Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

(12.141)

Теперь можно записать выражение для управляемой величины:

(12.142)

где С1 и С2 — произвольные постоянные. Из начального и конечного условий можно определить, что С1+С2= —у0, а также

Отметим, что принятие более сложного функционала

Пусть теперь в рассматриваемом примере функционал не содержит управляющей величины и имеет, например, вид

не зависит от вида полинома D(р). Подобный результат был получен другим способом ранее в § 8.8, когда экстремаль была решением характеристического уравнения .

Однако при отсутствии ограничений на вид D (р) реализация экстремали (12.148) может привести к физически не осуществимым регуляторам. Действительно, из (12.136) следует, что регулятор должен обеспечить управляющее воздействие вида

.

Однако уже первая производная (12.148) имеет при I = 0 разрыв первого рода, а вторая и следующие производные содержат слагаемые типа δ-функции и ее производных:

Поэтому физическая реализация возможна для степени D (р) не выше первой, но даже и в этом случае регулятор должен быть практически безынерционным.

Получение физически не реализуемого регулятора произошло вследствие отсутствия ограничений или учета управления в принятом функционале качества (12.146). Для получения возможности применения инерционных регуляторов в функционал качества можно вводить кроме управления и его производные. Однако в этом случае смысл функционала качества становится неясным.

Рассмотрим теперь замкнутую систему, у которой объект управления описывается дифференциальным уравнением

(12.149)

с начальным условием у (0) =y0. Требуется определить оптимальное управление

, переводящее систему в состояние у = 0 с бесконечным временем регулирования и минимизирующее функционал

и используя уравнения (12.130) или (12.132), а также уравнение объекта {12.149), можно получить характеристическое уравнение замкнутой оптимальной системы в виде

(12.151)

Корень, лежащий в левой полуплоскости,

Уравнение экстремали, проходящей через граничные точки,

Отсюда получается уравнение регулятора

(12.154)

Первое слагаемое в правой части (12.154) соответствует собственно искомому оптимальному закону регулирования

(12.155)

Второе слагаемое в правой части (12.154) соответствует постоянному значению управления , которое необходимо искусственно создать на выходе регулятора, чтобы в замкнутой системе до момента времени t=0 (т. е. при t < 0) управляемая величина была бы равна заданному значению y0. Как следует из (12.154), при t = 0 это постоянное управление снимается и система начнет приходить в согласованное положение.

Если при t < 0 рассматриваемая система была выключена и имела рассогласование у = у0, то слагаемое u0 не нужно и формула (12.154) сводится к (12.155).

Рассмотренный пример относится к так Называемому аналитическому конструированию регуляторов, которое будет изложено более подробно в § 12.10.

§ 12.9. Динамическое программирование

Метод динамического программирования был разработан Р. Беллманом [5]. Он применим не только для решения задач оптимизации систем управления, но и для самых различных технических и экономических задач. При обосновании этого метода предполагается, что функционал качества является дифференцируемой функцией фазовых координат системы. Заметим, что это условие выполняется не всегда.

Пусть система описывается совокупностью п уравнений, записанных для фазовых координат;

(12.156)

где fi — некоторые, в общем случае нелинейные функции фазовых координат и управлений. Число последних для общности принято равным числу фазовых координат.

Уравнения (12.156) можно представить также в матричной форме:

(12.157)

где х и u — матрицы-столбцы фазовых координат и управлений размером . В качестве критерия оптимальности примем минимум функционала

(12.158)

Функции f0 и ft, вообще говоря, могут содержать в явном виде текущее время t. Однако это не меняет принципиальной постановки задачи.

Целью управления является перевод системы из состояния при t=0 в состояние

. Такая задача управления называется терминальной, и она соответствует определению в фазовом пространстве оптимальной траектории с закрепленными концами.

Будем считать, что фазовые координаты и управления должны принадлежать некоторым замкнутым (ограниченным) пространствам, т. е.

(12.159)

Можно несколько расширить цель управления и считать, что конец траектории должен

только находиться в заданной области при t =-Т. Это будет задача со свободным концом траектории.

Вместо исходной можно решать более общую задачу отыскания оптимального управления для произвольной временной точки 0 < t0 < Т и произвольной точки в фазовом пространстве

в смысле минимума функционала

(12.160 )

Минимум функционала (12.160) зависит от начального момента времени tо и начальной

точки х0 = х (t0). Обозначим этот минимум через . Функция для некоторой совокупности фазовых координат x(t0) может, вообще говоря, не существовать, так как может не существовать допустимого управления, удовлетворяющего (12.156).

Если найдены функция и требуемое управление u (t, х0), то, положив , где а — матрица-столбец начальных условий, мы получим решение исходной задачи.

Принцип оптимальности. Примем начальные условия: при , оптимальное управление u (t, а0) реализует минимум функционала (12.160), а х (t, а0) — оптимальная траектория в фазовом пространстве. Выберем произвольный момент времени t1, принадлежащий интервалу t0 — Т, и обозначим через а1 точку на оптимальной траектории . Принцип оптимальности гласит следующее.

Если принять значения за начальные, то на интервале оптимальное управление совпадет с оптимальным управлением и, следовательно, участок

оптимальной траектории для задачи с начальной точкой (t0, а0) на интервале совпадет с оптимальной траекторией для задачи с начальной точкой . Доказательство достаточно очевидно. Оно исходит из того, что значение функционала качества на участке t1—Т должно быть одинаковым при управлениях u(t, а1) и u(t, а0). Если бы это было не так и значение функционала на этом интервале времени было бы, например, меньше для управления u(t, а1), то управление u(t, а0) можно было бы улучшить, заменив его на интервале t1—Т управлением , что противоречит принятому предположению об оптимальности управления .

Итак, в соответствии с изложенным введем функциональное уравнение

(12.161)

на основании которого может быть найдено оптимальное управление и (х). Если на промежутке t0 — Т выбрать промежуточную точку t1, то на основании принципа оптимальности

(12.162)

Функция и оптимальное управление обычно не могут быть найдены аналитическим путем. Для этой цели применяются приближенные методы с использованием вычислительных машин. Рассмотрим идею приближенного расчета.

Пусть t — фиксированное значение времени, а — малый отрезок времени, причем . Тогда

(12.163)

где функции связаны условиями (12.157).

Вид управления не оказывает влияния на первое слагаемое в правой части (12.163). Поэтому на рассматриваемом интервале времени следует так выбрать управление, чтобы минимизировать второе слагаемое в правой части (12.163) при выполнении условий

(12.164)

На основании принципа оптимальности перепишем (12.163) следующим образом:

(12.165)

На интервале должно быть выбрано так, чтобы минимизировать правую часть (12.165). От этого выбора зависят оба слагаемых правой части.

Заменим на малом интервале матричную функцию f(х, u) и функцию fо (х, u) их фиксированными значениями в точке t, а производную отношением конечных разностей

. Тогда вместо (12.165) можно записать приближенно

(12.166)

Кроме того, имеем

(12.167)

На основании (12.166) и (12.167) можно найти приближенное значение . Для

конечного момента времени Т и любых следует, что . Поэтому вычисление удобно начинать с конца, т. е. с момента времени t=Т и области GT. На первом шаге

расчета рассматривается момент времени

вследствие краевого условия принадлежит множеству Gт. Подставляя в (12.166) и (12.167) значение и учитывая, что , имеем

(12.169)

Далее фиксируется произвольная точка . Минимум правой части (12.169) вычисляется по тем значениям , для которых точка , определяемая вторым равенством (12.169), принадлежит подмножеству Х1. Находится значение функции на некотором подмножестве Х2 из Х1. На интервале управление

принимается постоянным и равным значению , реализующим . На интервале управление, как функция , было определено после первого шага. Так как связано с вторым равенством (12.169), то после двух шагов оказывается определенным управление на интервале времени . Это будет кусочно-постоянная функция с интервалами постоянства, равными .

Последующие шаги рассчитываются аналогично. Если весь интервал управления Т разбит на m шагов, то после m-го шага определяется функция на подмножестве Хm из X и управление u (0, х), как кусочно-постоянная функция с интервалами постоянства . Если начальная точка х (0) = а принадлежит подмножеству Хm, для которого определена функция

, то, положив х = а, получаем — минимум функционала (12.161) исходной задачи управления и — оптимальное управление. Подставляя затем оптимальное управление в (12.156) или (12.157) и решая систему исходных дифференциальных

уравнений, можно определить оптимальную траекторию движения .

Если х (0) = а не принадлежит подмножеству Хm, то задача не имеет решения. Надо учитывать при этом, что вся задача решалась приближенно, в том числе найдено было приближенно и подмножество Хm.

При использовании динамического программирования число шагов должно быть достаточно большим, чтобы получить приемлемую точность решения. В результате большой трудоемкости использование этого метода оказывается невозможным без применения вычислительных машин.

Серьезным недостатком метода является то, что с ростом размерности задачи (порядка n дифференциального уравнения) весьма серьезно возрастают требования к быстродействию и объему памяти вычислительных машин. Действительно, на k-м шаге вычисляется функция

, зависящая от переменных и определенная на множестве Хk. Ее надо

хранить в памяти машины до тех пор, пока не будет вычислена функция . Это значит, что в памяти машины должна храниться таблица, в которой записаны значения

для различных точек из Хk. Этих точек оказывается много, так как таблица должна достаточно точно и равномерно определять функцию . Кроме того, в памяти машины приходится запоминать кусочно-постоянную в общем случае «-мерную

функцию управления , зависящую от х1, . . ., хn и вычисленную при значениях аргумента т с интервалом .

В сложных системах объем вычислительных операций при реализации приближенного решения задачи динамического программирования оказывается непосильным даже для самых крупных и быстродействующих современных вычислительных машин.

Уравнение Беллмана. Введем предположение, что функция имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам: . Тогда в равенстве (12.166) функцию можно представить следующим образом:

(12.170)

Здесь — величина более высокого порядка малости, чем Входящие в правую

часть (12.170) производные удовлетворяют (12.156). Поэтому

(12.171)

Подставим (12.171) в (12.166). Функция не зависит от управления u(t) в момент t. Поэтому ее можно вынести за знак минимума. Деля полученное равенство на и переходя к пределу при , имеем

Уравнение (12.172) и представляет собой уравнение Беллмана с краевым условием . Сумма первых двух членов (12.172) есть полная производная функции по времени. Поэтому уравнение Беллмана можно записать в другом виде:

(12.174)

Требование непрерывной дифференцируемости функции является весьма жестким и во многих задачах не выполняется. В. Г. Болтянский показал [18], что можно ослабить требования к функции . В ней допускаются разрывы частных производных на некотором множестве точек.

Заметим, что если функции , не зависят явно от времени, то решение уравнения (12.174) — функция и оптимальное управление u, которое реализует минимум в (12.174), тоже

не зависит явно от времени, т. е. и u = u (х), однако в общем случае

.

Аналитическое нахождение функции т|з в явной форме удается только в некоторых частных случаях. Один из таких случаев рассмотрен в следующем параграфе.

(12.182)

В левой части (12.182) находится квадратичная форма переменных х1,...,хn- Она будет тождественно равна нулю при равенстве нулю всех ее коэффициентов:

(12.183)

В результате получена система из 0,5n(n+1) алгебраических уравнений, содержащих такое

же количество неизвестных (при учете равенства коэффициентов )

После нахождения неизвестных коэффициентов -угь из (12.178) можно определить оптимальное управление

(12.184)

Аналогичный результат может быть получен при использовании классических методов вариационного исчисления (§ 12.8).

Решение обратной задачи. В полученных формулах для оптимального управления конструктору -необходимо формировать управление в функции всех фазовых координат, так как

в (12.184) все коэффициенты .

Если конструктор может использовать ограниченное число фазовых координат, то часть коэффициентов dk в (12.184) должна быть тождественно равна нулю. В этом случае для формирования оптимального управления можно воспользоваться решением обратной задачи и отыскать допустимую форму функционала качества при неполном управлении. Для этого функционал качества (12.176) представим в измененном виде:

(12.185)

Минимизация функционала I1 вместо I не меняет задачи.

Будем считать отличные от нуля коэффициенты dk известными числами, а коэффициенты li

— неизвестными. Тогда совокупность уравнений (12.183) может быть представлена в виде

(12.186)

Эта система содержит 0,5n (n+1) неизвестных коэффициентов и n неизвестных коэффициентов функционала I1. Добавляя к уравнениям (12.186) n уравнений из (12.184)

(12.187)

получим систему уравнений, которая в принципе может быть разрешена относительно искомых неизвестных. Если система уравнений (12.186) и (12.187) имеет решение, при котором коэффициенты удовлетворяют критерию Сильвестра (12.181), а коэффициенты функционала

lk>0, то задача аналитического конструирования при заданном неполном управлении имеет смысл.

Так как коэффициенты функционала получаются в виде lk = 1k (d1; ... . . ., dn), то найденный ответ дает и решение прямой задачи. Варьируя коэффициенты управления dk в пределах,

допускаемых условиями Сильвестра и условиями , можно выбрать подходящий критерий качества и оптимальное управление.

Методика обратного решения аналитического конструирования может оказаться полезной и при возможности использования полного управления (в функции всех фазовых координат). Это объясняется тем, что система уравнений (12.186) и (12.187) оказывается линейной относительно

коэффициентов и решается проще, чем система уравнений (12.183), которая нелинейна

относительно искомых коэффициентов .

Векторное управление. В работах В. И. Зубова [46] рассматривается более общая задача, когда дан нестационарный объект, описываемый матричным уравнением

(12.188)

где А (t) и С, (t) — квадратные матрицы коэффициентов — матрицы-столбцы фазовых координат и управлений. Вводится квадратичный функционал вида

(12.189)

(12.190)

Матрица Г определяется решением нелинейного матричного уравнения

(12.191)

Для стационарных объектов матрицы А к С не зависят от времени и уравнение (12.191) принимает вид

(12.192)

В большинстве случаев результаты, полученные при аналитическом конструировании регуляторов, не могут быть реализованы точно вследствие необходимости использовать для управления все фазовые координаты. Поэтому приходится говорить лишь о приближенной реализации полученных условий оптимальности. Другие подходы к проблеме аналитического конструирования регуляторов содержатся в работах [46, 60, 62, 77, 133].

РАЗДЕЛ III ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

ГЛАВА 13 СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§ 13.1. Основные понятия

Линейными системами с переменными параметрами называются системы, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями временными во времени коэффициентами:

(13.1)

Коэффициенты а0, . . ., аn и b0, . . ., bm являются функциями времени, которые задаются либо графиками, построенными на основании эксперимента, либо аналитически.

течением времени вследствие выгорания топлива происходит изменение массы и моментов инерции. Если объект при своем движении меняет скорость и высоту, то возможно изменение его аэродинамических коэффициентов.

Рассмотрим переходную функцию и функцию веса системы с переменными параметрами. Так как коэффициенты уравнения (13.1) меняются с течением времени, то эти функции будут зависеть от момента приложения единичного скачка или единичного импульса на входе. На рис. 13.1, а изображен график изменения одного из коэффициентов уравнения (13.1) и переходная функция

(13.2)

где t — текущее время, отсчитываемое от некоторого момента, соответствующего, например, включению системы регулирования или началу изменения переменных параметров; ϑ — время, соответствующее поступлению на вход единичной ступенчатой функции; τ — текущее время, отсчитываемое от момента приложения ступенчатой функции.