Новотный и Хехт, Основы нанооптики

Рис 149. Зависимость нормированной спектральной плотности коэффициента релаксации от

угловой частоты VJ при температурах Т = 3 К, Т = 30 К, Т = 300 К, 10 = а;!/ z~, где (J (радиус

частицы) и Zo (расстояние между зондом и образцом) заданы в нанометрах а - Подложка и частица изготовлены из металла (Ag); б - положка и частица изготовлены из диэлектрика

(Si02 ) Заимствовано из [17]

играют незначительную роль. Большое значение имеет и то обстоятельство, что тепловые флуктуации значительны в низкочастотном диапазоне от О до 100 Гц.

и серебра весьма удивительна. Однако ее можно качественно объяснить следую­ щим образом. Флуктуации тока в частице и подложке порождают флуктуирующее электромагнитное поле. Это поле поляризует частицу и наводит электрический

дипольный момент вместе с соответствующим диполем-изображением под поверх­ ностью подложки. Движение частицы приводит к движению диполя-изображения. Связанные с движением диполя-изображения джоулевы потери растут по мере роста

сопротивления подложки. Следовательно, коэффициент релаксации также растет. По мере роста сопротивления нужно совершать большую работу для перемещения

диполя под поверхностью, и, следовательно, коэффициент релаксации увеличивается. В пределе идеального диэлектрика индуцированный диполь нельзя сместить, и зату­

хание становится бесконечно большим. С одной стороны, удивительно обнаружить такой результат в идеальном (без потерь) диэлектрике, поскольку в нем отсутствует диссипация. С другой стороны, с точки зрения принципа причинности (соотношения Крамерса-Кронига), а также флуктуационно-диссипационной теоремы (флуктуации влекут за собой диссипацию) диэлектрик без потерь не может существовать. Тем не менее в пределе при Т -+ О постоянная релаксации становится равной нулю даже для идеального диэлектрика. Отметим, что поскольку 1'0 гораздо слабее в металлах,

влокальных измерениях трения металлы оказываются прозрачными, и тем самым

выявляются скрытые диэлектрические структуры. Это свойство можно использовать для визуализации подповерхностных структур в металле и для выявления дефектов

424Гл 14 Взаимодействия, обусловленные флуктуациями

14.4.ВЫВОДЫ

Вэтой главе мы вывели флуктуационно-диссипационную теорему и обсудили

соответствующие явления. Полученная теорема является фундаментальным резуль­

татом и чрезвычайно важна во множестве областей науки и технологий. Например, теорема объясняет броуновское движение в жидкостях и белый шум в электриче­ ских резисторах. В приложении к электромагнитным полям и источникам теорема

объясняет появление спектра излучения черного тела, перенос тепла излучением

и предсказывает спектр электромагнитного излучения вблизи поверхностей веще­

ства. Мы применили теорему для вывода дисперсионной силы, действующей между

отдельными объектами, и обнаружили, что для малых тел силу можно предста­

вить потенциалом Казимира-Полдера. В случае тел, находящихся в относительном

движении, тепловые флуктуации порождают диссипативные силы взаимодействия

(трение) даже в отсутствие механического контакта между телами. Поразительно,

что флуктуационно-диссипационная теорема имеет отношение к такому множеству

очевидно различных физических явлений. Однако следует иметь в виду, что теоре­

ма становится неудовлетворительной для систем, находящихся вдали от состояния

равновесия. В этом случае отклик системы зависит от конкретной динамики ее

составных частей

Задачи

14.1. Выведите равенство (14.10) с помощью разложения функции распределения

в ряд (14.9).

14.2Равенство (14.47) задает спектральную плотность энергии W'" как функцию диэлектрической проницаемости e(r,w). Выведите аналогичное равенство для

системы, состоящей из N частиц с координатами гn и поляризуемостью an(w).

Указание: примените флуктуационно-диссипационную теорему (14.19).

143 Определите спектральную плотность энергии И'"" излучаемой в результате флуктуаций источников малой частицы (диаметр которой «: л) с поляризуе­ мостью о. Покажите, что плотности электрической и магнитной энергий равны и что вклад ближнего поля при этом отсутствует. Указание: воспользуйтесь функциями Грина, заданными равенствами (8.55) и (8.57).

144. Поляризуемость алюминиевого кластера можно аппроксимировать квазистати­

где wl' и "( - плазменная частота и коэффициент релаксации соответственно.

Хорошее соответствие имеет место при nWp = 15,565 эВ и n'У = 0,608 эВ. Рассчитайте средний квадрат флуктуаций дипольного момента в частотном

14.5.Выведите выражение для силы (14.60), начав с (14.54) и следуя схеме, описан­

ной в разд. 14.3.

14.6.Поляризуемость атома гелия можно аппроксимировать лоренцевским контуром следующим образом:

1.Выведите a(ir,) и покажите, что эта величина вещественная. Используйте приближение 'Уо « wo·

2.Потенциал Ван-дер-Ваальса между двумя атомами гелия можно представить

равенством Uу = -с6/R6. Рассчитайте коэффициент С6 и выразите его в тер­

минах а(О) и 1iыo. Итоговое выражение известно как эмпирическая формула

-х

3.Определите расстояние Ro, для которого Uу равен потенциалу Казимира

(Uс). Считайте ..\ = 2rrC/WO ~ 58 нм.

4.Статическая поляризуемость задана равенством а(О) = 2,280·10-41 см2 • в-1

И Wo дается ..\0 ~ 58 нм. Постройте зависимость потенциала Казимира-Полдера от расстояния R. Рассмотрите графики функций Uу и Uс и обсудите справед­ ливость этих приближений. Рассчитайте значение Uср на расстоянии П{).

Список литературы

1. Callen Н. В, Welton Т. А Irreversibility and generalized noise / / Phys Rev 1951 V 83 Р 34-40.

2 Chandler D. Introduction to Modern Statistical Mechanics - New York Oxford University Press. - 1987.

1 Electromagnetic-field response functions and bIack-Ьоdу fluctuations in finite geometries / /

9 Stefano О D , Savasta S , and Girlanda R Three-dimensional electromagnetic field quantization in absorbing and dispersive bounded dielectrics / / Phys Rev А 2000 V 61 Р 023803

10Eckhardt W. First and second fluctuation-dissipation theorem in electromagnetic fluctuation theory / / Opt Сотт 1982. У.41 Р.305-308

Вэлектродинамике дивергенция электрического и магнитного полей в безграничной линейной изотропной однородной среде в отсутствие источников всегда равна нулю.

Вэтом случае векторная гармоника L должна быть исключена из разложения [4]

иэлектромагнитное поле можно полностью разложить по гармоникам М и N.

Врамках техники МММ бесконечное пространство разделяется на подобла­ сти Di . Границы раздела между отдельными подобластями обычно соответствуют

реальным границам вещества с конкретными материальными свойствами, но тем

же образом можно определить и воображаемые границы. В каждой области D;

скалярное поле f можно аппроксимировать рядом

(15.8)

j

где базисные функции fJ охватывают все известные аналитические решения уравне­

ния Гельмгольца (15.2). Чтобы не перегружать обозначения, в дальнейшем индекс (-,)

опустим. Особую значимость дЛЯ МММ имеют решения в сферической системе

координат.

В сферической системе координат r = (R, {), <р) решение уравнения (152) можно

переписать в хорошо знакомой форме

(15.9)

где уnт - сферическая гармоника, а Ьn Е Ьn, Уn, h~I), h~)J - сферические функции

Бесселя, из которых только две являются линейно независимыми. Решения радиаль­

ного уравнения, представленные функциями Бесселя первого рода и,,), называются

нормальным разложением, тогда как решения, представленные тремя остальными

радиальными функциями, называются мульmиnолями. Аналогичные соотношения

имеют место для цилиндрических решений, соответствующих двумерным задачам.

Мультиполи, представленные функцией Ханкеля первого рода (lt~,I)) (излучающие

мультиполи), особенно привлекательны, поскольку представляют собой расходящи­

еся волны, удовлетворяющие на бесконечности условию излучения 30ммерфельда

В силу того что эти функции имеют особенность в начале координат, их следует

применять для описания поля вне порождающей это поле области. Напротив, нор­ мальное разложение остается ограниченным в конечной области, но не удовлетворяет условию излучения, поэтому его следует использовать внутри ограниченных областей.

Чтобы получить выражения для векторных гармоник М и N, предпочтительно положить вектор с в (15.3) равным радиусу-вектору R в сферической системе коор­

динат [3]. Первоначально требовалось, чтобы вектор с был постоянным, но в случае

с = R этого не требуется. Однако в сферической системе координат фактически

можно показать, что используя радиус-вектор можно получить два независимых

решения [3].

Выбирая с = R, получаем решение М, тангенциальное любой сферической по­

верхности R = сопst:

где М = [MR, Mt}, м",]. Оператор (\7 х R) совпадает, за исключением множителя i'"

с квантово-механическим оператором углового момента. Векторное поле N можно

получить из (15.4) и (15.10).

изотропной среде в отсутствие источников полностью определяется двумя скаляр­

ными полями (потенциалами), которые удовлетворяют уравнению Гельмгольца и

граничным условиям [5, 6], можно ввести два потенциала, с помощью которых можно

получить все остальные векторные поля. В теории рассеяния Ми эти потенциалы

обычно выбираются в соответствии с потенциалами Дебая [7]. Техника МММ

следует аналогичному, но в чем-то более простому приближению, которое было

предложено Баукампом и Казимиром [5] а также используется в книге Джексона [8]. Два потенциала связаны с электрическим и магнитным полями согласно равенствам

и оба в явном виде даются равенством (15.9). Множитель п(n + 1) введен для

[Е", Н"] и [Е111 , Н'/]. с помощью уравнений Максвелла и векторных тождеств можно

показать, что поле, которое определяется потенциалом fC, соответствует равенствам

Поскольку радиальная компонента магнитного поля равна нулю, это решение на­

зывается nоnереЧНblМ магнитным (ТМ). Аналогично, потенциал 1''' определяет поперечное электрическое решение (ТЕ)

Общее решение представляет собой сумму решений ТЕ- и ТМ-типов. Полное разло­ жение по мультиполям порядка N, т. е. в ряд, в котором индексы т и n пробегают

значения от О до N (ср. (15.9)), содержит N(N + 2) параметров как дЛЯ ТЕ-, так

и для ТМ-случаев. В рамках техники МММ эти параметры следует определить из

граничных условий

Вблизи источника мультипольная функция зависит от расстояния как p-(n+I) и

поэтому влияет, главным образом, на непосредственное окружение. Этот факт под­

сказывает идею использовать несколько источников для разложения по мультиполям.

Такой подход, основанный на множествеННblХ мультиnолях, обеспечивает лучшую сходимость потенциала на границах, значительно отличающихся от сферических

поверхностей Обычно на границе подобласти выстраивают несколько мультиполей, по которым и будет разложено поле (см. рис. 15.1). Во избежание зависимости друг

от друга источники следует разнести на достаточное расстояние. Наивысшая степень и порядок отдельного мультиполя ограничены критерием пространственной выборки,

который зависит от разбиения границ и от близости мультиполя К границе [1].

На рис. 15.2 показано моделирование методом множественных мультиполей уеди­ ненного рассеивателя в свободном пространстве. Внутреннее поле рассеивателя пол­

ностью разложено по мультиполям, хотя для описания мультиполей во внутренней

области можно использовать нормальное разложение. Чтобы удовлетворить условию

излучения на бесконечности, для внешних полей можно использовать только мульти­

поли С Ь" = II~,I) Отметим, что для бесконечных разложений при т, n ---> 00 поля от-

D;

х

/

Разложение по мультиполям

преимущественно ближайшим мультиполем (обозначено секторами для поля в области D,)

дельных мультиполей являются линейно зависимыми. Таким образом, использование

нескольких источников дает возможность значительно сократить вычислительные

издержки.

а

Рис. 15.2 Моделирование одиночного рассеивателя методом множественных мультиполей а­

Мультиполи для внешней области, б - мультиполи для внутренней области Окружности указывают область наибольшего влияния Границы дискретизированы, и для каждой точки

сшивания решений указан вектор нормали

Неизвестные параметры aj~) в (15.8) следует определить из граничных условий

для электрического и магнитного полей, что можно сделать, сшивая разложения

(15.17) и (15.18) полностью удовлетворены всюду на границе (аналитическое реше­ ние), то условия (15.19) и (15.20) удовлетворяются автоматически. Чтобы ошибки

были более сбалансированными, в МММ рассматриваются все граничные условия. Проблемы с числовыми зависимостями можно уменьшить, используя переопределен­ ную систему уравнений (уравнений больше, чем неизвестных), которая решается

в среднеквадратичном смысле, т. е. путем минимизации квадратичных ошибок (воз­ можно, с некоторыми весами) в соответствующих точках. Эта процедура приводит

к более сглаженному распределению ошибок вдоль границ, чем обычное сшивание

в конечном числе точек. Вдобавок в каждой соответствующей точке можно рассчи­

тать погрешность и определить точность результата. Если результат недостаточно

точен, следует включить в разложение (15.8) дополнительные базисные функции или произвести замену на более подходящие. Выбор оптимального набора базисных

функций - наиболее сложная часть МММ, поскольку оптимум для каждой кон­ кретной задачи заранее неизвестен. Поэтому полезно иметь предварительные знания о системе, которые позволяют определить предпочтительные базисные функции. На­

пример, цилиндрические структуры следует раскладывать по цилиндрическим вол­

новодным модам, а не по мультиполям. Обычно решение этой задачи осуществляется более эффективно с использованием итеративной и интерактивной процедур. Раз­ работаны основанные на простых правилах алгоритмы размещения мультипольных

источников и алгоритмы определения максимально допустимых порядков и степеней

разложения функций.

Как только решена система уравнений и определены искомые коэффициенты, можно рассчитывать электромагнитное поле в любой точке пространства, поскольку

решение дано в аналитической форме (15.8). Отметим, что уравнения Максвелла

удовлетворяются внутри отдельных подобластей точно, тогда как на границах - лишь приближенно. Точность аппроксимации зависит от выбора базисных функций

и от алгоритма, который используется для поиска неизвестных коэффициентов. Система уравнений приводит к плотной матрице 1I! х N, которая обычно разре­

шается с помощью процедуры Гивенса (Givens) [9J. Время расчета пропорционально

Л!N 2 , где 1I! - число уравнений, а N - число неизвестных. Симметрия задачи

позволяет значительно снизить затраты на вычисления.

клина 2, внедренного в алюминиевый экран 3, плоской прозрачной стеклянной подложки 4, на которой расположена цилиндрическая серебряная частица 5. Поля в области 5 представлено

нормальным разложением

В качестве примера приведем рис. 15.3, на котором показана МММ-модель двумерного апертурного оптического микроскопа ближнего поля в области зонд-