей, распо­ ложенных в одной точке, не интерферируют в запрещенной зоне, и диаграмма

излучения будет симметричной относительно ф. Этот весьма удивительный результат

был обнаружен Лукошем и Кунцем в [21] в случае единственной границы раздела.

Недавно диаграмма излучения, заданная равенством (10.43), была подтверждена

полю довольно медленно. Критическое направление задается углом полного внутрен­ него отражения. Попадающий в этот угол свет генерируется теми полями диполя,

которые распространяются параллельно слоистой системе. Эти поля преломляются

на поверхности на бесконечно большом расстоянии. Таким образом, ограничение числа слоев системы влияет на дальнее поле, главным образом, вблизи критического

угла. Фазы сферических волн верхнего и нижнего полупространств не совпадают

на границе раздела. Таким образом, чтобы компенсировать фазовое несоответствие, у границы раздела должны существовать иные формы волн. В литературе эти волны

известны как побочные волны. Побочные волны затухают, излучая под критическим углом полного внутреннего отражения (ПВО). В случае плоской границы разде­ ла, освещенной под углом ПВО, побочные волны объясняют поперечное смещение между возбуждающим и отраженным лучами (сдвиг Гуза-Хэнша). Кроме побочных

волн, слоистая среда также поддерживает волноводные моды. Эти моды затухают

как r- I / 2. Таким образом, затухание побочных волн даже меньше, чем затухание

дальнего поля, происходящее по закону r- I . Поскольку эти волны экспоненциально

затухают в обоих полупространствах, они видны только в боковом направлении

() = 7Г/2. В очень дальнем поле равенства (10.32)-(10.38) остаются справедливыми,

потому что побочные волны спадают быстрее (т-2), чем сферические, и потому что

направление () = 7г/2 не рассматривается.

10.8. Куда уходит излучение?

Как уже отмечалось в разд. 8.5.4, не вся расеянная энергия диполя преобразуется в распространяющееся излучение (фотоны). Определим квантовый выход Q как отношение скоростей излучательной и полной релаксации, т. е. отношение мощно­

сти, выделившейся как излучение, к полной рассеянной мощности (ср. (8.141)). Однако в эксперименте невозможно зарегистрировать все испущенное излучение и,

следовательно, можно определить видимый квантовый выход Q" как отношение зарегистрированной мощности к полной рассеянной мощности. В этом разделе мы

проанализируем, сколько энергии диполя излучалось в верхнее и нижнее полупро­

странства и сколько - превращалось в другие формы излучения (волноводные моды, поверхностные волны и т.д.).

Как показано на рис. 10.6, полная скорость рассеяния энергии дается равенством

где рТ, Р} и Р/ - мощность, излученная в верхнее полупространство, в разрешен­

ную зону и запрещенную зону соответственно; Рт обозначает мощность измерения,

связанного со слоистостью среды (волноводные моды, поверхностные моды, тепловые

потери и т. д.), а ~ - действительно поглощенная мощность, которая определяется

внутренним квантовым выходом Qj. Чтобы вывести рТ, р} и Р/, нужно проинтегри­

ровать диаграмму направленности излучения в (10.43) по соответствующим угловым диапазонам. При этом удобно использовать следующую подстановку:

z>O

(10.46)

z < О.

с этой подстановкой интервал s = [О ... 1] определяет компоненты поля диполя, представляющие собой плоские волны, тогда как интервал s = [1 ... OG] связан с эва-

электромагнитного поля. Поэтому поле магнитного диполя в плоской слоистой среде

играет важную роль. С теоретической точки зрения эти поля дуальны по отношению

к электрическим диполям. Поле магнитного диполя с магнитным моментом m можно

вывести из поля электрического дипольного момента 1.1. простой подстановкой '):

После того как мы воспользовались этой заменой, коэффициенты r S и ТР также изменились. Таким образом, поле вертикально ориентированного магнитного диполя будет чисто !.;-поляризованным. В этом случае поверхностные волны возбуждаться не

будут. Заметим, что размерность электрического дипольного момента [1.1.] = А . м . с,

тогда как размерность магнитного диполя [m] = А . м2• Мощность, излученная элек­

трическим диполем с дипольным моментом 1.1. = 1 в однородной среде, отличается от мощности, излученной магнитным диполем с моментом m = 1, в /-Lo/-Lcoc раз.

10.10. Приближение диполя-изображения

Вычислительные затраты можно значительно снизить, если пренебречь запазды­

ванием. В этом случае поля все еще будут удовлетворять уравнению Максвелла

в обоих полупространствах, но стандартный статический метод изображений будет

лишь приблизительно соответствовать граничным условиям. Опишем принцип этого

приближения в случае единственной границы раздела. Поскольку электромагнитные

поля рассматриваются в статическом пределе (k -+ О), электрическое и магнитное

поля расцепляются, и с ними можно работать по отдельности. Для простоты рас­

смотрим только электрическое поле.

На рис. 10.11 показаны произвольно ориентированный диполь над плоской гра­

ницей раздела двух сред и индуцированный им диполь в нижней среде. Расстояние

между границей и диполем-изображением равно расстоянию до границы от исходного диполя. Однако момент диполя-изображения иной. Статическое электрическое поле

z

h

I

Рис 10 11 Принципиальная схема приближения диполя-изображения, 11 и l1image означают ди­

польные моменты исходного диполя и диполя-изображения соответственно Для определения величины l1image применен электростатический метод изображения

1) В данной книге символ 11 используется для обозначения как электрического дипольного

момента, так и магнитной восприимчивости, однако обычно из контекста ясно, о чем идет речь - При,М,еч авm

Выведите сначала магнитное поле lI, которое соответствует электрическому

полю в (10.16), и затем определите z-компоненту вектора Пойнтинга (Но)

Используйте отношение замыкания функции Бесселя (см. (3 112», чтобы про­

интегрировать (8z ) по горизонтальной плоскости. Покажите, что результат

будет идентичен (Р - p 1f - Р;)/Ро, как утверждается в разд. 10.8.

10.3. Продемонстрируйте, что для диполя вблизи одной диэлектрической поверхно­

сти полная рассеянная мощность Р идентична полной интегральной диаграмме

излучения рТ + Ра! + Р/. Указание: выразите коэффициенты прохождения

через коэффициенты отражения в виде

10.4.Рассмотрите излучение молекулы с дипольным моментом, параллельным алю­

миниевой подложке. Длина волны излучения А = 488 нм, диэлектрическая

проницаемость подложки е = -34,5 + 8, 5z. Определите видимый квантовый

выход Qa, определенный как отношение энергии, излученной в верхнее по­

лупространство, к полной рассеянной энергии. Постройте Ча как функцию

вертикального положения молекулы zo/А. Построение проведите в диапазоне

Zo/A = [О .. 2] и qa = [0 ... 1].

10.5 Рассчитайте отношение энергии, излученной в верхнее полупространство,

к энергии, излученной в нижнее полупространство, для диполя, который распо­

ложен на границе воздух-диэлектрик (nl = 1,112 = 1,5). Проведите вычисления

отдельно для горизонтального и вертикального диполей.

18. Btan R Х, Dunn R. С, Xie Х S, and Leung Р. Т. Single molecule emission characteristics