Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

Перечисленные правила определяют основные свойства траекторий корней. Траектории вне нулей и полюсов функции G (р) находятся с помощью построения по точкам, после чего можно определить характер изменения К вдоль построенной таким образом кривой. После того как выбрано желаемое расположение корней характеристического уравнения, находится соответствующее значение К. Более подробно см. [128].

§ 12.4. Метод стандартных переходных характеристик

Для получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы можно воспользоваться стандартными переходными характеристиками. Для большей общности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времени

откладывается относительное время — среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющий быстродействие системы.

При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным распределением корней характеристического уравнения.

Ниже приводятся стандартные характеристики и соответствующие передаточные функции

[61].

Для систем с астатизмом первого порядка корни приняты вещественными, причем они составляют арифметическую прогрессию. В табл. 12.1

приведены передаточные функции разомкнутой системы для различных порядков характеристического уравнения n=2-4, получающиеся при этом значения перерегулирования и добротности по скорости Кв.

Нормированные переходные характеристики для каждого случая приведены на рис. 12.4, а. Для систем с астатизмом второго порядка корни: также приняты вещественными, причем

они составляют геометрическую прогрессию. Соответ ствующие передаточные функции приведены в табл. 12.2, а переходные характеристики — на рис.12.4,б.

В табл. 12.2 для различных порядков характеристического уравнения n= 2-6 приведены передаточные функции разомкнутой системы, перерегулирование σ% и добротность 'по ускорению Кε.

Использование метода стандартных переходных характеристик для синтеза заключается в том, что для принятой структурной схемы выбирается приемлемый вид переходного процесса. Это позволяет установить необходимое значение среднегеометрического корня . Далее оказываются известными все коэффициенты желаемой передаточной функции системы. Введением различных корректирующих средств необходимо добиться того, чтобы коэффициенты реальной передаточной функции были возможно ближе к коэффициентам желаемой передаточной функции.

Этот метод может применяться и в том случае, когда важно обеспечить-требуемую точность работы системы, которая может быть задана, например, при помощи коэффициентов ошибок. Тогда при заданных значениях коэффициентов ошибок можно определить требуемое

значение , а по ним найти величину . Далее расчет ведется так, как описано выше. Недостатком рассмотренного метода является то, что при построении стандартных переходных процессов приняты вещественные корни. Это во многих случаях не приводит к

оптимальному решению. Однако стандартные переходные характеристики можно сравнительно просто построить для любого другого расположения корней, в том числе и для комплексных корней. Предлагается, например, такое решение [61]. Пусть характеристическое уравнение записано в виде

где — среднегеометрический корень.

Если принять все корни равными и вещественными, то это характеристическое уравнение приобретает вид

(12.43)

В этом случае безразмерные коэффициенты А1, . . ., Аn-1 являются коэффициентами бинома Ньютона.

Однако переходный процесс затухает быстрее, если характеристическое уравнение при четном n имеет вид

причем безразмерный параметр затухания ξ = 0,7-0,8.

В табл. 12.3 для случая ξ = 0,75 приведены значения безразмерных коэффициентов А1, . . ., Аn-1, причем А0 = 1 и Аn = 1, для степени характеристического уравнения от 2 до 6.

На рис. 12.4, в приведены нормированные переходные характеристики, соответствующие

характеристическому уравнению (12.45), если в него ввести правую часть в виде . Переходный процесс затухает еще быстрее, если принять некратное распределение

комплексных корней [64]. В этом случае все корни имеют одинаковую вещественную часть т). Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью у и первым членом также у. Для каждой степени характеристического уравнения существует некоторое оптимальное отношение у/т), которому соответствует наибольшее быстродействие в безразмерном времени. Безразмерные коэффициенты характеристического уравнения для этого случая приведены в табл. 12.4, а переходные характеристики изображены на рис. 12.4, г.

В рассмотрение вводится типовая вещественная частотная характеристика замкнутой системы (рис. 12.5). Эта характеристика описывается следующими величинами: —

то, как показало построение соответствующих типовых вещественных характеристик переходных процессов, величина перерегулирований в основном определяется величиной Рmах. В этом случае перерегулирование и время переходного процесса могут быть определены по кривым, приведенным на рис. 12.6. •

Таким образом, на основании заданного перерегулирования можно определить Рmах и

затем по Рmах зависимость между временем переходного процесса tп и частотой , соответствующей интервалу положительности вещественной характеристики. По заданному значению 1а легко определяется требуемое значение соп.

Однако отрицательная часть вещественной характеристики также влияет на перерегулирование, увеличивая его на величину . Это можно учесть, положив

. Тогда по кривой, изображенной на рис. 12.6, можно найти допустимые значения Рmах и Рmin =1 — Pmах, при которых суммарное перерегулирование не будет превосходить заданного значения .

В табл. 12.5 приведены некоторые типовые значения -Ртах и соответствующие им качественные показатели замкнутой системы.

После нахождения основных величин для типовой вещественной характеристики переходят к формированию желаемой логарифмической амплитудной характеристики. При этом очевидно, что фазовая характеристика разомкнутой системы должна так проходить, чтобы обеспечивалась не только устойчивость, но и определенный запас устойчивости.

Вещественная характеристика замкнутой системы связана с частотной передаточной функцией разомкнутой системы зависимостью

(12.49)

Задаваясь различными значениями , на комплексной плоскости можно построить кривые, дающие связь между вещественной и мнимой частями или между ее модулем и фазой (или запасом по фазе). На рис. 12.7 приведено подобное семейство кривых для амплитуды, откладываемой в децибелах. Цифры около соответствующих кривых указывают

значение . Если на этом графике нанести амплитудно-фазовую характеристику системы, то по точкам пересечения с кривыми можно построить вещественную характеристику.

Кривые, приведенные на рис. 12.7, позволяют сформулировать требования к амплитуднофазовой характеристике разомкнутой системы, которые необходимо выполнить, чтобы обеспечить получение желаемой типовой характеристики.

Так, например, если необходимо, чтобы , то максимальная и минимальная ординаты вещественной характеристики в соответствии с табл. 12.5 не должны превышать

значений (ориентировочно) и . Это означает, что логарифмическая амплиггудно-фазовая характеристика, нанесенная на рис. 12.7, не должна заходить в области, ограниченные кривыми с отметками 1,2 и 0,2. Сформулированное условие будет выполняться, если амплитудно-фазовая характеристика не будет заходить в прямоугольник, образованный горизонтальными линиями L1 = 16 дб и L2 = — 16 дб и вертикальной линией (или в

величинах запаса по фазе .

В соответствии с этим на рис. 12.8 построены кривые, которые позволяют при заданном

значении перерегулирования выбирать требуемоезначение запаса по модулю и запаса по фазе .

Построение желаемой^асимптотической л. а. х. производится в следующем порядке. Первая низкочастотная асимптота проводится так, чтобы она имела наклон — 20 дб/дек,

соответствующий астатизму первого порядка (рис. 12.9). Продолжение асимптоты должно пересечь ось частот при частоте, равной желаемой добротности по скорости:

где с1 — заданный коэффициент ошибки.

При однократном изломе в точке В первая сопрягающая частота определяется по формуле

(12.51)

где — добротность системы по ускорению, а при двукратном изломе — по формуле

(12.52)

Далее по найденной из рис. 12.6 частоте положительности соя определяется частота среза л. а. х. так, чтобы она удовлетворяла условию

(12.53)

Среднечастотный участок желаемой л. а. х. образуется асимптотой с наклоном — 20 дб/дек,

проводимой так, чтобы она пересекала ось частот при . Этот участок проводится влево и вправо до достижения модулей, равных L1 и L2 (рис. 12.9). Затем производится сопряжение среднечастотного участка с низкочастотными асимптотами и высокочастотной частью.

Для облегчения построения желаемой л. а. х. вводятся типовые передаточные функции и им соответствующие л. а. х. Они даны в табл. 12.6.

Передаточные функции и л. а. х. всех четырех типов полностью определяются заданием четырех величин: коэффициента усиления К и трех сопрягающих частот

(рис. 12.10). Л. а.х. полностью определяется также заданием следующих четырех величин: коэффициента усиления в децибелах L1 при частоте ,

частоты среза , двух относительных сопрягающих частот.

К малым параметрам (рис. 12.9) относятся те постоянные времени системы, пренебрежение влиянием которых не сказывается существенно на динамических качествах системы. Обычно считают, что в качестве «малых» постоянных времени можно принять такие, которые удовлетворяют условию

(12.54)

При построении желаемой л. а. х. нужно следить, чтобы она как можно меньше отличалась от располагаемой л. а. х., что нужно для упрощения корректирующих средств. Это замечание особенно относится к низкочастотной и высокочастотной частям л. а. х. Желательно делать так, чтобы по крайней мере первая низкочастотная и последняя высокочастотная асимптоты обеих л.а.х. сливались вместе. Совпадение низкочастотных асимптот л. а. х. достигается за счет выбора соответствующего коэффициента усиления в системе К, равного требуемому.

Совпадение высокочастотных асимптот достигается соответствующим выбором желаемой л. а. х. в высокочастотной области. Заметим, что при формировании желаемой л. а. х. можно увеличивать, если это необходимо для совпадения асимптот, запасы по модулю L1 и |-L2| так как такое увеличение только повысит качество системы.

После формирования всей желаемой л. а. х. необходимо проверить, выдерживается ли требуемое значение запаса по фазе, определяемое из графика на рис. 12.8, для модулей, лежащих в пределах

(12.55)

Для этой проверки необходимо подсчитать фазовый сдвиг в двух крайних точках

среднечастотного участка, имеющего наклон — 20 дб/дек, т. е. при частотах . Подсчет фазового сдвига делается на основании принятой желаемой передаточной функции. Так, например, для передаточной функции типа I (см. табл. 12.6) он равен

Если требуемый запас по фазе не выдержан, то необходимо расширить среднечастотный участок и произвести вновь проверку.

Что§ы окончательно убедиться в приемлемости сформированной л. а. х., можно по известной желаемой передаточной функции построить любым методом переходный процесс и

проверить величины .

Далее из ординат желаемой л. а. х. вычитаются ординаты располагаемой л. а. х. ПолучившаясяДл. а. х. соответствует передаточной функции последовательного корректирующего звена. При необходимости это звено может быть пересчитано на эквивалентную обратную связь или эквивалентное параллельное корректирующее звено (см. главу 10).

§ 12.6. Синтез систем автоматического регулирования на основе 'частотных критериев качества

Синтез систем автоматического регулирования методом логарифмических амплитудных характеристик является в настоящее время одним.из самых удобных и наглядных. Наиболее трудным моментом при расчете методом логарифмических амплитудных характеристик является установление связи показателей качества переходного процесса с параметрами желаемой л. а. х., что объясняется сравнительно сложной зависимостью между переходной характеристикой линейной системы и ее частотными свойствами. Задача построения желаемой л. а. х. значительно облегчается, если вместо оценки качества работы системы регулирования по ее переходной характеристике перейти к оценке качества непосредственно по ее частотным свойствам.

Для оценки качества любой системы регулирования, в том числе и следящей системы, необходимо знать ее точность, характеризуемую ошибками в некоторых типовых режимах, быстродействие, определяемое по способности системы работать при больших скоростях и ускорениях входного воздействия или по быстроте протекания переходных процессов, и запас устойчивости, показывающий склонность системы к колебаниям. В соответствии с этим можно говорить о критериях точности, критериях быстродействия и критериях запаса устойчивости. При использовании частотных критериев необходимо основываться на тех или иных частотных свойствах системы регулирования.

При оценке точности по ошибкам при воспроизведении гармонического входного воздействия одновременно можно оценить и быстродействие по частоте этого воздействия. Тогда критерий точности и критерий быстродействия сливаются в один критерий динамической точности системы регулирования.

Ниже будут рассмотрены методы расчета систем регулирования, основанные на использовании частотных критериев качества. При этом кривая переходного процесса может, вообще говоря, не рассматриваться и не использоваться. Однако в целях иллюстрации будут даны универсальные нормированные кривые переходных процессов при единичном входном воздействии для рассматриваемых типовых л. а. х.

В дальнейшем изложении будут, как и ранее, рассматриваться линейные системы, состоящие из минимально-фазовых звеньев.

Под ошибкой следящей системы будет пониматься не действительное рассогласование между задающей и исполнительной осями, а только сигнал рассогласования, выявляемый чувствительным элементом системы. Это вызвано тем обстоятельством, что собственные ошибки чувствительных элементов, несмотря на их большой удельный вес в полной ошибке системы регулирования, не оказывают влияния на статический и динамический расчет последней и должны учитываться отдельно. Вопросы расчета ошибок чувствительных элементов относятся к сфере теории соответствующих устройств (сельсинов, вращающихся трансформаторов, потенциометров и т.п.).

Методика расчета излагается, в основном, применительно к следящим системам воспроизведения угла и воспроизведения скорости. Однако эта методика применима и для других систем автоматического регулирования.

Требования к низкочастотной части желаемой л. а. х., связанные с необходимой точностью. На основании требования по точности формируется низкочастотная часть желаемой л. а. х. следящей системы. Рассмотрим вначале астатические системы.

Наиболее просто оценить точность следящей системы можно по воспроизведению гармонического входного сигнала с амплитудой :

(12.56)

Амплитуда ошибки может быть найдена с помощью модуля передаточной функции по ошибке:

(12.57)

где — частотная передаточная функция разомкнутой системы. Так как в подавляющем большинстве случаев амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды

входного сигнала, т. е. , то справедливо соотношение . Поэтому вместо (12.57) можно пользоваться приближенным выражением

(12.58)

Последнее выражение позволяет легко сформулировать требование к низкочастотной части л. а. х. следящей системы. Для того чтобы входное воздействие (12.56) воспроизводилось с

ошибкой, не превышающей л. а. х. системы должна проходить не ниже контрольной точки Ак с координатами

(12.59)

Д тах Часто при определении условий работы следящей системы оговариваются только

максимальная скорость и максимальное ускорение слежения. В этом случае можно подобрать эквивалентные режимы гармонического входного воздействия. Вначале найдем такой режим (12.56), при котором амплитуда скорости и амплитуда ускорения равны максимальным заданным значениям.

Очевидно, что этому режиму соответствуют:

По этим величинам можно построить контрольную точку Ак (рис. 12.11) B соответствии с

(12.59).

Будем теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия, в котором амплитуда скорости по-прежнему равна максимальному значению, а амплитуда ускорения меньше максимального. Тогда контрольная частота (12.60) будет пропорционально уменьшаться, а амплитуда (12.61) возрастать обратно пропорционально амплитуде ускорения. При этом контрольная точка Ак будет перемещаться влево по прямой, имеющей наклон 20 дб/дек. В предельном случае, если принять амплитуду ускорения равной нулю, контрольная частота

. Это соответствует режиму вращения с постоянной скоростью . Тогда формула (12.58) вырождается в известное соотношение

(12.62)

где — предельное значение добротности по скорости следящей системы с астатизмом первого порядка, ниже которого нельзя иметь реальную добротность по скорости, исходя из условий точности.

Если теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия с амплитудой ускорения, равной максимальному значению , и амплитудой скорости, меньшей

максимального значения , то аналогичными рассуждениями можно показать, что контрольная точка Ак (рис. 12.11) будет двигаться вправо по прямой, имеющей наклон 40 дб/дек. Квадрат частоты точки пересечения этой прямой с осью нуля децибел равен предельной добротности следящей системы с астатизмом второго порядка по ускорению