8 2 Классический гам,ильmониан <'часmица+nоле» |
243 |
Чтобы разобраться во взаимодействиях между частицей и электромагнитным
полем, рассмотрим сначала уединенную материальную точку массы т с зарядом q.
Позднее мы обобщим сделанные выводы на систему конечных размеров, состоящую
из множества зарядов. Гамильтониан точечной частицы в электромагнитном поле
находится дифференцированием функции Лагранжа L(r, г), которая удовлетворяет
уравнению Лагранжа-Эйлера:
~ (~~) - ~~ = О, |
q = x,y,z, |
(8.22) |
где q = (.l·,,IJ, z) И q = (;1;, у, z) - обобщенные |
координаты |
и скорости точки соот |
ветственно 1). Чтобы определить L, сперва рассмотрим нерелятивистское уравнение |
движения заряда |
|
|
F= :t(тr)=q(E+rxB) |
(8.23) |
и выразим Е и В через векторный А и скалярный Ф потенциалы:
д |
V'ф(г, t), |
(8.24) |
E(r, t) = - mA(r, t) - |
B(r, t) = V' х A(r, t). |
(8.25) |
Теперь запишем уравнение 8.23 в проекциях на оси координат. В проекции на
направление Х получаем
([ ( |
..) _ |
-q |
(DФ + ПА,) + |
q |
[. (дАу |
дАх ) |
- |
. |
(дАх |
DAz)]_ |
|
- |
тз |
- |
- |
-- |
У -- - -- |
|
z |
-- - |
-- |
- |
|
dt |
|
|
|
ах |
|
Dt |
|
|
дх |
|
ду |
|
|
|
lJz |
дх |
|
|
|
|
=!!...[-ф+ |
q |
(А |
'+А |
'+А |
')]_ |
q |
[DA~+.DAx+.DAy+.a.4z] |
(8.26) |
|
|
|
Вх. |
(j |
|
,.х |
|
уУ |
zZ |
|
|
дt |
|
Х дх |
У дУ |
z дz, . |
|
Содержимое квадратных скобок последнего слагаемого представляет собой полную
производную векторного потенциала по времени dAx/dt. С учетом этого факта
меняем порядок слагаемых и переписываем уравнение в следующем виде:
d (m± + qAx ) - |
дд [-qф+ q (Ах±+ АуУ+ Azz)] = О. |
(8.27) |
d,t |
х |
|
Структура этого выражения совпадает с уравнением Лагранжа-Эйлера, поэтому
будем искать лагранжиан исследуемой системы в виде
L = -qф + q (Ах± + АуУ + AzZ) + f(x, ±), |
(8.28) |
где 8!/8.,' = О. в этом случае первое слагаемое в (8.22) можно переписать: |
:t (~~) = ~ (qAx + ~{). |
(8.29) |
|
Это выражение должно совпадать с первым слагаемым в (8.27), |
поэтому д!/д± = |
= m.i·, Решение f(x,:i') = т±2/2 подставим в (8.28) и затем, проведя аналогичные
выкладки для оставшихся степеней свободы, окончательно получим
(8.30)
m |
(8.31) |
L = -qф+qv.А+"2V ·V. |
') в рамках гамильтонова формализма обобщенные координаты обозначаются символом q.
Здесь этот символ не следует путать с зарядом - Прuм.еч авm
244 Гл 8. Излучение света
Чтобы записать гамильтониан, нужно ввести канонический импульс р = (Р,г,Р!I'Р:),
сопряженный обобщенным координатам q = (х. У, z) согласно равенству р, = DL/Dq;.
Таким образом канонический импульс оказывается равным
и складывается из механического импульса mv и импульса поля qA. Переход от функции Лагранжа к гамильтониану осуществляется согласно формуле
H(q, р) = L [Piqi - L(q, q)], |
(8.33) |
где обобщенные скорости qi должны быть выражены через обобщенные коорди
наты qi и сопряженные импульсы Pi. Это легко сделать, используя (8.32), откуда
следует |
равенство qi = p~/т - qAi/m. Подставляя последнее равенство |
в (830) |
и (8.33), |
окончательно имеем |
|
|
Н = 21т (р - qA)2 + qф. |
(8.34) |
Полученное выражение представляет собой гамильтониан свободного точеного за
ряда |
q массы т |
во внешнем электромагнитном поле. Первое слагаемое - |
кине |
тическая |
энергия, |
второе - потенциальная энергия заряда. Отметим, что вывод L |
и Н |
не |
зависит |
от калибровки, т. е. мы не налагаем никаких условий на |
V'. А |
Прямой подстановкой гамильтониана (8.34) в канонические уравнения qi = аН/др, и Pi = -DH/Dqi можно получить уравнение движения (8.23).
Гамильтониан (8.34) еще не является функцией Гамильтона системы «заряд+поле.).
поскольку выражает энергию частицы в поле, но не учитывает энергии собственно поля. Кроме того, если заряд взаимодействует с другими зарядами, как это
происходит в атоме или молекуле, мы должны принять во внимание и межзарядовое
взаимодействие. В общем случае полный гамильтониан системы зарядов может быть
записан в виде |
(8.35) |
H tot = Hparticle + Hrad + Hint, |
где Hrad - гамильтониан электромагнитного поля в отсутствие зарядов, а Hpltlti(l(' - гамильтониан частицы (системы зарядов) в отсутствие поля. Взаимодействие между двумя этими системами описывается гамильтонианом взаимодействия Hillt . Опреде
лим индивидуальный вклад каждого слагаемого.
Гамильтониан частицы Hparticlc определяется суммой кинетических энергий
рnрn/(2тп) N зарядов и потенциальной энергией V(rrn, r.,) между зарядами (меж
молекулярный потенциал), т. е.
Hpalticle = L [Р2nРn + V(rrn , r n )], |
(836) |
n,т |
тn |
|
где n-я частица определяется зарядом qn, |
массой тn и координатами r ll • |
Отметим, |
что слагаемое V(rrn, r n ) представляет собой чисто кулоновское взаимодействие меж
ду зарядами в отсутствие внешнего поля.
Гамильтониан Hrad определяется интегрированием плотности энергии электро-
магнитного поля W по всему пространству 1):
НГМ = 2"1 f(€oE 2 + -1 В2) dV, (8.37)
/1-0
1) Этот интеграл расходится, что создает определенные трудности для развития квантовой
82 Классический га.мильmониан ~часmица+nоле" |
245 |
где Е2 = IEI:2 И В:2 = IBI2. Следует отметить, что учет H rad необходим для строгого
квантово-электродинамического описания взаимодействия света с веществом. Это
слагаемое гарантирует консервативность системы, состоящей из зарядов и поля, поз
воляя описать обмен энергией между зарядовой и полевой подсистемами. Спонтанное
излучение является прямым следствием включения Hrad и не может быть получено
путем полуклассического расчета, не принимающего во внимание этого слагаемого.
Наконец, чтобы определить H int , рассмотрим сначала одиночный заряд. Каждый
такой заряд вносит в гамильтониан взаимодействия вклад, определяемый равен
ством (8.34):
|
|
2 |
|
Н- рр =-..!L(р.А+А'р)+.!LАА+qф. |
(8.38) |
2т |
2т |
2т |
|
Зд.есь мы вычли кинетическую энергию заряда из классического гамильтониана «ча
стица+поле», поскольку это слагаемое уже включено в Hparticle. Используя равенство
р . А = А . р и затем суммируя по всем N зарядам системы, Hint можно переписать
в виде ')
(8.39)
В с.1едующеЙ части мы покажем, что Hint можно разложить в ряд по мультипольным
моментам аналогично тому, как это делалось дЛЯ VE и VJI/.
8.2.1. МУJlЬТИПОJlьное раЗJlожение гаМИJlьтониана взаимодействия. Выра женный в терминах векторного А и скалярного 'Р потенциалов гамильтониан не определен однозначно в силу неоднозначности выбора потенциалов. Если сделать
замену
где \ (г, t) - произвольная калибровочная функция координат и времени, то уравне
ния Максвелла при этом не изменятся. Это легко проверить, проведя замену (8.40)
в уравнения (8.24) и (8.25). Чтобы устранить неоднозначность, вызванную свободой калибровки, нужно выразить H int В терминах измеримых величин Е и В. ДЛЯ
этого разложим электрическое и магнитное поля в ряд Тейлора в окрестности г = О
(ср. (8.8»:
Е(г) = Е(О) + (г· V)E(O) + ~(г. V)2E(0) + ... , |
(8.41) |
В(г) = В(О) + (г· V)B(O) + ~(г. V)2B(0) + .. . |
(8.42) |
и подставим эти разложения в определение А и Ф (см. (8.24-8.25». Теперь следует
провести разложение векторного и скалярного потенциалов в терминах Е и В таким
образом, чтобы левые и правые части (8.24) и (8.25) окались равны. Эти разложения
1) В квантовой механике канонический импульс р преобразуется в оператор по правилу
р ~ -ln\1 (правило Йордана), при этом H int также становится оператором. Напомним, что р
и А коммутируют только в Кулоновской калибровке (\1 . А = О)
246 |
Гл |
8 Излучение света |
были определены Барроном и Греем [5]: |
|
|
|
_ |
Ф |
( |
О) - |
~ г(г· V')' |
Ф(г) - |
|
~ |
(z+ 1)! ·Е(О), |
|
|
|
|
.=0 |
(8.43) |
|
|
|
|
|
|
А(г) |
|
~ (г· V')' |
= ~ ( |
|
2) , . В(О) х г. |
|
|
|
z + |
|
z. |
|
|
|
•=0 |
|
|
|
Подставляя полученные равенства |
|
в (8.39), |
приходим к так называемому мультu |
nолыtOМУ гамuльтониану взаимодействия:
|
|
|
|
.... |
(8.44) |
|
Нiпt=qtotФ(О, t)-J1' Е(О, t)-m . В(О, t)-(QV') . Е(О. t)- .... |
|
где введены обозначения |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
(845) |
|
m = ~ -2-Гn х Pn, |
Q= L ~!гn ®r ll • |
|
|
|
'"' |
qn |
- |
|
|
|
n |
т" |
|
7/ |
|
|
причем Qtot - полный заряд системы, J1 |
- |
полный электрический дипольный момент. |
|
|
|
|
.... |
|
m - полный магнитный дипольный момент, Q - полный электрический квадруполь ный момент. Если система зарядов электрически нейтральна, первое слагаемое в Hill!
исчезает, и нам остается рассмотреть выражение, которое выглядит подобно раннему
разложению потенциальной энергии на электрическую и магнитную части: \ТЕ + \~H Однако эти два разложения не идентичны! Во-первых. новый магнитный дипольный
момент определен в терминах канонического импульса Рn, а не в терминах клас
сического механического импульса тnГn. 1) Во-вторых. разложение Hillt содержит
нелинейный по В(О, t) член, |
который отсутствует в разложении VE + \~H. |
Нели |
нейное слагаемое возникает |
из |
имеющегося в гамильтониане произведения |
А· А |
и относится к диамагнитному члену. Записывается оно следующим образом: |
|
|
L |
2 |
|
|
8~n [гn х В(О, t)]2 . |
(8.46) |
n
Выражение для VE и Vu, полученное нами ранее, было рассчитано для слабого
поля. При этом запаздыванием мы пренебрегаем. В этом приближении нелинеЙНЫI\I членом (8.46) можно пренебречь, и тогда канонический импульс может быть аппрок
симирован классическим механическим импульсом.
Мультипольный гамильтониан взаимодействия можно легко преобразовать в опе
ратор по правилу |
замены |
Р - -zhV' (так называемое правило Йордана (Jогdап)) |
и заменой полей |
Е и В |
соответствующими операторами электрического и маг |
нитного полей. Однако такая замена пока не входит в область наших интересов
Заметим, что |
гамильтониан |
H int В |
(8.44) не зависит от калибровки |
Калибровка |
сказывается |
на нем только |
тогда, |
когда H illt выражен в терминах |
А и о. но |
не тогда, когда он выражается через измеримые поля Е и В. Первое слагаемое в мультипольном гамильтониане электронейтральной системы отвечает за дипольное взаимодействие и идентично соответствующему слагаемому в VB . В большинстве случаев остальными слагаемыми более высокой мультипольности можно пренебречь
1) Калибровочное преобразование также преобразует канонический импульс. поэтому ка
нонический импульс РП отличается от исходного канонического импульса р"
8 3 Излучение электрического диполя |
247 |
Это приближение в особенности справедливо для взаимодействий в дальнем поле, где магнитное дипольное и электрическое квадрупольное взаимодействия примерно на два порядка слабее, чем электродипольное взаимодействие. По этой причине стандартные правила отбора для оптических переходов базируются на электрическом
д.ипольном взаимодействии. Однако в строго ограниченных полях, встречающихся
в оптике ближнего поля, в разложении Hint становятся существенными слагаемые бо.,ее высокой мультипольности, и стандартные правила отбора могут быть наруше
ны. В завершение следует заметить, что мультипольная форма H illt может быть также
получена из (8.39) унитарным преобразованием [6]. Это преобразование, обычно называемое преобразованием Пауэра-Зиенау-Вулли (Power-Zienau-Woolley), играет важную роль в квантовой оптике [3].
Мы установили, что в первом приближении любая электрически нейтральная си
стема зарядов (частица), размеры которой меньше длины волны излучения, выглядит
как диполь. В следующем разделе мы рассмотрим ее излучательные свойства.
8.3. Излучение электрического диполя
Плотность тока системы зарядов qn С координатами гn и скоростями Гl1 , опреде
.lенную равенством 8.2, можно разложить в ряд Тейлора в окрестности го. При этом обычно полагают, что го соответствует центру системы зарядов. Если удерживать
,1ИШЬ первый по порядку малости член разложения, то
j(r, t) = 1tjJ.(t)б(г - го), |
(8.47) |
где дипольный момент дается равенством
(8.48)
n
Дипольный момент идентичен определенному в 8.11, если положить го = О. Пусть введенные величины зависят от времени по гармоническому закону. Тогда можно
записать плотность тока в виде j(r, t) = Re U(r) ехр(-u.vt)] , а дипольный |
момент |
в виде jJ.(t) = Re [jJ.exp( -iwt)]. Теперь уравнение 8.47 можно переписать: |
|
j(r) = -iwjJ.б(г - го). |
(8.49) |
Таким образом, в первом порядке мультипольного разложения плотность тока можно
представлять как колеблющийся диполь, располагающийся в центре системы за
рядов.
8.3.1. Поле электрического диполя в однородном пространстве. В этом
разделе мы получим поле диполя, представляющего собой плотность тока малой
системы зарядов в однородном, изотропном и линейном пространстве. Поле диполя l\IOЖНО получить, рассмотрев колебания двух зарядов q противоположного знака,
разделенных бесконечно малым вектором ds. В этой физической картине дипольный момент дается равенством jJ. = qds. Однако более элегантный путь состоит в исполь
зовании формализма функций Грина, развитого в разд. 2.10, где мы получили так называемые объемные интегральные уравнения (ср. (2.80) и (2.81»:
Е(г) = Ео+ u.vj.Lj.Lo J С(г,r')j(r')dV', |
(8.50) |
v |
|
Н(г)=Но + J[vxG(r,r')]j(r')dV'. |
(8.51) |
248 |
Гл 8. Излучение света |
Здесь G - диадная функция Грина, Ео, Но - напряженности электрического и
магнитного полей в отсутствие тока j. Интегрирование ведется по переменной г/,
пробегающей по всему объему источника. Если подставить выражения для тока
из (8.49) в последние два равенства и предположить, что все поля создаются
диполем, получим
|
|
|
|
Е(г) = "",2J.tJ.toG(r, rO)I1, |
|
|
(852) |
|
|
|
|
Н(г) = -i"", [У' х G(r, го)] 11. |
|
(853) |
Следовательно, |
поле произвольно |
ориентированного электрического диполя, |
распо- |
ложенного в точке г = го, |
|
|
|
|
|
|
|
<-+ |
|
определяется функцией Грина G(r, го). Как было отмечено |
|
|
|
|
+-+ |
|
|
|
|
|
|
ранее, каждый столбец вектора G определяет электрическое поле диполя, ось KOT~ |
рого направлена вдоль одной из осей координат. Для однородного пространства G |
задается следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
.... |
[<-+ |
1 |
V ~ V |
] |
С(г, го), |
С( |
г,го |
) _ exp(zklr - rol) |
(854) |
G(r, го) |
= |
1 + k2 |
|
|
- |
47r IГ - гоl' |
|
..... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 1 - единичная |
диада |
и С(г, го) - скалярная |
функция Грина. Теперь |
можно |
+-+
непосредствен~ рассчитать G(r, го) в трех основных системах координат. В декар-
товой системе G можно представить в виде
<-+( |
) = exp(zkR) [(1 + zkR - |
1) 1+ 3- 3zkR - k2 R2 R@R] |
(8.55) |
Gг, го |
4 |
R |
2 2 |
2 .) |
')' |
|
|
7r |
kR |
kR- |
R- |
|
где R - величина вектора R = г - го, R ~ R - тензорное произведение вектора на самого себя. Равенство (8.55) определяет симметричную матрицу 3 х 3:
+-+ |
(Схх |
Сху |
Gxz) |
, |
(856) |
G = |
Сух |
Суу |
Gyz |
|
Gzx |
Gzy |
Gzz |
|
|
которая совместно с (8.52) и (8.53) определяет электромагнитное пол:,.произвольного
электрического диполя 11 с проекциями J.tJ.' J.ty, J.tz. Тензор [V х G] |
может |
быть |
записан следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<-+ |
_ |
exp(zkR) k (R Х 1) (: __1) |
|
|
|
(8.57) |
V х G(r.ro) - |
47rR |
R |
t kR' |
|
|
|
где R х 1 - матрица, образованная векторным произведением R с каждым столб- |
+-+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цом 1. |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-,"} |
+-+ |
|
|
|
|
|
. (kR) |
Функция Грина G включает в себя слагаемые, пропорциональные (kR) |
|
- |
и (kR)-З. В случае R» л говорят о дальнем поле, и в этом приближении «вы живаеТ» только слагаемое, пропорциональное (kRг1 • В противоположном случае ближнего поля, R« л, в функции Грина доминирует слагаемое порядка (kR)-З Слагаемое порядка (kR)-2 преобладает в случае так называемого среднего поля при
R ~ л. Чтобы различить эти диапазоны, запишем
G = GNF + G IF + GFF, |
(8.58) |
|
8 3. |
Излучение электрического диполя |
|
249 |
где функции Грина ближнего поля G NF , среднего поля G 1F и дальнего поля GFF |
даются равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
G |
= exp(zkR) |
1 |
(-1 +зR0R) |
(8.59) |
|
NF |
4KR k2R2 |
R2' |
|
|
G = exp(lkR) |
l |
(1 _зR0R) |
' |
(8.60) |
|
|
lF |
4KR |
kR |
R2 |
|
|
|
G = exp(zkR) (1 _ R@ R) |
|
(8.61 ) |
|
|
FF |
4KR |
|
R2' |
|
|
3аыетим. что |
«среднее поле» |
сдвинуто |
по фазе на 7г/2 |
относительно |
ближнего |
и дальнего полей. |
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
диполь помещен |
в однородное окружение, |
все три его ориентации |
приводят К идентичным полям, которые переводятся друг в друга соответствующим
поворотом системы координат. Поэтому для удоб ства изложения мы выберем сферическую систему
координат, в которой г = го, а дипольный момент
направлен вдоль оси Z, т. е. J.I. = IJ.l.lnz (см. рис. 8.2).
Поля удобно также представить в сферической си cTe~le координат г = (г, 19,~) и задать поле в виде
Е = (Е,. Ео. Е;р). В такой системе координат Е'Р'
Н, и Н,; равны нулю, а ненулевые компоненты
даются равенствами
Тот факт. что Е/. не включает в себя слагаемых
«дальнего поля.), свидетельствует о том, что даль-
z
х
Рис. 8.2. Поле ДИПОЛЯ удобнее
всего описывать в сферической
системе координат (Т, rJ, 'Р), в ко
торой дипольный момент ориен-
тирован вдоль оси z (О = О)
нее поле чисто поперечное. Более того, коль скоро магнитное поле лишено слагаемых
вида (".,.)-:3, В ближнем поле доминирует электрическая компонента, что оправдывает
квазиэлектростатический подход.
Итак. мы рассмотрели гармонический осциллирующий диполь, дипольный момент
которого имеет вид J.I.(t) = Re[J.l.exp (-iwt)], вследствие чего электромагнитное поле
диполя также колеблется с той же частотой. И хотя путем создания суперпозиции
~юнохроматических полей можно сконструировать любую временную зависимость
(преобразование Фурье), для задач, связанных со сверхбыстрыми процессами, крайне
полезно располагать полной временной зависимостью. Поле диполя J.I.(t), произвольно
зависящего от времени, может быть получено с помощью нестационарной функции
Грина. В недиспергирующей среде явную зависимость от времени легче ввести,
используя подстановки
(8.65)
250 |
Гл. 8. Излучение света |
|
|
|
l000~----~--------~--~ |
|
Поперечное поле |
Продольное поле |
|
|
100 |
|
|
|
10 |
|
|
|
1 |
|
|
0.1 0.2 0.5 1 2 |
0.1 0.2 0.5 1 2 |
!) 10 |
|
kr |
kr |
|
Рис 8.3 |
Затухание поперечной и продольной компонент поля диполя I&(t) |
Кривые представ |
ляют модуль выражений в скобках 8.62 и 8.63 соответственно И поперечная, и продольная
компоненты дают вклад в ближнее поле, тогда как в дальнем поле 4выживает. только попе
речная компонента Отметим, что пропорциональное (kr)-2 среднее поле не обнаруживается
в случае поперечной компоненты Вместо этого при (kr) < 1 доминирует ближнее поле. а при
(kr) > 1 - дальнее
где n означает бездисперсионный коэффициент преломления 1)
ляет запаздывание. Проведя такую подстановку. получим
сosд |
|
d |
IIL(t - |
m·/c)l. |
Er(t) = 4 |
(~ + ~ ~dt ) |
1ГЕ:оЕ: |
т |
С r |
|
|
и (t - т'/С) опреде
(8.66)
|
( ) |
sin д |
(1 |
n 1 d |
n2 1 ~ ) |
Efjt |
= -- |
-+---+---- |
|
|
t |
41ГЕ:оЕ: |
rЗ |
с т2 dt |
J r dt2 |
|
|
sind ~E:O |
(n |
|
+ --- |
Нср |
( ) |
|
1 d |
n2 1 d2 |
) |
|
= -- |
-- |
--- |
J r dt2 |
|
|
|
41ГЕ:оЕ: |
J.I.O~ |
С т2 dt |
|
I ( |
/ I |
(8.67) |
ILt-nтс). |
IlL(f - |
m'/(")1. |
(8.68) |
Рис 8.4 ПЛотность электрической энергии вне воображаемой сферы. окружающей ди
поль 1& = /1",. (Слева) Вблизи дипольного источника распределение поля вытянуто вдоль оси
диполя (ближнее поле). (Справа) На больших расстояниях поле распространяется перпен.:J.И- кулярно оси диполя (дальнее поле)
1) Отличающийся от единицы бездисперсионный коэффициент преломления - Ilриб."иже
ние. поскольку его введение нарушает причинность
8 3 Излучение электрического диполя |
251 |
Мы видим, что дальнее поле формируется благодаря ускорению создающих диполь
ный момент зарядов. Сходным образом среднее поле и ближнее поле определяются
скоростью и положением зарядов соответственно.
8.3.2. Дипольное излучение. Можно показать (см. задачу 8.З), что только да.lьнее поле вносит вклад в перенос энергии. Связанный с дальним полем вектор
Пойнтинга 8и) можно записать, удерживая в выражении для поля диполя лишь
С.1агаемые, пропорциональные r- I . Таким образом, получаем
8(О = E(t) х H(t) = -~-Sin: () n: |
[d22 |
111 (t _ nт)1] 2 n r . |
(8.69) |
167Г сос r с |
dt |
с |
|
Поток мощности излучения рассчитывается путем интегрирования вектора Пойнтин га по замкнутой сферической поверхности:
P(t) = f 8(t),nda=_1_2n3 |
[d2111(t)l] 2 , |
(8.70) |
47Гсос 3с3 |
dt2 |
|
д\/
где радиус сферы стремится к нулю, что позволяет избавиться от запаздывания.
Средний поток мощности излучения гармонически осциллирующего диполя оказы-
вается при этом равным
(8.71 )
и также может быть рассчитан интегрированием усредненного по времени вектора
Пойнтинга (8) = (lj2)Re(E х Н*), а Е и Н - комплексные амплитуды электрическо
го и магнитного полей диполя, заданные равенствами (8.62)-(8.64). Из полученного
выше равенства видно, что поток мощности пропорционален четвертой степени ча
стоты. Чтобы определить нормированное угловое распределение мощности, рассчита e~1 мощность Р(l~, .р), рассеянную в бесконечно малый телесный угол df2 = sin {)d{)d.p,
и разделим на полную мощность Р:
Р«(},<Р)_ 3, . 2 . 0 |
(8.72) |
-р - 87Г sш ·v. |
Таким образом, большая часть энергии излучается в направлении, перпендикулярном
дипольному моменту, а в направлениях, коллинеарных дипольному моменту, излуче
ние отсутствует
Хотя выше была рассмотрена произвольная зависимость дипольного момента от
времени, в дальнейшем мы ограничимся случаем гармонических колебаний. Такой
подход имеет непосредственное отношение к описанию дисперсии в случае по
.1еЙ, зависящих от времени по гармоническому закону, а произвольная зависимость
от времени может быть построена с использованием преобразования Фурье.
8.3.3. Скорость диссипации энергии в неоднородной среде. Согласно тео
реме Пойнтинга (см. (2.56)) поток излучаемой мощности в линейной среде любого
распределения зарядов, зависящего от времени по гармоническому закону, эквива
.1ентен скорости диссипации энергии dWj dt, которая дается равенством
~~~. = - ~ f Re(j* . E)dV, |
(8.7З) |
v |
|
где интегрирование ведется по объему источника. Важно заметить, что j - |
непол |
ная плотность тока, Напротив, эта величина представляет собой ток источника jb'
который создает поле, или ток потерь, связанный с тепловыми потерями. В любом
252 |
Гл. 8 Излучение света |
случае j включает в себя как источники, так и стоки энергии. Если ввести дипольную плотность тока согласно (8.49), в результате получим
(874)
где напряженность электрического поля Е рассчитана в центре диполя го. Это уравнение можно выразить в терминах функции Грина, используя (8.52):
dW _ |
t.i1 |
111 { |
[...... |
. ] |
} |
|
- d - |
|
2 |
ПJ.L· 1т G(го,го,ш) . Пр |
|
(875) |
- 2 - |
, |
t |
2с |
Е:оЕ: |
|
|
|
|
где ПJ.L - единичный вектор, сонаправленный дипольному моменту. С одной стороны. кажется невозможным решить уравнение (8.74), поскольку входящий в функцию
Грина множитель exp(ikR)/ R расходится при R = ГО, но, как мы увидим в дальней
шем, это не является существенным препятствием. Прежде всего обратим ВНШlание на то, что благодаря скалярному произведению IJ.E дЛЯ вычислений потребуется лишь
проекция Е на направление IJ.. |
Полагая IJ. = 1IJ.lпz , записываем проекцию Ео . |
E z =_II1I- exp(1kR) |
[k2 sin2 19+~(3 СОБ2 19-1)- zk (3 СОБ2 1~-1)] . |
(8.76) |
4nЕ:оЕ: |
R |
R 2 |
R |
|
Поскольку нас интересует поле в центре диполя, можно разложить |
экспоненту |
в ряд (ехр(ikr) = 1 + ikR + (1/2) (ikR)2 + (1/6)(ikR)3 + ... |
) И рассмотреть предел при |
R -+ О. Таким образом, получаем
dИ! _. |
W |
_ wll11 2 |
• |
[2 |
3 |
+R |
2 |
(... )+ ... |
] _11112 |
W .3 |
(877) |
-d - |
11т |
-21IJ.I1m(Еz)--S- |
11т |
-зk |
|
|
--12 |
- k , |
t |
R-+O |
|
nЕ:оЕ: R-+O |
|
|
|
|
|
n |
Е:оЕ: |
|
что эквивалентно равенству (8.71). Следовательно, уравнение (8.74) приводит к пра
вильному результату, несмотря на явную расходимость при Н = О.
Важность уравнения (8.74) становится очевидной, если мы рассмотрим излу
чающий диполь в неоднородной среде, например атом в резонаторе или молеКУ"1У
в сверхрешетке. Скорость, с которой излучается энергия, может быть по-прежне~IУ
получена интегрированием вектора Пойнтинга по поверхности, окружающей излу чающий диполь. Однако чтобы провести эти вычисление, требуется знать значение
электромагнитного поля на всей замкнутой поверхности. Но вследствие неодно
РОДНОСТИ среды это поле не совпадает с полем уединенного диполя! Напротив.
это будет самосогласованное поле, т. е.
диполя ЕО и рассеянного средой поля Es '
поле Е, создаваемое суперпозицией поля
Таким образом, чтобы определить энергию.
поглощенную диполем, нужно сначала определить электромагнитное поле повсюду
в окружающем диполь пространстве. Однако, используя (8.74), мы можем проделать ту же работу одним лишь вычислением полного поля в точке Го. Удобно разложить
напряженность электрического поля в точке расположения диполя на два слагаемых
|
(8.78) |
где ЕО и Е" - первичное поле диполя и рассеянное поле соответственно |
Подста |
новка (8.78) в (8.74) позволяет разделить мощность потерь Р = ан!/а, также на два |
слагаемых, причем вклад ЕО определяется равенствами (8.71) и (8.77): |
|
Р = ~~k3, |
(8.79) |
О |
|
12n Е:оЕ: |
|
